浙江省杭州市淳安县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份浙江省杭州市淳安县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了二次函数的图象经过四个点等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效。答题方式详见答题纸上的说明．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
试题卷
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．买一个足球需元，买一个篮球需元，则买3个足球和2个篮球共需（ ）元．
A．B．C．D．
3．如果三角形的两边分别为和，那么第三边可能是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，设所对的边分别为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数据的平均数为10，则中位数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（ ）
A．3B．C．D．2该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 7．在同一坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则下列关于、的判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知正方形为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积．在以上结论中，正确的有（ ）
第8题图
A．①②B．②③④C．①②③D．①③④
9．二次函数的图象经过四个点．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点．若，则的值是（ ）
第10题图
A．B．C．D．
二．填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，．则这组数据的方差是______．
12．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据：
则与之间的函数关系式为______．
第12题图
13．如图，在菱形中，，分别以点为圆心，为半径画弧，图中阴影部分面积为______（结果保留）．
第13题图
14．如图，在中，，则______．
第14题图
15．已知：，则______．
16．如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt和等腰Rt，③和④分别是Rt和Rt，⑤是正方形，直角顶点，，，分别在边，，，上．
（1）若，则的长是______．
（2）若，则的值是______．
第16题图
三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分6分）
在下面两个集合中各有一些有理数，请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数，再用“+，-，，”中的运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数．
18．（本题满分6分）
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②扇形统计图中圆心角______度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
19．（本题满分8分）
如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨的点固定不动，且到点的距离．
（1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，若，，求的度数．
20．（本题满分8分）
在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．试说明直线经过原点．
21．（本题满分10分）
如图，内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点，，的延长线交于交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
22．（本题满分10分）
已知关于的二次函数．
（1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点；
（2）若二次函数的顶点的坐标为，求与之间的函数关系及的最大值．
23．（本题满分12分）综合与实践
【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
______（填“>”，“=”或“”），
______（填“>”，“=”或“”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点，过、两点，作使其与直线相切，切点为，不妨在直线上另外任取一点，连接、，请你比较与的大小，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图4，某球员在球场底线点处接到球后，沿射线方向带球跑动，，球门宽为8米，米，若该球员在射线上的点处射门角度最大，即最大，试求出此时的长度．
24．（本题满分12分）
将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，．
（1）如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求点的坐标；
（2）如图（2），在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作交于点，交于点，求证：．
（3）在（2）的条件下，设的坐标为．①探求：与之间的函数关系式．②试求出纵坐标的最大值．
2023学年第二学期期中质量检测九年级数学参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．0.812．13．14．．
15．．16．4，3（答对1题给2分，两题都对给3分）
三、解答题：
17．解：（1）选出正确数
（2）答案不唯一，对即可
18．解：（1）（1）；（2）度；
（2）人），
（3）树状图如下：
共有12中等可能的结果，其中恰好抽到两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
19．（1）相等．理由如下：
伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
．
在和中，
．．
（2），
．
又，
．
，；
20．解：（1）函数与函数的图象交于点和点，
且点的横坐标是2，，
点的纵坐标是，
，综上所述：．
（2）由已知可得，点的坐标为，点的坐标为，
则点的坐标为，点的坐标为，
设的表达式为，
则，解得：，则的表达式为，
当时，，所以直线经过原点．
21．证明：如图，连接，
是的切线，，，
，，
，，
，即，
，
（2）解：是的直径，，
，，，
，
，，
，，
，
为等边三角形，
，
即的半径为2．
22．解：（1）证明：当时，．
，
该方程总有两个不相等的实数根，
无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点．
（2）解：，
二次函数的顶点坐标为，
设，可得，将其代入，
整理后得．
顶点的运动轨迹为二次函数的图象，且该图象开口向下，
故当时，取得最大值，最大值为．
23．解：（1）（1），．
（2），理由如下：
如图所示，设与交于点，连接，由同弧所对的圆周角相等得出
，
是的外角，
．
（3）（3）如图所示，由（2）可得，当经过的与相切时，最大，
（画出图形，过的圆与直线相切即可得2分）
过点作交于点，延长交于点，
，，
是等腰直角三角形，
，是等腰直角三角形，
设的半径，，
，
解得：，或（舍去），
，
24．解：（1）设或，则
由勾股定理得，则．
在中由勾股定理得，解得，
点的坐标为
同理也可利用相似求得
（2）由折叠可知：，
由，从而得出．
，从而．
（3）①如图，连接，由（2）可得，
由勾股定理可得，得．
②结合（1）可得时，最小，从而，
当恰好平分时，最大即最大，
此时点与点重合，四边形为正方形，
故最大为6．从而．
由二次函数增减性可知，当时，最大为时间（小时）
0
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度（厘米）
2
6
10
14
18
22
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
D
B
D
C
A
C