重庆市渝北区暨华中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

这是一份重庆市渝北区暨华中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列标志是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，BD平分，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.若，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，AB是的直径，MT切于点若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若与的周长比是2：3，则它们的面积比为( )
A. 2：3B. 4：5C. ：D. 4：9
8.用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是( )
A. 59B. 65C. 70D. 71
9.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为问摩天轮的高度AB约是米结果精确到1米，参考数据：，( )
A. 120B. 117C. 118D. 119
10.如果整数a使得关于x的不等式组有解，且使得关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a之和为( )
A. B. C. 0D. 1
11.如图，正方形ABCD中，，G是BC的中点．将沿AG对折至，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A. 2
B.
C.
D. 4
12.如图，▱OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在反比例函数上，顶点C在反比例函数上，则▱OABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.计算：______.
14.某市“五一”共接待游客约3020000人次，“3020000”用科学记数法可表示为______.
15.我校学生在食堂就餐时，男生在4号，5号，6号窗口排队，女生在1号，2号，3号窗口排队．小月女生和小虎男生同时在偶数号窗口就餐的概率是______.
16.如图，菱形ABCD的边长为4cm，，是以点A为圆心，AB长为半径的弧，是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为______
17.甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇，图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则其中正确的序号是______.
①甲车的速度是；
②A，B两地的距离是360km；
③乙车出发时甲车到达B地；
④甲车出发最终与乙车相遇．
18.假设某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2020年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为，又因为车库改造，只能开放2个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过______小时车库恰好停满．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题10分
化简：
20.本小题10分
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，，，垂足分别是E、F，并且求证：
≌；
四边形ABCD是菱形．
21.本小题10分
某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组．学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的条形统计图和扇形统计图部分信息未给出请你根据给出的信息解答下列问题：
求参加这次问卷调查的学生人数；
补全条形统计图；
若该校共有1200名学生，请你过计算估计选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．
22.本小题10分
某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
其中，______.
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象的对称性是：______.
②当时，写出y随x的变化规律：______.
进一步探究函数图象发现：方程有______个实数根．
23.本小题10分
我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：是正整数，且，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解．并规定：例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以
如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有；
如果一个两位正整数t，为自然数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值．
24.
25.本小题10分
已知：如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
如图，连接PA、设的面积为S，点P的横坐标为请说明当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？
过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.本小题8分
在等腰中，，，点P为AC上一点，M为BC上一点．
若于点
①如图1，BP为的角平分线，求证：；
②如图2，BP为的中线，求证：
如图3，若点N在AB上，，，求的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：的倒数是，
故选：
根据倒数的定义解答，乘积是1的两数互为倒数．
本题考查了求倒数的方法，掌握求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：A、故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、不是同类项，故D选项错误．
故选：
运用积的乘方，合并同类项及完全平方公式计算即可．
本题主要考查了积的乘方，合并同类项及完全平方公式，熟记计算法则是关键．
4.【答案】A
【解析】解：，
，
，
平分，
，
而，
故选
先根据平行线的性质由得到，再根据角平分线定义得，然后根据平行线的性质得
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了估算无理数的大小，首先估算和的大小是解答此题的关键．
首先估算和的大小，再做选择．
【解答】
解：，，
又，
故选
6.【答案】D
【解析】解：切于点T，
，
，
，
，
，
，
故选：
根据切线的性质得到，进而求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：是以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∽，
与的周长比是2：3，
它们的面积比为4：9，
故选：
根据位似图形的概念得到∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形必须是相似图形、相似三角形的面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据图中圆点排列，当时，圆点个数；
当时，圆点个数；
当时，圆点个数；
当时，圆点个数，
…
当时，圆点个数
故选：
观察图形可知，第1个图形共有圆点个；第2个图形共有圆点个；第3个图形共有圆点个；第4个图形共有圆点个；…；则第n个图形共有原点…个；由此代入求得答案即可．
此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：在中，由，得，
在中，
，
，
又，
，即，
解得：
即摩天轮的高度AB约是118米．
故选：
在和中分别用AB表示出BC和BD，利用BC与BD的差等于BD的长，得到有关AB的式子，把AB求出来即可．
此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：解不等式组，
该不等式组有解，
，
，
解得：，
解分式方程得：
且，
为整数，且分式方程有正整数解，
的值为：3，0，，
，
即满足条件的所有整数a之和为1，
故选：
解不等式组，根据“该不等式组有解”，得到关于a的一元一次不等式，解之，解分式方程，根据“a为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的a的值，相加后即可得到答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组方法是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：如图，
连接AE，
四边形ABCD是正方形，
，，
由折叠得，
，，，
，，
，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故选：
连接AE，可证明，从而得出，设，则，，在中，根据勾股定理列出方程，进一步得出结果．
本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
先过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得的面积的面积相等，的面积的面积相等，最后计算平行四边形OABC的面积．
【解答】
解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，
根据，，，
可得：≌，
与的面积相等，
又顶点C在反比例函数上，
的面积的面积相等，
同理可得：的面积的面积相等，
平行四边形OABC的面积，
故选：
13.【答案】2
【解析】解：原式
故答案为：
直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
【解答】
解：，
故答案为
15.【答案】
【解析】解：列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中两数都为偶数的有2种，
则同时在偶数号窗口就餐
故答案为：
列表得出所有等可能的情况数，找出同时在偶数号窗口就餐的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接
菱形ABCD中，
和是边长相等的等边三角形．
与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积．
阴影部分的面积等于的面积．
过点D作于点E，
在中，，，
，
的面积等于，即阴影部分的面积等于
故答案为：
先作出辅助线，进而得出两个弓形的面积相等，即可确定阴影部分的面积等于的面积，计算求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积是解题的关键．
17.【答案】①③④
【解析】解：乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，
甲车出发小时就追上乙，因此速度差为千米/小时，
故甲车的速度为100千米/小时，①正确；
甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为小时，
甲车行全程需要小时，
全程为千米，②错误；
此时乙车出发小时，③正确；
甲车休息小时准备返回时乙车行小时，
此时乙车距B地千米，
返回时相遇时间为小时，
此时甲车行驶的时间为，④正确．
故答案为：①③④．
由图象可知两车起始距离为60，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
18.【答案】
【解析】解：设每个进口每小时进车x辆，每个出口每小时出车y辆，停车场可容纳m辆车，
依题意得：，
解得：，
故答案为：
设每个进口每小时进车x辆，每个出口每小时出车y辆，停车场可容纳m辆车，利用“如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满”，即可得出关于x，y的二元一次方程组看成已知量，解之即可求出x，y的值，再将其代入中即可求出恰好停满所用的时间．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】解：
；

【解析】根据平方差公式、完全平方公式和合并同类项可以解答本题；
根据分式的加法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20.【答案】解：，
，
四边形ABCD是平行四边形
，
在和中
≌；

≌，
，
四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形ABCD是菱形．
【解析】首先根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定得出即可；
根据菱形的判定得出即可．
此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出是解题关键．
21.【答案】解：参加这次问卷调查的学生人数为：人；
航模的人数为人，补全条形统计图如下：
该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有：人
【解析】根据书法小组的人数及其对应百分比可得总人数；
根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：
根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．
①关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；

【解析】【分析】
本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．
把代入函数解释式即可得m的值；
描点、连线即可得到函数的图象；
①根据函数图象即可求得；②当时，根据图象即可得到y随x的变化规律；
根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论．
【解答】
解：当时，，
，
故答案为：
见答案；
观察函数图象，可得出：①关于y轴对称，②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
故答案为：①关于y轴对称，②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
观察函数图象可知：函数的图象与只有3个交点．
故答案为：
23.【答案】解：对任意一个完全平方数m，设为正整数，
，
是m的最佳分解，
对任意一个完全平方数m，总有；
设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为，则，
为“吉祥数”，
，
，
，x，y为自然数，
“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
，，，，，，，
，
所有“吉祥数”中，的最大值是
【解析】根据题意可设，由最佳分解定义可得；
根据“吉祥数”定义知，即，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的，比较后可得最大值．
本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
24.【答案】

【解析】
25.【答案】解：抛物线与x轴交于点，，
可设抛物线的表达式为：，
，解得，
抛物线的表达式为：，
直线AB的表达式为：，
点P的横坐标为m，则，
过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，
则，
，
当时，S的值取最大，此时；
存在，理由如下：
由题意可知，，若是等腰直角三角形，则，
由可得，，
轴，
，
，
，
解得舍，，舍，，
当是等腰直角三角形时，点P的坐标为，
【解析】可设抛物线的表达式为：，则有，可求出抛物线解析式，过点P作轴，交线段AB于点D，则，当时，S有最大值；
由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表达PD及PE，可求出m的值，进而求出点P的坐标．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．
26.【答案】①证明：如图1中，
，，
，
平分，
，
，
，，
≌，
，，
垂直平分线段AM，
，
，
，
，
，
，BP平分，
②如图2中，作交AM的延长线于
，，
，
，，
≌，
，，
，，
≌，
，
解：如图3中，作交BC于G，连接GN，AG交于点
，，
，
，
，
，
，
四边形ANGP是平行四边形，
，
四边形ANGP是矩形，
，，
，，
，
，，
≌，
，
，

【解析】①只要证明，利用角平分线的性质定理即可解决问题；
②作交AM的延长线于只要证明≌，≌，即可解决问题；
如图3中，作交BC于G，连接GN，AG交于点首先证明四边形ANGP是矩形，推出，，再证明≌，可得，推出即可解决问题；
本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
m
0
…

1
2
3
4
5
6