资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩4页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称课堂检测
展开
这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称课堂检测，文件包含专题33轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳原卷版docx、专题33轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【题型5 “1定点2动点”-角度问题】
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【典例1】（2022春•漳州期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．
故选：D．
【变式1】（春•成都期末）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
【典例2】已知：如图，已知△ABC．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
（2）在y轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离最短，画出图形，写出点P坐标．
【答案】（1）见解答；
（2）P（0，﹣3）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作，P点坐标为（0，﹣3）．
【变式2-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC是格点三角形．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称；
（2）过点C作线段CD，使得CD∥AB，且CD＝AB；
（3）在直线l上求作点E，使CE+BE最短．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，线段CD或线段CD′即为所求作．
（3）如图，点E即为所求．
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积是 4 ；
（2）已知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于x轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（3）在y轴有一点P，使得△PA1B2周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）．
【答案】（1）4；
（2）（3）见解答．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×1＝4；
故答案为：4；
（2）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
（3）如图，点P为所作．
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【典例3】（2023春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．11D．14
【答案】C
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，，
∴，
∵BC＝6，
∴AF＝8，
∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11，
∴△PBF周长的最小值为11，
故选：C．
【变式3】（2022秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）
A．13B．14C．15D．13.5
【答案】A
【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．
故选：A．
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【典例4】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】C
【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝5，
∵•BC•AD＝•AC•BH，
∴BH＝，
∴BE+EF的最小值为，
故选：C
【变式4-1】（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】C
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM＝AM，
∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴DM+CM的最小值为6．
故选：C．
【变式4-2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【题型4“1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【典例5】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，
由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，
∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，
此时△PEF周长最小，
∵PO＝OP'，OP＝OP''，
∴OP'＝OP''，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∴△OP'P''是等边三角形，
∵OP＝1，
∴P'P''＝1，
故选：D．
【变式5-1】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝4．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4，
故选：B．
【变式5-2】（2022秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点.
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，
还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，
而∠MON＝50°，
∴∠P1OP2＝100°，
∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故选：C．
【典例6】（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105°B．115°C．120°D．130°
【答案】B
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
【变式6-1】（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝4，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝2，
故选：A．
【变式6-2】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4B．4.8C．4D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：B．
【题型4 “1定点2动点”-角度问题】
【典例7】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．130°
【答案】C
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
【变式7-1】（2022秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60°B．90°C．100°D．120°
【答案】C
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
【变式7-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．aB．2a﹣180°C．180°﹣aD．a﹣90°
【答案】B
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【题型5 “1定点2动点”-角度问题】
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【典例1】（2022春•漳州期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．
故选：D．
【变式1】（春•成都期末）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
【典例2】已知：如图，已知△ABC．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
（2）在y轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离最短，画出图形，写出点P坐标．
【答案】（1）见解答；
（2）P（0，﹣3）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作，P点坐标为（0，﹣3）．
【变式2-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC是格点三角形．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称；
（2）过点C作线段CD，使得CD∥AB，且CD＝AB；
（3）在直线l上求作点E，使CE+BE最短．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，线段CD或线段CD′即为所求作．
（3）如图，点E即为所求．
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积是 4 ；
（2）已知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于x轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（3）在y轴有一点P，使得△PA1B2周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）．
【答案】（1）4；
（2）（3）见解答．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×1＝4；
故答案为：4；
（2）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
（3）如图，点P为所作．
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【典例3】（2023春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．11D．14
【答案】C
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，，
∴，
∵BC＝6，
∴AF＝8，
∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11，
∴△PBF周长的最小值为11，
故选：C．
【变式3】（2022秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）
A．13B．14C．15D．13.5
【答案】A
【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．
故选：A．
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【典例4】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】C
【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝5，
∵•BC•AD＝•AC•BH，
∴BH＝，
∴BE+EF的最小值为，
故选：C
【变式4-1】（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】C
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM＝AM，
∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴DM+CM的最小值为6．
故选：C．
【变式4-2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【题型4“1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【典例5】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，
由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，
∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，
此时△PEF周长最小，
∵PO＝OP'，OP＝OP''，
∴OP'＝OP''，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∴△OP'P''是等边三角形，
∵OP＝1，
∴P'P''＝1，
故选：D．
【变式5-1】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝4．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4，
故选：B．
【变式5-2】（2022秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点.
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，
还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，
而∠MON＝50°，
∴∠P1OP2＝100°，
∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故选：C．
【典例6】（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105°B．115°C．120°D．130°
【答案】B
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
【变式6-1】（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝4，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝2，
故选：A．
【变式6-2】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4B．4.8C．4D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：B．
【题型4 “1定点2动点”-角度问题】
【典例7】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．130°
【答案】C
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
【变式7-1】（2022秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60°B．90°C．100°D．120°
【答案】C
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
【变式7-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．aB．2a﹣180°C．180°﹣aD．a﹣90°
【答案】B
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
相关试卷
中考数学二轮复习 重难点13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份中考数学二轮复习 重难点13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮复习重难点13几何最值问题2种题型将军饮马与蚂蚁爬行16种模型原卷版doc、中考数学二轮复习重难点13几何最值问题2种题型将军饮马与蚂蚁爬行16种模型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共146页， 欢迎下载使用。
中考数学二轮重难点复习讲义模型07 将军饮马模型（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份中考数学二轮重难点复习讲义模型07 将军饮马模型（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮重难点复习讲义模型07将军饮马模型原卷版doc、中考数学二轮重难点复习讲义模型07将军饮马模型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题09最值模型-将军饮马(原卷版+解析)： 这是一份中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题09最值模型-将军饮马(原卷版+解析)，共54页。试卷主要包含了求两条线段和的最小值，平移型将军饮马，修桥选址模型， 求多条线段和最小值，求两条线段差最大值等内容，欢迎下载使用。
