广东省广州市第二中学2024届高三下学期广一模预测模拟卷数学试题

这是一份广东省广州市第二中学2024届高三下学期广一模预测模拟卷数学试题，共17页。试卷主要包含了质数，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程4|cst|-t=0的实数根的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．动圆M经过定点P4,-1，且与y轴相切，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
3．已知等差数列an的前n项和为Sn,a4+a12=34,S19=399，则数列an的公差是（ ）
A．2B．3C．-5D．5
4．已知i为虚数单位，z为复数z的共轭复数,复数z满足i3z=1+i，则z=（ ）
A．1B．2C．2D．3
5．质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A，这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则PBA=（ ）
A．1115B．3745C．1315D．4145
6．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，过F2的直线交双曲线C的右支于P,Q两点，若PF2=13PQ，且PF2=F1F2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．4C．6D．2
7．在平面直角坐标系xOy中，已知M,N为圆x2+y2=9上两点，点A1,2，且AM⊥AN，则线段MN的长的取值范围是（ ）
A．4-2,4+2B．13-2,13+2
C．4-5,4+5D．13-5,13+5
8．已知函数f(x)=ex-12(a+1)x2-bx(a，b∈R)没有极值点，则ba+1的最大值为（ ）
A．e2B．e2C．eD．e22
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．sinA+B=sinCB．csA+B=csC
C．若sinA>sinB，则A>BD．若A>B，则sinA>sinB
10．已知a>0,b>0，且a+b-ab=34，则（ ）
A．a+b≥3B．0lg34”的 .（填“充分不必要条件”、“充要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”）
13．某单位举办演讲比赛，最终来自A,B,C,D四个部门共12人进入决赛，把A,B,C,D四个部门进入决赛的人数作为样本数据.已知样本方差为2.5，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 .
14．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1⊥BD1，且二面角B1-BD1-C1的正切值为2．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱ABCD-A1B1C1D1内运动，D1Q=22，则PB1+PQ的最小值为 ．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=4，Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2)．
(1)求数列an的通项公式；
(2)令bn=an+1SnSn+1，求数列bn的前n项和Tn．
16．（本题15分）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷n次，落于水平的桌面，记n次底面的数字之和为Xn.
(1)当n=2时，记Y为X2被3整除的余数，求Y的分布列与期望；
(2)求Xn能被3整除的概率Pn.
17．（本题15分）已知在多面体PQABCD中，平面PADQ⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，且AD//BC，四边形PADQ为矩形，其中M和N分别为AD和AP的中点，AB=7,BC=5,AD=DC=2．
(1)证明：平面BMN⊥平面QDC；
(2)若二面角N-BM-C的余弦值为-55，求直线BQ与平面BMN所成角的正弦值．
18．（本题17分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上、下顶点分别是A，B，点P（异于A，B两点）在椭圆C上，直线PA与PB的斜率之积为-49，椭圆C的短轴长为4．
(1)求C的标准方程；
(2)已知T0,1，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明：点D在定直线上．
19．（本题17分）若x=m时，函数fx取得极大值或极小值，则称m为函数fx的极值点.已知函数fx=lnx+2x+a,gx=ax，其中a为正实数.
(1)若函数fx有极值点，求a的取值范围；
(2)当x2>x1>0,x2和x1的几何平均数为x2x1，算术平均数为x2+x12.
①判断x2-x1lnx2-lnx1与x2和x1的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当a≥1时，证明：fx≤gx.
参考答案：
1．C
【详解】设y1=4|cst|，y2=t．在同一直角坐标系内画出y1=4|cst|与y2=t的大致图象，
当t=5π时，y1=4>5π=y2；当t=6π时，y1=40恒成立，hx为R上的增函数，
因为ex∈0,+∞是增函数，-1a+1x-b∈-∞,+∞也是增函数，
所以，此时h(x)∈-∞,+∞，不合题意；
②当a+1>0时，h'x=ex-1a+1为增函数，由h'x=0得x=-lna+1，
令h'x>0⇔x>-lna+1，h'x0)，ux=lnx+1x2x>0，
则u'x=x-lnx+1⋅2xx4=-2lnx+1x3，
令u'x>0⇔0