北京市师达中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份北京市师达中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（总分：100分 考试时间：90分钟）
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）
在下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项填涂在答题纸上．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，依次判断，即可求解，
本题考查了最简二次根式，解题的关键是：熟练掌握最简二次根式的定义．
【详解】解：A、，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，不符合题意，
B、是最简二次根式，符合题意，
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，
D. ，被开方数为小数，不是最简二次根式，不符合题意，
故选：B．
2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. 1，2，3C. 3，3，3D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】A、，可以构成直角三角形，则此项符合题意；该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 B、，不可以构成三角形，则此项不符题意；
C、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意；
D、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
3. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等的性质，即可求解，
本题考查了，平行四边形的性质，解题的关键是：熟练掌握平行四边形的对角相等．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
4. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解，
本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量．
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算运算法则逐项验证即可得到答案，
本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
详解】解：A、，该选项错误，不符合题意，
B、，该选项错误，不符合题意，
C、，该选项错误，不符合题意，
D、，该选项正确，符合题意，
故选：D．
6. 直线向下平移两个单位，平移后直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：直线向下平移两个单位，平移后直线的解析式为，
故选：B．
7. 下列各点中，在函数 的图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的横坐标，求出纵坐标，比较后即可得出结论．
【详解】解：A．当时，，
∴点不在函数的图象上，选项A不符合题意；
B．当时，，
∴点不在函数的图象上，选项B不符合题意；
C．当时，，
∴点在函数的图象上，选项C符合题意；
D．当时，，
∴点不在函数的图象上，选项D不符合题意．
故选：C．
8. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，那么的长为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】证明是的中位线，得到，再根据菱形的性质即可求解，
本题考查了，中位线，菱形的性质，解题的关键是：证明是的中位线．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
故选：．
9. 若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（ ）
A. 平行四边形，矩形B. 矩形，菱形
C. 菱形，正方形D. 正方形，平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】将各选项填入后，根据平行四边形、特殊平行四边形的关系逐一判断即可得．
【详解】A、若四边形是平行四边形，则四边形一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意；
B、若四边形是矩形，则四边形一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意；
C、若四边形是菱形，则四边形一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意；
D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、特殊平行四边形，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
10. 如图，甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲跑步时间（秒）之间的关系如图所示，则下列选项正确的为（ ）
A. 该图象的时间是从乙出发开始计时的B. 乙出发180秒时追上了甲
C. 乙到达终点时，甲距终点的距离是175米D. 甲比乙晚到达终点100秒
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确读取相关数据是解题的关键．
根据图象信息可直接判断A、B选项；先求出甲的速度，再求出乙的速度，求出乙跑全程所用时间，再求出此时甲所跑的路程即可得出距终点的路程，即可判断C选项；根据时间=路程除以速度即可求出甲距终点所用时间即为甲比乙晚到达终点的时间
【详解】解：该图象的时间是从甲出发开始计时的，故A选项说法错误，不符合题意；
乙出发（秒）时追上了甲，故B选项说法错误，不符合题意；
由题意可知，甲的速度为：米/秒，乙的速度为：米/秒，
乙跑完全程所用时间为：秒
此时甲跑完的路程为米
此时甲距终点1500米-1325米=175米，故C选项说法正确，符合题意；
甲距终点所用时间（即甲比乙晚到达终点的时间）为：秒，故D选项说法错误，不符合题意；
故选C．
二、填空题（本大题共24分，每小题3分）
11. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
12. 请写出一个y随x增大而增大的正比例函数表达式，y=________
【答案】2x
【解析】
【详解】y=kx（k≠0），∵y随着x的增大而增大，∴k＞0.
故答案为2x.
13. 为了庆祝中国共产党成立102周年，加深同学们对中国共产党历史的认识，激发爱党、爱国热情，某班举行了党史知识竞赛，成绩统计如下表，这组数据的平均数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数的定义即可求解，
本题考查了，平均数，解题的关键是：熟练掌握平均数的求法，
详解】解：，
故答案为：．
14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且它们的长度分别为6cm和8cm，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分面积的和为________cm2．
【答案】12
【解析】
【分析】已知菱形对角线的长度，根据菱形的性质可得OA=OC以及菱形的面积，再根据两线平行内错角相等可得和，即可得，即可推出阴影部分的面积等于的面积，此面积恰好是菱形面积的一般，问题得解．
【详解】∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，且OA=OC，，
∴，，
∴，
∴面积有，
∴，
已知菱形对角线的长度分别为6cm和8cm，
即：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，主要利用菱形的对角线求菱形面积以及推出阴影部分面积是菱形面积的一半是解答本题关键．
15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，与AD交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为 ___．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合图形，利用线段间的数量关系可得，由平行线及角平分线可得，，得出，根据等角对等边即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，BE平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，利用角平分线计算及平行线的性质，等角对等边求边长等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，，直线与线段有公共点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】当直线分别过点A、B时，可分别求出b值，即可得出b的取值范围．
【详解】解：当点A（1，1）在直线上时，
即，解得：，
当点B（2，2）在直线上时，
即，解得：，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题以及一次函数图象上点的坐标特征，分别求出当直线过点A、B时k的值是解题的关键．
17. 若直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出，再求出直线与两条坐标轴的交点坐标，然后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意得：，
当时，，解得，
即直线与轴的交点坐标为，
当时，，即直线与轴的交点坐标为，
则，
解得，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
18. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图所示，

∵四边形是菱形，
∴，，，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当取最小值时，的值最小，
∴当时，最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
三、解答题（本大题共46分，第19、21-22、24题每题5分，第20、23每题6分，第 25-26题每题7分）
19. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米．
（2）小明在书店停留了 分钟．
（3）本次上学途中，一共用了 分钟．
（4）小明一共行驶了 米．
（5）在整个上学的途中小明骑车的最快速度是 米/分．
【答案】（1）1500
（2）4 （3）14
（4）2700 （5）450
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程；
（2）根据函数图象可以得到小明在书店停留的时间；
（3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的时间；
（4）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；
（5）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题，
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【小问1详解】
解：由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，
故答案为：1500，
【小问2详解】
解：由图象可得，小明在书店停留了：（分钟），
故答案为：4，
【小问3详解】
解：本次上学途中，一共用了14（分钟），
故答案为：14，
【小问4详解】
解：小明一共行驶了：（米），
故答案为：2700，
【小问5详解】
解：由图象可知，
在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：米/分钟，
故答案为：450．
20. 一次函数的图象经过点（-1，0）和（0，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若直线与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得；
（2）先根据两个函数的图象相交可得，再联立两个函数的解析式求出交点坐标，然后根据“交点在第三象限”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设这个一次函数的表达式为，
由题意，将点和代入得：，解得，
则这个一次函数的表达式为；
（2）直线与一次函数的图象相交，
，
联立，
解得，即这两个函数的交点坐标为，
这两个函数的交点在第三象限，
①，且，
解不等式①得：，
因为，要使成立，则，
综上，的取值范围是．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、两条直线的交点问题等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21. 已知：如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE，若AB＝2BC，求证：△ABE是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证∠ACE＝∠DAC＝∠DEC＝90°，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BC，AB＝DC，再由矩形的性质得AD＝CE，AE＝DC，则CE＝BC，AE＝AB，然后由AB＝2BC，得AE＝AB＝BE，即可得出结论．
【小问1详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
又∵∠ACE＝180°−90°＝90°，
∴∠ACE＝∠DAC＝∠DEC＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
【小问2详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，
由（1）得：四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，AE＝DC，
∴CE＝BC，AE＝AB，
∵AB＝2BC，
∴AE＝AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ACED为矩形是解题的关键．
22. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）根据要求作出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，△ABC即所求（答案不唯一）．
（3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
23. 问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数中，自变量可以是任意实数：
（2）下表是与的几组对应值．
①________；
②若，为该函数图象上不同的两点，则________；
（3）在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象：
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为________；
②已知直线与函数的图象交于、两点，当时的取值范围是________．
【答案】（2）①1；②−10；（3）图象见解析；①-2；②或
【解析】
【分析】（2）①把x＝3代入y＝|x|−2，即可求出m；②把y＝8代入y＝|x|−2，即可求出n；
（3）描点连线即可画出图象①根据该函数的图象即可求解；②在同一平面直角坐标系中画出的图象，根据图象即可求出时x的取值范围．
【详解】解：（2）①把x＝3代入y＝|x|−2，得m＝3−2＝1．
故答案为：1；
把y＝8代入y＝|x|−2，得8＝|x|−2，
解得x＝−10或10，
∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，
∴n＝−10．
故答案为：−10；
（3）该函数的图象如图，
①由图象可知，该函数的最小值为−2；
故答案为：−2；
②在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如下图，
由图象可知，当时x的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．
24. 如图，A，B，H是直线l上的三个点，于点A，于点B，且，，，，求的长．
【答案】的长为
【解析】
【分析】设，从而可得，再分别在和中，利用勾股定理求出的值，然后根据建立方程，解方程即可得，
本题考查了勾股定理、一元一次方程的几何应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
【详解】解：设，则，
于点，于点，
和都是直角三角形，
在中，，
在中，，
，
，即，
解得：，
故答案为：的长为．
25. 四边形是正方形，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作交的延长线于F，连接．

（1）依题意补全图1；
（2）直接写出的度数：
（3）连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；
（2）度数为．由题意得，，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；
（3）作，交的延长线于点H，判定，可得，，从而可得与的数量关系，则可得线段与的数量关系．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：设与交于点G，如图所示：

由题意得，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，证明如下：
如图，作，交的延长线于点H，

由（2）得．
∴．
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同族点．如下图中的点，两点即为同族点．
（1）已知点的坐标为．
在点，，中，为点的同族点的是 ；
若点在轴上，且，两点为同族点，则点的坐标为 ；
（2）已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点．
若点为线段上一点时，已知点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，直线上存在点，使得点，两点为同族点，求的取值范围；
若以，，，为顶点的正方形上存在点，使得点，两点为同族点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1），；或；
（2）；或 ．
【解析】
【分析】（）把各点的横纵坐标的绝对值相加，得，则是A的同族点；
因为点在轴上，所以设，则，可得结论；
（）首先证明点的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值，然后画出图形即可解决问题；
找出特殊位置进行判断即可；
本题考查了一次函数、同族点的定义，坐标与图形，点到坐标轴的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题．
【小问1详解】
∵点A的坐标为，
∴
则点，，中，，，，
∴点的同族点的是，，
故答案：，；
∵点在轴上，
∴点的纵坐标为0，设，则，
∴，
∴或，
故答案为：或；
【小问2详解】
由题意，直线与轴交于，与轴交于，
点在线段上，设其坐标为，
则有：，，且，
∵点到轴的距离为, 点到轴的距离为，则，
∴点的同族点满足横纵坐标的绝对值之和为，即点N在图中所示的正方形上，
∵点坐标为，点在直线上，
∴；
如图，
则由题意得： 或．考
生
须
知
1．本试卷共3页，三道大题，26道小题，满分100分，考试时间90分钟．
2．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹的签字笔作答．
3．答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束，请将答题纸交回．
成绩（百分制）
80
85
90
95
100
人数
3
4
9
18
6
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
1
0
－1
－2
－1
0
…