07，辽宁省阜新市海州区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份07，辽宁省阜新市海州区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
2. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键.分式的值为零的条件是：分子为零，分母不为零，由此列方程与不等式，从而可得答案.
【详解】解： 分式的值为0，

由可得：

故选：D
3. 如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，则∠ACD的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由全等可得∠B=∠DEC，∠DCE=∠ACB，且∠AEC=∠B+∠BCE=∠AED+∠DEC，可得∠AED=∠BCE=26°，即可求∠ACD的度数
【详解】解∵△ABC≌△DEC
∴∠B=∠DEC，∠DCE=∠ACB
∵∠AEC=∠B+∠BCE=∠AED+∠DEC
∴∠AED=∠BCE．且∠AED+∠B CE=52°
∴∠BCE=∠AED=26°
∵∠DCE=∠ACB
∴∠DCA=∠BCE=26°
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应角相等解决问题是本题的关键．
4. 下列因式分解错误的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【详解】A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
5. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．
【详解】
，
．
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．
6. 关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可．
【详解】解：根据x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x的负整数解为-1和-2


综合上述可得
故选A
【点睛】本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定．
7. 已知坐标平面内的点，现在把原点向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点A在新坐标系中的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．平移原点的规律转化点的平移规律，根据点的平移：左减右加，上加下减解答可得．
【详解】解：把原点向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，相当于将点向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点A在新坐标系中的坐标为，即，
故选：C．
8. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）

A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
9. 如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是（ ）
A. x＜1B. x＞1C. 0＜x≤1D. 1≤x＜2
【答案】D
【解析】
【分析】根据待定系数法求得解析式，即可求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得．
【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），
∴1＝k﹣2k，解得k＝﹣1，
∴一次函数为y＝﹣x+2，
令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x＝2，
由图象可知，当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是1≤x＜2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
10. 如图，边长为20的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动的过程中，线段长度的最小值是（ ）
A. 3B. 10C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．取的中点G，连接，，据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵是等边三角形，
∴
∵旋转角为，
∴，
又∵，
∴，
∵M是高所在直线上的一个动点，，
∴，
∴，
又∵线段绕点B逆时针旋转得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
根据垂线段最短，时，最短，即最短，
此时，
∴，
∴线段度的最小值是5，
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 若分式有意义，x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于0建立不等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得．解得，
故答案为：
12. 用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设________．
【答案】四边形中所有内角都是锐角．
【解析】
【分析】反证法步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．
故答案为四边形中所有内角都是锐角．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13. 如图，以O为圆心，为半径作弧，分别交，于点C，D，再分别以C，D为圆心长为半径作弧，两弧交于点E，连接，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，以及勾股定理，灵活运用菱形的性质和判定是解题的关键．
先判定出四边形是菱形，借助菱形的性质推出，，进而得出，最后再利用勾股定理和菱形性质即可求出．
【详解】解：连接，交于点F，
由题可知，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵四边形是菱形，
∴
故答案：．
14. 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少，则顶角度数为______．
【答案】44°或80°或140°
【解析】
【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．
【详解】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，
①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，
解得x=44°，
所以，顶角是44°；
②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，
解得x=50°，
所以，顶角是2×50°-20°=80°；
③x与2x-20°都底角时，x=2x-20°，
解得x=20°，
所以，顶角是180°-20°×2=140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故答案为：44°或80°或140°．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．
15. 如图，和都是等腰直角三角形，．将绕点A旋转到如图所示位置，相交于点F，若，，，则的长为____________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，以A为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设交轴于，根据得到，从而证明、是等腰直角三角形，进而求出，，，，再求出直线的解析式，进而求出点F的坐标，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：以A原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设交轴于，如图：

∵，
∴，
，都是等腰直角三角形，，，
，，，
∴、是等腰直角三角形，
，
，，，，
设直线的解析式为：，
将、坐标代入得：，
解得：，
直线解析式为：，
设解析式为：，
将、坐标代入得：，
解得：，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共75分，16题10分，17题9分，18-21每题8分，22，23每题12分）
16. （1）解不等式组
（2）先化简，再求值
，其中，．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】此题考查了求不等式组的解集，分式的化简求值，熟练掌握相关法则和步骤是解题的关键．
（1）求出每个不等式的解集，取公共部分即可；
（2）先把分式的分母和分子因式分解后，约分后得到最简分式，再把字母的值代入求值即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集是，
（2）
当，时，
原式
17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）图见解析；点A1的坐标为（5，﹣3）
（2）图见解析；点A2的坐标为（0，0）
（3）△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再连接A1B1，A1C1，B1C1，再写出点的坐标即可．
（2）分别作出A1，B1的对应点A2，B2，再连接A2B2，A2C1，B2C1，再写出点的坐标即可．
（3）根据=S扇形B2C1B1+S△A1B1C1，利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
小问1详解】
解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
点A1的坐标为（5，﹣3）；
【小问2详解】
如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（0，0）；
【小问3详解】
解；如图，△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：
．
【点睛】本题考查平移作图与旋转作图，扇形的面积，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，扇形面积公式是解题的关键．
18. 如图，小明为 “小鱼”设计了一个计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，．

（1）若得到，求输入的值及相应n的值；
（2）若得到的m值比n值大，那么输入的值需要满足什么条件？
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据程序图可得，从而得到，即可求解；
（2）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
解得：，
∴．
【小问2详解】
解：由计算程序，可知，．
∵m值比n值大，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键．
19. 如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
20. 观察下面的等式：
（1）写出的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将因式分解，展开化简求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．
21. 如图，于E，于F，若．

（1）求证：平分；
（2）写出与之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明详见解析；
（2），理由详见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质：
（1）根据，得出，可得到，即可；
（2）根据证明，可得，进而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴与 均为直角三角形，
∵在 与中，
∵，
∴
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
在 与中，
∵ ，
∴，
∴，
∴．
22. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
（2）正整数m的最大值为22
【解析】
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．
【小问1详解】
设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得
解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
【小问2详解】
设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
根据题意，得．
解这个不等式，得．
设获得的利润为w元，
根据题意，得
．
∵，
∴w随x的增大而减小．
∴当时，w的最大值为．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
∴正整数m的最大值为22．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
23. 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为4，现将绕点按逆时针方向旋转（），如图2，与交于点，与交于点，与交于点．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角______时，是等腰三角形；
（2）深入探究：
教学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接，，那么所在的直线是线段的垂直平分线，请帮他们证明；
（3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角时，求与重叠的面积；
（4）拓展延伸：
旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）；（4）能，或
【解析】
【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据折叠的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM=，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
（4）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
【详解】解：（1）当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°-30°=60°，
当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
∵∠E=∠C，∠MPE=∠NPC，
∴△MPE≌△NPC（AAS），
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）∵α=30°，∠B=60°，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB=4，
∴BM=AB•sin30°=2，AM=AB•cs30°=，
∴，
∵AE=AC=AB•tan60°=4，AM=，
∴EM=，
∵∠BAE=α=∠E=30°，∠EMP=∠AMB=90°，
∴△AMB≌△EMP（ASA），
由（2）可知△ABM≌△AFN，
∴，
∴S△AEF=AF•AE=×4×4=8，
∴△ABC与△AFE重叠的面积=S△AEF-S△AFN-S△EPM；
（4）如答题图1所示：当∠CNP=90°时．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°，
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°-60°-90°=30°，
∴∠α=30°；
如答题图2所示：当∠CPN=90°时．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，分类讨论是解题的关键．
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360