第十一章 三角形 单元复习（易错30题9个考点）（原卷版+解析版）

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第1单元 三角形（易错30题9个考点）一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）1．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（　　）A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线【答案】D【解答】解：（1）三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（2）三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：三角形面积为梯形面积的；（3）三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（4）三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为•CD•AE；因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD＝CD，所以△ABD的面积等于△ACD的面积．∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．故选：D．二．三角形的稳定性（共1小题）2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　三角形具有稳定性　．【答案】见试题解答内容【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．三．三角形三边关系（共1小题）3．有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（　　）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【解答】解：可搭出不同的三角形为：2cm、3cm、4cm；2cm、4cm、5cm；2cm、5cm、6cm；3cm、4cm、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、5cm、6cm；4cm、5cm、6cm共7个．故选：C．四．三角形内角和定理（共7小题）4．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（　　）A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，故选：A．5．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（　　）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】A【解答】解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°．故选：A．6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　）A．22° B．21° C．20° D．19°【答案】C【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝20°，故选：C．7．△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2⋯∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022为（　　）A．° B．° C．° D．°【答案】D【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A2022＝∠A，∵∠A＝m°，∴∠A2022＝°，故选：D．8．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是 　60或90　度．【答案】60或90．【解答】解：在有一个角为60°的三角形中，①当“智慧角”是60°时，另两个角分别是100°、20°；②当α+β＝120°且α＝3β，α＝90°．即“智慧角”是90°．故答案为：60或90．9．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝　150°　，∠XBC+∠XCB＝　90°　．（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，故答案为：150°；90°．（2）不变化．∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）＝150°﹣90°＝60°．10．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝　25　°．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．【答案】【探究】①25；②不变，理由见解答过程；【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由见解答过程．【解答】解：【探究】①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案为：25；②不变，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．五．三角形的外角性质（共4小题）11．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故选：B．12．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝50°，故选：C．13．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．14．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．六．全等三角形的判定（共1小题）15．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC【答案】C【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A＝∠D，（1）AB＝DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；（2）∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；（3）EF＝BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；故选：C．七．等腰三角形的性质（共1小题）16．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【答案】B【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．八．多边形（共1小题）17．古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中，图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……图②的点数叫做四边形数，从上至下第一个四边形数是1，第二个四边形数是1+3＝4，第三个四边形数是1+3+5＝9，……由此类推，图③中第六个五边形数是（　　）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】D【解答】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……由此类推，图③中第六个五边形数是1+4+7+10+13+16＝51．故选：D．九．多边形内角与外角（共13小题）18．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得n＝7．故选：C．19．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，∴边数n＝360°÷60°＝6．故选：C．20．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）A．27 B．35 C．44 D．54【答案】C【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x＝1510，180n＝1870+x＝1800+（70+x），∵n为正整数，∴n＝11，∴＝44，故选：C．21．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．22．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．23．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，故选：B．24．在第24届北京冬季奥林匹克运动会上，某位运动员就在冰面上滑出了如图所示的几何图形，请计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　）A．360° B．270° C．240° D．180°【答案】D【解答】解：如图，连接BC，则∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，根据“8字形”数量关系，∠E+∠D＝∠EBC+∠DCB，所以∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E＝180°．故选：D．25．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（　　）A．增加180° B．增加360° C．不变 D．不能确定【答案】A【解答】解：∵n边形的内角和＝（n﹣2）×180°，∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°，故选：A．26．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（　　）A．14 B．23 C．180°或360° D．180°或360°或540°【答案】D【解答】解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°，即新的多边形的内角和为180°或360°或540°．故选：D．27．如图，小亮从点A出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，再前进10m，……，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，一共走了 　240　m．【答案】240．【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知，正多边形的边数＝360°÷15°＝24，∴一共走了24×10＝240（m）．故答案为：240．28．如图，有一张矩形纸片ABCD，将它沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠GHC＝110°，则∠AGE等于　40°　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD∥BC∴∠DGH+∠GHC＝180°，且∠GHC＝110°∴∠DGH＝70°∵将长方形纸片ABCD沿GH折叠，∴∠EGH＝∠DGH＝70°∴∠AGE＝180°﹣∠DGH﹣∠EGH＝40°故答案为：40°．29．足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 　12°　．【答案】12°．【解答】解：因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形每个内角都相等，所以正五边形的每个内角的度数为（5﹣2）•180°＝108°，正六边形的每个内角的度数为（6﹣2）•180°＝120°．∴∠AOB的度数为：360°﹣108°﹣120°×2＝12°．故答案为：12°．30．已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．（1）求这个正多边形一个内角的度数；（2）求这个正多边形的内角和．【答案】（1）140°；（2）1260°．【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40，180°﹣x°＝140°，所以这个正多边形一个内角的度数140°；（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．