2024年广东省茂名市滨海新区中考二模数学试题

这是一份2024年广东省茂名市滨海新区中考二模数学试题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
详解】解：，
在0,1，，中，
0,1，是有理数，是无理数，
故选：D
【点睛】本题考查了无理数，求一个数的算术平方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 2a＋3a＝5a2B. 6m2﹣5m2＝1C. a6÷a3＝a2D. （﹣a2）3＝﹣a6
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．
【详解】2a＋3a＝5a，故选项A不符合题意；
6m2﹣5m2＝m2，故选项B不符合题意；
a6÷a3＝a3，故选项C不符合题意；
（﹣a2）3＝﹣a6，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了整式的加减法，以及整式的乘除法中的同底数幂的乘除法、幂的乘方.掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3. 水是由氢原子和氧原子组成的，其中氧原子的直径是0.000000000074米，用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.74×10﹣10米B. 74×10﹣12米C. 7.4×10﹣10米D. 7.4×10﹣11米该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 【答案】D
【解析】
【分析】在负指数科学记数法 中，其中 ，n等于第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的0）.
【详解】0.000000000074=7.4×10﹣11．
故选：D
4. 有5名同学，3男2女，现随机抽2人参加课外学习小组活动，其中一定抽到女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，由树状图求得一定抽到女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：根据题意画树状图：
∵共有20种可能的结果，一定抽到女同学的情况有14种，
∴一定抽到女同学的概率为：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握画树状图、灵活运用求概率的公式是解题关键．
5. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别解不等式，然后将解集表示出来即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
解①得：，
解②得：，
故不等式组的解集为：，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式组的解法，属于基础题，计算过程中细心即可求解．
6. 如下图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 三棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．
7. 已知、是方程的两个实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
8. 如图，在中，平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是 （ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形解题．根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
9. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A. 12B. ﹣12C. 16D. ﹣16
【答案】D
【解析】
【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值．
【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y在第二象限，
∴k=-16，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|．
10. 在中，，点是斜边边上一点，以为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点，连接，若，的半径为，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据等边对等角，三角形的外角的性质，得出，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，然后根据切线的性质以及已知条件得出，根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
设
∵，
∴
∵中，，恰好与边相切于点，
∴，则
∴，
∴的半径为，
∴，，
∵，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边对等角，勾股定理及平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知方程组，则x+y=_____.
【答案】2
【解析】
【详解】由题意得，两个方程左右相加可得，,故答案为2.
12. 一个不透明的布袋中装有3个白球和个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据白球的概率列出方程求解即可．
【详解】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有（n+3）个球，其中白球3个，
根据概率公式知： ，
解得：n＝6，
经检验，n＝6是原方程的解．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P.
13. 两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是”．乙同学说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的解析式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数中的几何意义，再根据图像与直线有两个交点，可知反比例函数图像在一、三象限，即可判断的值
【详解】解：根据题意得：，
∴，
又∵图像与直线有两个交点，
∴，
故反比例函数的解析式是．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限是关键．
14. 半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是__cm．
【答案】
【解析】
【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】设底面圆的半径为r．
∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，∴圆锥的母线l=10cm，∴，解得：r=5（cm），∴圆锥的高h（cm）．
故答案为5．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．
15. 如图，是的一条半径，点是延长线上一点，过点作的切线，点为切点．若，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意得， 是直角三角形，设，则，在中，，根据勾股定理得，，解得，进而根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，
∴是直角三角形，
设，则，
在中，，根据勾股定理得，
∴
解得，
则半径的长为，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握切线的性质，正弦的定义是解题的关键．
16. 在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设．则有，即，解得，故．
类似地，请你计算：_________．（直接填计算结果即可）
【答案】
【解析】
【分析】设，仿照例题进行求解．
【详解】设，
则，
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，满分7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的性质，有理数的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的性质，有理数的乘方是解题的关键．
18. 解分式方程：．
【答案】.
【解析】
【分析】先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验．
【详解】解：
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验．
19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M（1，3），N两点，点N的横坐标为﹣3．
（1）根据图象信息可得关于x的方程的解为 ；
（2）求一次函数的解析式．
【答案】（1）1或﹣3；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）方程的解即为一次函数图象在反比例函数图象交点的横坐标，结合M、N点的横坐标可得出答案．
（2）把点于M（1，3）代入反比例函数，求出m的值，从而求出点N的坐标，再把M，N的坐标代入一次函数的解析式求出k和b的值即可．
试题解析：（1）方程的解即为一次函数图象在反比例函数图象交点的横坐标，∵点M的横坐标为1，点N的横坐标为﹣3，∴关于x的方程的解为1或﹣3，故答案为1或﹣3；
（2）∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于M（1，3），∴m=3，∴，∵点N的横坐标为﹣3，∴点N的纵坐标为﹣1．，把M，N的坐标代入得：，解得：，∴．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
20. 为了解市民对某市创建全国文明城市工作的满意程度，某学校数学兴趣小组在某小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，有意隐去了一些数据，得到不完整的统计图表，设计了一道数学题．
请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）请求出接受问卷调查的人数，并补全条形统计图；
（2）请求出扇形统计图中“满意”部分的圆心角度数；
（3）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男生，2位女性．请用画树状图或列表的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
【答案】（1）接受问卷调查的人数是50人，图见解析
（2）扇形统计图中“满意”部分圆心角度数是
（3）选择回访的市民为“一男一女”的概率
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）用非常满意的人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出满意的人数，补全条形图即可；
（2）用360度乘以满意人数所占的比例，求出圆心角的度数即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由于有18人非常满意，占总调查人数的，
（人）
所以接受问卷调查的人数是50人．
∴满意的人数为：，
补全条形统计图见下图：
【小问2详解】
∴扇形统计图中“满意”部分的圆心角度数是．
【小问3详解】
树状图如下：
总共有12种选择，其中1男1 女的选择有8种，
所以选择回访的市民为“一男一女”的概率．
21. 综合与实践
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）问长方形的长应为多少？
【答案】（1）
（2）作的平分线，与的交点就是1的位置，
（3）厘米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质，钟面角：
（1）根据钟面角12个数字平分一个周角进行求解即可；
（2）根据数字1和数字12与时针中心连线的夹角为30度可知，只需要作的角平分线与的交点就是1的位置；
（3）解求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵周角的度数为360度，
∴当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是；
【小问2详解】
解：作的平分线，与的交点就是1的位置；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴长方形的长为厘米．
22. 某商城销售一新款耳机，每件进价为30元，经过试销发现，该耳机每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如下关系：．
（1）求该商店销售这款耳机每天获得的利润（元）与之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，每天能获得最大的利润?每天利润的最大值是多少元?
【答案】（1）
（2）销售单价定为元时，每天能获得最大的利润?每天利润的最大值是元
【解析】
【分析】（1）根据总利润等于每个耳机的利润乘销售量可得答案；
（2）根据（1）的解析式，根据二次函数的性质求得最大值即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，；
∴每天获得的利润（元）与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：∵，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为元，
答：销售单价定为元时，每天能获得最大的利润?每天利润的最大值是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23. 如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF．
（1）求证：AD＝CF；
（2）在原有条件不变情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）添加DA＝DC，见解析
【解析】
【分析】（1）根据AD∥BC证得∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC，根据E为AC的中点得到AE＝CE，再利用AAS证得△DEA≌△FEC即可得到AD＝CF；
（2）若四边形AFCD成为菱形，则应证四边形AFCD是平行四边形，因而加一组邻边相等即可，如：DA＝DC．
【详解】（1）证明：在△DEA和△FEC中，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC．
又∵E为AC的中点，
∴AE＝CE．
∴△DEA≌△FEC．
∴AD＝CF．
（2）添加DA＝DC．
证明：∵AD∥BC，
又∵AD＝CF，
∴四边形AFCD为平行四边形．
又∵DA＝DC，
∴四边形AFCD为菱形．
【点睛】此题考查梯形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，掌握各定理并熟练运用解题是关键.
24. 如图，是的内接三角形，为的直径，过点的直线交的延长线于点，连接，且，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求和的长度．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，再说明，即可说明，从而解决问题；
（2）过点作于点，首先根据，，得，再解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
为的直径，
，
，，
，
在中，，
，
，．
【点睛】本题主要考查了切线判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，解三角形等知识，将问题转化为解是解题的关键．
25. 综合探究
素材：一张矩形纸片．
操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．
（1）如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；
（2）如图2，当落在对角线上时，求的长；
（3）连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长．
【答案】（1）
（2）
（3）点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案；
（2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长；
（3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：连接，
由折叠得：，垂直平分.
∵在上，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
∴，
∵，
∴.
【小问2详解】
依题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【小问3详解】
点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3.
理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图，
中，，
由折叠得：，，，
设，则，，
根据勾股定理得，，
则
解得
∴线段长度最小时的长为3.
【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．