24，重庆市长寿区长寿川维中学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份24，重庆市长寿区长寿川维中学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可．
【详解】解：的相反数是2．
故选B．
2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的定义， 理解 “从正面看几何体，所看到的视图是主视图．”是解题的关键．
【详解】解：从正面看到的平面图形是，
故选：B．
3. 若点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式．把点代入，即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：．
故选：B
4. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，
∴，
∴，
∴与的面积比，
故选：C．
5. 如图，直线，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解题关键．由平行线的性质可得，从而求出，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】解：，
，
，
由三角形的内角和可得．
故选：B
6. 估计的值应在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法进行计算，以及估算无理数的大小的方法解答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．
7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）

A. 32B. 34C. 37D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
8. 如图，是的直径，切线与延长线相交于点，点为切点，若，，则的长度为（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了切线性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，连接，设的半径为r，利用切线的性质和等边对等角得到，， ，再证明，求出，即可得到答案．
【详解】解：连接，设的半径为r，
∵切线与延长线相交于点B，点A为切点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，正方形中，点分别在边上，连接，已知平分，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，延长到，使，连接，由平分，得，证明，根据性质得，，，再通过四边形是正方形得，，证明，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解，解题的关键是证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．
【详解】如图，延长到，使，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对2，，5，9进行“差绝对值运算”的结果是39；
②，，6的“差绝对值运算”的最小值是9；
③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】解：对2，，5，9进行“差绝对值运算”得：

，故①正确；
对，，6进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和6的距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
，，6的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③不正确，
综上，故只有1个正确的．
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，求一个数的算术平方根，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，算术平方根，零指数幂，再计算加减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：3．
12. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据“正多边形每个内角与它相邻外角的度数”之间的关系可求出其外角的度数，再根据“正多边形的每一个外角都相等且外角和是”进行 计算即可．
【详解】解：这个正多边形的外角为，
所以这个正多边形为，
即这个正多边形为正六边形，边数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形的性质以及正多边形的每一个外角都相等且外角和是是正确解答的前提．
13. 不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了画树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．
【详解】设两个红球分别为A，B，黑球为C，白球为D，根据题意，画树状图如下：
．
一共有12种等可能性，其中，一红一黑等可能性有4种．
故摸出1个红球1个黑球的概率为，
故答案为．
14. 九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为____．
【答案】（x﹣1）x＝2256
【解析】
【分析】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【详解】根据题意得：每人要写(x−1)条毕业感言，有x个人，
∴全班共写：(x−1)x=2256，
故答案为(x−1)x=2256.
【点睛】此题考查一元二次方程，解题关键在于结合实际列一元二次方程即可.
15. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．
【详解】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：，
故答案为：6π．
【点睛】本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16. 如图，四边形是菱形，交于点，交于点，连接，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，取中点，连接，由菱形的性质，对角线互相垂直平分，可得是的中位线，由中位线的性质得，，，即可得出是的垂直平分线，进而求出，的值，再由勾股定理得，可计算出的值，最后根据三角形面积公式得，求出的值，即可计算的值，可得．
【详解】解：如图，取中点，连接，
四边形是菱形，
，，，
是的中位线，
，，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，熟练掌握相关性质，合理添加辅助线，证明并利用三角形面积相等求出的值是解题关键．
17. 若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】7
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各种的解法是解本题的关键；
不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有2个偶数解确定出的范围，再由分式方程解为非负整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
解得：，
∵不等式组有解且至多2个偶数解，
解得：，
分式方程去分母得：，
解得：，
且
解得：且，
∵分式方程的解为非负数，
综上，，
则满足题意整数之和为．
故答案为：7．
18. 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“博雅数”．将“博雅数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则_____．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的最大值为_____．
【答案】 ①. 9 ②. 8631
【解析】
【分析】由题意可得，，再表示出和，根据N能被9整除和为整数来确定，，，的值，从而可得结论．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∵N能被9整除，
∴能被9整除，
又∵，，，互不相等且均不为0，
∴；
∵为整数，
∴能被整除，
又∵，
∴能被整除，
∴
∴当，，，时，M的最大值为，
故答案为：9，．
【点睛】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算，分式的混合运算法则是解题的关键．
20. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，是的一个外角．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交的延长线于点，连接．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形．（请完成下面的填空）．
平分，
①______，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
②______，
，
③______，
，
④______，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
，，
，
四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
【答案】（1）见解析 （2）；；；
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，矩形的判定等知识．掌握矩形的判定是解答本题的关键．
（1）以B为圆心，以一定长度为半径画弧交、于点Q、P，再分别以点Q、P为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点T，连接，交的延长线于点G，即可；
（2）依据题目已给出思路进行作答即可．
【小问1详解】
解∶如图，
【小问2详解】
证明：平分，
，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
．
，
，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
，，
，
四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：；；；．
21. 今年的4月15日是第九个全民国家安全教育日．全民国家安全教育日是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日．为增强学生国家安全意识，我校开展了国家安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分为整数，并用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：75，82，73，93，81，82，95，88，92，69．
八年级10名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在C组的数据是：86，83，88
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生扇形统计图

（1）直接写出： ， ， ；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若七年级有800人，八年级有600人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩在90分及以上的学生共有多少人？
【答案】（1）87，82，40；
（2）八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析；
（3）480人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的意义可求出a、b的值，根据扇形统计图的制作方法可求出“D组”所占的百分比；
（2）通过中位数、众数进行分析得出答案；
（3）利用样本所占百分比估计总体即可．
【小问1详解】
八年级成绩在“C组”的有3人，占，
所以“D组”所占的百分比为，
因此，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是86，88，
因此中位数是，即；
七年级10名学生成绩出现次数最多的是82，
因此众数是82，即，
故答案为：87，82，40；
【小问2详解】
八年级学生的竞赛成绩更好．理由如下(写出其中一条即可)：
①八年级学生竞赛成绩的众数95大于七年级学生竞赛成绩的众数82．
②八年级学生竞赛成绩的中位数87大于七年级学生竞赛成绩的中位数82．
【小问3详解】
（人）
答：七年级和八年级成绩在90分及以上的约为480人．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，众数，平均数．熟练掌握扇形统计图关键数据，平均数，中位数，众数的意义和计算方法，样本估计总体，是解答的关键．
22. “母亲节”来临之际，某某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，百合每束的进价比康乃馨每束进价多5元．其中购买百合的数量是康乃馨数量的倍，则购买百合花费了1050元，康乃馨花费了600元．
（1）求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？
（2）若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获利润不低于500元？
【答案】（1）每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元
（2）每束百合的售价应至少定为47元才能使获利润不低于500元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设每束康乃馨的进价为x元，则每束百合的进价为元，根据购买百合的数量是康乃馨数量的倍列出方程求解即可；
（2）先分别求出购进百合和康乃馨的数量，再设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，根据利润不低于500元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设每束康乃馨的进价为x元，则每束百合的进价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程解，且符合题意，
∴，
答：每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元；
【小问2详解】
解：由（1）得购进百合束，购进康乃馨束，
设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，
由题意得，，
解得，
答：每束百合的售价应至少定为47元才能使获利润不低于500元．
23. 如图，在等腰中，，，为中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．连接，设点的运动路程为，的面积为．
（1）直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）请在图2中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出当的面积不小于2时的取值范围．
【答案】（1）
（2）作图见解析，图象有最大值为4（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，解直角三角形，勾股定理等等：
（1）分两种情况讨论：当点P在上运动，当点P在上运动时，由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据题意画出图象，再根据图象得出函数的性质即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【小问1详解】
解：过点P作于点H，
在中，，
∴，
∴，即，
∵D为中点，
∴，
当点P在上运动时，则，

当点P在上运动时，则，
∵，即，
∴，
即；
【小问2详解】
解：如图所示，

由图象可得，图象有最大值为4；
【小问3详解】
解：由图象可得，当时， ．
24. 如图是体育公园步道示意图．从A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，在点C处测得点B在北偏西，米．
（1）求步道的长度（结果保留根号）；
（2）游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，，，根据解直角三角形即可；
（2）作，交延长线于，由（1）可知，，，由可求得，由，可知，由此可得，，，可计算出小明到达游客中心所需时间，进而可得爸爸的速度．
【小问1详解】
解：如图，
由A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，
可知，，
由在点C处测得点B在北偏西，可知，
∴，
∴，
∵，
∴（米）
小问2详解】
作，交延长线于，
由（1）可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则：，
小明到达游客中心所需时间为：分钟，
若要同时到达，则爸爸的速度为：米
即：爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
【点睛】本题考查解直角三角形——方向角问题，解题的关键是掌握含、角的直角三角形三边的关系．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标；
（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．井写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2），此时
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点作于点，求出，由三线合一定理可得，设， 求出，则，，可得则，据此利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的解析式为，当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线l的对称点E，则，由轴对称的性质可得，则可得，即可得到点M即为线段与抛物线的交点；当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得，则，求出直线解析式为，进而求出，证明，则点M即为射线与抛物线的交点，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于点，
当时，，
∴
，
∴，
设，直线解析式为，
将点代入，得，
解得：，
∴，，，
∴
∴
∵，开口向下，且，
∴当时，，
此时
【小问3详解】
解：∵
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴相当于将抛物线向上移动个单位向左平移个单位；
∵原抛物线解析式为
∴平移后的抛物线解析式为，
当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线的对称点E，则，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴点M即为线段与抛物线的交点，
同理可得直线解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点M的横坐标为；
当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得，
∵，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∴，
解得，
∴，
∴直线解析式为
∵直线解析式为，直线解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M即为射线与抛物线的交点，
联立得，
解得或（舍去），
∴点M的横坐标为；
综上所述，点M的横坐标为或．
26. 如图，在平行四边形中，于点．
（1）如图1，若，，，求的长；
（2）如图2，若，连接，过点作交于点，在上截取，连接，交于点，的角平分线与相交于点，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，请直接写出点到直线的距离．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据在直角三角形中，30度所对的边是斜边的一半可得，根据菱形的判定和性质可得，推得，即可求得，即可求解；
（2）根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，推得，，延长交于点，根据角平分线的定义和等腰三角形三线合一的性质可得，，根据平行线的判定可得，根据平行线分线段成比例定理可得，即可求解；
（3）根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质可得，根据中位线的性质可得，求得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可求得，结合勾股定理求得，作于，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求得，根据相似三角形的判定和性质可得，，同理求得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
延长交于点，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
由（2）知，，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵,
∴，
如图，作于，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
作于，由，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即点到的距离为．
【点睛】本题考查了30度角的直角三角形性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
82
b
八年级
83
a
95