01， 山东省临沂市沂水县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

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2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次根式有意义的条件是，据此判断各选项即可得到答案．
【详解】解：有意义的条件是，所以不符合题意；
有意义的条件是，所以不符合题意；
有意义的条件是，所以 不符合题意；
有意义的条件是 ，所以 满足条件．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．
2. 化简的结果为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：，
故选：．
3. 如图，直角三角形中未知边的长度为（ ）该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。
A. B. C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．
由勾股定理得：，解方程即可．
【详解】由勾股定理得：
所以， ，负值已舍去．
故选：B
4. 在平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则．
【详解】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选；D．
5. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的实际应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流I的值．
【详解】解：通电时间t（单位：s)与产生的热量Q（单位：J）满足，
所以电流．
故电流I的值为 ，
故选：B．
6. 如图，四边形中，对角线相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的各种判定方法解题即可．
【详解】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，符合题意；
B、，，根据两组对边分别相等，可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，，根据对角线互相平分，可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；
D、，，根据两组对边分别平行，可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
7. 一个长方形抽屉长，宽，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，，
这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是，
故选：C．
8. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后根据菱形的性质得到，然后求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．由矩形的性质得，再证是等边三角形，得，然后由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：D．
10. 课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是（ ）
A. 甲行、乙不行B. 甲不行、乙行C. 甲、乙都行D. 甲、乙都不行
【答案】C
【解析】
【分析】图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积，根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可以直接表示出面积，从而验证勾股定理．
【详解】解：图甲中大正方形的面积为：，
四个直角三角形的面积和为：，
则中间小正方形的面积为：，
∵中间小正方形边长为c，
∴面积为，
∴，
∴图甲能利用面积验证勾股定理；
图乙中直角梯形的面积为：，
两个直角三角形的面积和为：，
中间等腰直角三角形的面积为：，
∵中间等腰直角三角形的两条直角边为c，
∴中间等腰直角三角形的面积为，
∴，
即，
∴图乙能利用面积验证勾股定理；
综上分析可知，甲、乙都行，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的图形验证，解题的关键是熟练掌握正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若是最简二次根式，则的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：当时，是最简二次根式，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．
12. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________．

【答案】8
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键．
13. 已知，，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，分式的加减运算，代数式求值，掌握二次根式的混合运算法则和分式混合运算法则是解题的关键．先根据分式加减运算法则进行运算，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：，，，
，，
．
14. 一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为_________．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．
根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，根据题意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即A，C两港之间的距离为．
故答案为：40．
15. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
【答案】45
【解析】
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16. 如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
分析】过点B作交于点N，先证明，推出，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：过点B作交于点N，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法进行计算再进行加减计算即可求解；
（2）先利用二次根式的乘法和除法计算，再合并，即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：．

【答案】见详解
【解析】
【分析】根据条件证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19. 阅读下列材料，完成下列任务．小丽在数学资料上看到这样一道题：已知，求代数式的值．
解：，
．
．
．
．
任务：
（1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是_________．
A．因式分解 B．单项式与多项式的乘法
C．平方差公式 D．完全平方公式
（2）在材料解答的过程中，主要用的方法是_________．
A．整体与化归 B．分类讨论 C．数形结合
（3）已知，求的值．
【答案】（1）D （2）A
（3）6
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能用整体思想解决问题．
（1）在材料解答过程中，主要用的数学知识是完全平方公式；
（2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想；
（3）由，可得，故．
【小问1详解】
解：在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式；
故选：D；
小问2详解】
解：在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想；
故选：A；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
；
故的值为6．
20. 如图所示，在四边形中，，，，．求四边形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用．连接，先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用计算即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴；
∵，，
∴，
∴是直角三角形且，
∴．
21. 有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“A”，杉树标记为点“B”，洞穴标记为点“C”．
（1）根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段之间的关系．
（2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A，B的坐标分别为，点C到线段之间的距离为5（单位长度），请画出坐标系，并求出洞穴到赤石的距离．
【答案】（1）点与线段的垂直平分线上
（2）洞穴到赤石的距离为个单位长度
【解析】
【分析】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键．
（1）连接，取线段的中点D，连接，根据题意得到，即可得出结论；
（2）如图，建立坐标系如下：再利用勾股定理可得答案．
【小问1详解】
解：连接，取线段的的中点D，连接，如图所示：
点共线，D点是的中点，
，
，
，
∴点与线段的垂直平分线上．
【小问2详解】
解：如图，建立坐标系如下：，
由题意可得：，，而，
，
∴，
∴洞穴到赤石的距离为个单位长度．
22. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ；
（2）图①中阴影部分的面积为 ；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）不能截出，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【小问1详解】
解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分面积为，
故答案为：6；
【小问3详解】
解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
23. 如图，在菱形中，于点，于点，连接

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明．
（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
【小问2详解】
解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等边三角形．
．
【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．
24. 下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题．
如图1，，其中，．
操作与发现：（1）如图2，将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，四边形的形状是_________．
操作与探究：（2）将两个三角形纸片如图3那样放置，其中点E与的中点重合，与在一条直线上，连接．经过探究后发现四边形是菱形．请你证明这个结论．
（3）将两个三角形纸片如图4那样放置，其中点E与的中点重合，与平行，连接，经过观察与推理后发现四边形是矩形．请你证明这个结论．
提出问题：（4）请你参照以上操作过程，利用图1中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图5中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，并提出一个所要探究的问题，不必解答．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）将沿方向平移，使与重合．结论：四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】（1）由可得四边形的两组对边分别相等，从而得到四边形是平行四边形，又，得到平行四边形是矩形；
（2）由，，点是的中点，可得，又，得到是等边三角形，同理可得是等边三角形，从而，因此得证四边形是菱形；
（3）根据，可得，从而，又，证得是等边三角形，因此有，，再根据，得到，从而证明四边形是平行四边形，再，进一步得证四边形是矩形．
（4）可将将沿方向平移，使与重合．则得到四边形是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形矩形
（2）∵，．
∴
∵点是的中点，
∴
∴．
又∵，
∴是等边三角形
同理是等边三角形
∴，
∴四边形是菱形．
（3）∵，
∴．
∵，
∴．
∵点 E 是 的中点，
∴
∵
∵，
∴是等边三角形．
∴，，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
（4）构图方法：将沿方向平移，使与重合．
结论：四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，矩形、菱形的判定，等边三角形的判定与性质，理解题意，抓住图形变化中不变的边或角是解题的关键．