湖北省荆州市松滋市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份湖北省荆州市松滋市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共26页。
1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上．
3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫术黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答．
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1. 下列式子中，是二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是二次根式的定义，解题关键是熟练掌握二次根式的识别方法．
二次根式的定义：一般地，把形如的式子叫做二次根式．根据此定义对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：根据二次根式的定义进行判断：
选项，二次根式中被开方数应，不是二次根式，不符合题意，选项错误；
选项，二次根式的形式是，不是二次根式，不符合题意，选项错误；
选项，二次根式的形式是，不是二次根式，不符合题意，选项错误；
选项，是二次根式，符合题意，选项正确．
故选：．
2. 下列二次根式中，与能合并的二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 【分析】本题考查了同类二次根式．逐个化简四个选项中的二次根式，即可判断是否可与合并.
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不可以合并，故本选项不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不可以合并，故本选项不符合题意；
C、，与是同类二次根式，可以合并，故本选项符合题意；
D、，与不同类二次根式，不可以合并，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 在中a，b，c分别是的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，是直角三角形，故A不符合要求；
设，
∵，
∴，是直角三角形，故B不符合要求；
∵，
∴，不是直角三角形，故C符合要求；
∵，
∴，是直角三角形，故D不符合要求；
故选：C．
4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质容易得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．
5. 在四边形中，对角线与相交于点，给出下列五组条件，能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定．根据平行四边形的判定逐项判断即可．
【详解】解：（1），，不能判定此四边形是平行四边形；
（2），，能判定此四边形是平行四边形；
（3），，能判定此四边形是平行四边形；
（4），，能判定此四边形是平行四边形；
（5），，能判定此四边形是平行四边形．
综上，有4组能判定此四边形是平行四边形．
故选：D．
6. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 四条边都相等B. 都是轴对称图形
C. 对角线互相垂直且互相平分D. 对角线相等且互相平分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是菱形、矩形、正方形的性质，解题关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质．
根据菱形、矩形、正方形性质对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：根据菱形、矩形、正方形的性质可得：
选项，菱形、正方形四条边都相等，矩形四条边不都相等，不符合题意，选项错误；
选项，菱形、矩形、正方形都是轴对称图形，符合题意，选项正确；
选项，菱形、正方形对角线互相垂直且互相平分，矩形对角线互相平分但不互相垂直，不符合题意，选项错误；
选项，菱形对角线互相平分但不相等，矩形、正方形对角线相等且互相平分，不符合题意，选项错误．
故选：．
7. 如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，，则（ ）
A. B. C. 12D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理．先根据正方形面积计算公式得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用勾股定理求出，据此利用三角形面积计算公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵点M是斜边的中点，
∴，
，
，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质．根据对角线相等的性质求对角线的长度，注意有两种情况．
【详解】解：有两种情况：
（1）连接，
∵四边形是正方形，顶点的坐标是，
∴点A、C关于x轴对称，
∴所在直线为的垂直平分线，即A、C的横坐标均为2，
根据正方形对角线相等的性质，，
又∵A、C关于x轴对称，
∴A点纵坐标为2，C点纵坐标为，
故A点坐标，
（2）当点A和点C位置互换，同理可得出A点坐标，
故选：D．
9. 如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题干的条件可得出为直角的中线，为的中位线，据此可计算出与的长度，从而可求得的长度．
【详解】∵平分，于点F，D为的中点，
∴，为的中线，
∴，且，则，
∴，
∴．
∵D为的中点，则为的中位线．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的中线、三角形的中位线等知识点，解题的关键是求证．
10. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.
【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的．直接利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：1．
12. 如图，在中，点E，F分别在边上，请你添加一个条件______，使四边形是平行四边形．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定．只要证明，，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】解：添加，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，在数轴上点表示1，点表示，，，．则点A所表示的数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据勾股定理计算出，从而得到，再根据点A在数轴上位置得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵点表示1，点表示，
∴，，
∴，
∴，
∴点A所表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴和勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出的值．
14. 如图，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______m．

【答案】13
【解析】
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图所示，
将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC＝m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故答案为13．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF=，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接交于延长交于先证明得到再证明利用相似三角形的性质与菱形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，交于 延长交于
矩形


菱形






菱形









故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据完全平方公式、二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：
．
17. 如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，
（1）求DC的长；
（2）求证：ΔABC是直角三角形．
【答案】（1）12 ；（2）证明见详解．
【解析】
【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD即可；
（2）根据勾股定理的逆定理即可证明出△ABC是直角三角形．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9，
∴根据勾股定理，得CD==12；
（2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，
∴122+AD2=202，
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∴AC2+BC2=202+152=625=AB2
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的内容，求出AB是解题的关键．
18. 已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．连接，交于点．由平行四边形的性质可得，进而得到；再根据平行四边形的性质可得，最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论．
【详解】证明：如图：连接，交于点．
四边形是平行四边形，是对角线、的交点．
．
又点、在对角线上，且，
，即，
四边形是平行四边形，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
19. 已知二次根式–
（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
（2）已知–为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．
【答案】（1）x≥2；（2）x=12，–5．
【解析】
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【详解】解：（1）要使–有意义，
必须x–2≥0，即x≥2，
所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；
（2）∵=，
所以x–2=10，解得：x=12，
这两个二次根式的积为：–×=–5．
20. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形．
（1）判断四边形的形状并证明．
（2）若、的距离为，、的距离为，求四边形的面积．
【答案】（1）四边形是菱形；
（2）四边形的面积是．
【解析】
【分析】（1）作，，根据题意先证四边形是平行四边形，证得后即可证明平行四边形是菱形；
（2）连接、，利用勾股定理求出的长，即可通过求解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，证明如下：
作交于点，作交于点，
依题得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
平行四边形是菱形 ．
【小问2详解】
解：连接、，
由得：四边形是菱形，
且、互相平分，
即，，
，，
，
中，，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
21. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．
（1）判断四边形的形状并证明．
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）四边形是矩形，证明见解析
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明即可；
（2）证明为等腰直角三角形即可求解；
（3）根据矩形的性质得，证明得，从而可证结论成立．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
【小问3详解】
连接，如图所示：

∵四边形矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
22. 如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．

（1）求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】（1）卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为．
（2）卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，含30度角的直角三角形的性质：
（1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．
∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离．

∵，，
∴．
答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为．
【小问2详解】
解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响．
∵，，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
∴影响时间为：．
答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为．

23. 如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到．
（1）连接，若，求此时的面积；
（2）①若点，，在同一直线上，求此时的长度．
②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长．
【答案】（1）15 （2）①2；②的长为或．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解；
（2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果；
②分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
由折叠知，
∴，
．
如图1，过点作于点，
，
；
【小问2详解】
解：①如图2，
由折叠知，
．
，
．
又，，
，
，
，
；
②如图3，当点在边上时，
设，则，，
，
；
如图4，当点在边上时，
设，则，，
，
．
综上所述，的长为或．
24. 在平面直角坐标系中存在矩形，点、点，且、满足：（实数）．
（1）求点坐标；
（2）如图1，作角平分线交轴于，的中点为，作交轴于，求的值（用含式子表示）；
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，将矩形向右推倒得到矩形，使与重合，落在轴上，现在将矩形沿射线以1个单位/秒平移，设平移时间为，用表示平移过程中矩形与矩形重合部分的面积．
【答案】（1），；
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，可求得，利用勾股定理求解即可；
（2）连接，由四边形是矩形得，，，则点的坐标为，由的角平分线交轴于得，是等腰直角三角形，而是中点，则，因为，所以，可证明，则，所以，即可求得；
（3）设矩形与矩形重合部分的面积为，交于点，可证明是等腰直角三角形，则，再按三种情况确定的取值范围，并结合图形分别求出相应的用含的代数表示S的式子．
【小问1详解】
解：，，且，
，，
，，
，，
∴，对角线；
【小问2详解】
解：如图1，连接，
四边形是矩形，
∴，，，
，
平分，
，
，
，
，
的中点为，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
由旋转得，
如图2-1，设矩形与矩形重合部分的面积为S，交于点，
由平移得轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，则，
；
当与重合时，则，
；
当点与点重合时，则，
，
当时，如图2-1，；
当时，如图3，，
当时，如图4，；
当时，如图5，，
综上所述，．
【点睛】此题考查图形与坐标、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大．