河南省安阳市林州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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（考试范围：1~51 页 满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】A选项：和的被开方数不相同，即不是同类二次根式，它们不能合并，，故本选项的运算错误，不符合题意；
B选项：，故本选项的运算错误，不符合题意；
C选项：，故本选项的运算错误，不符合题意；
D选项：故本选项的运算正确，符合题意．
故选：D
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 平行四边形的邻角相等
B. 平行四边形的两条对角线互相垂直
C. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，根据平行四边形的性质和判定分别进行判断即可得到答案．
【详解】解：A．平行四边形的对角相等，邻角互补，故选项错误，不符合题意；
B．平行四边形的两条对角线互相平分但不一定垂直，故选项错误，不符合题意；
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项错误，不符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求得数轴上表示圆弧的半径，再利用实数与数轴的关系即可求得答案．
【详解】弧的半径为：，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得圆弧的半径是解题的关键．
5. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线交于点E，若，，则的长度为（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据作图可知，由已知条件可知，根据勾股定理，可得的长．
【解答】解：根据作图可知，
，，
，
，
，
根据勾股定理，得．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6. 化简：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的意义，分式的意义及二次根式的化简，先根据题意判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可．
【详解】∵有意义，
∴，且
∴
∴．
故选：B．
7. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A. 22B. 20C. 16D. 10
【答案】B
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16−6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20，
故选B．
8. 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式得性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
．
故选：．
9. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，如图所示，
，
∴，
∴最短路程是：，
故选：A．
10. 如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的个数为( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；证，得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______________
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且
12. 若与最简二次根式可以合并，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
【详解】解∶，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为________．
【答案】32
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为：，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，找到并求出的长是解决本题的关键．
14. 如图中，E，F分别是，中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接，
E，F分别是，的中点，，
，
，F是的中点，
，G是的中点，
，
，
F是的中点，
，，
，
，
E，F分别是，的中点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．
【答案】8
【解析】
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
【详解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴，
∵S△PBG＝2，
∴，
∵CG＝2BG，
∴，
∵,
∴.
故答案为：8.
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的化简，和零指数幂的运算法则，即可求解，
（2）应用平方差公式和完全平方公式，即可求解，
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【小问1详解】
解：
，
【小问2详解】
解：
．
17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1） ；
（2）在图中画出平行四边形，为格点；在边上画一点，使得；找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积．（不必说明理由，不写画法）
【答案】（1）；
（2）作图见解析．
【解析】
【分析】（）利用勾股定理即可求解；
（）取格点，使，即可画出平行四边形；取格点，连接，与相交于点，利用勾股定理可得，，由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即有；取的中点，由平行四边形的性质可知，点为平行四边形的中心，故直线平分平行四边形的面积；
本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：由勾股定理可得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，四边形、点、直线即所求．

18. 如图，四边形ABCD中，AD=4，AB=2，BC=8，CD=10，∠BAD=90°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）计算四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4+24．
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；
（2）根据图形得到四边形ABCD的面积=2个直角三角形的面积和即可求解．
【详解】解：（1）∵AD=4，AB=2，∠BAD=90°，
∴BD==6．
又BC=8，CD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴BD⊥BC；
（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积
=×4×2+×6×8
=4+24．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，把四边形的面积分解成两个直角三角形的面积来求是解本题的关键所在．
19. 如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
【答案】（1）3h （2）C岛在A港的北偏西40°方向．
【解析】
【分析】（1）理由勾股定理分别求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的时间；
（2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出结果．
【小问1详解】
解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，
∴BD= (km)，
在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，
∴AC=(km)，
轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，
故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
【小问2详解】
C岛在A港的北偏西40°方向；
理由：
∵752+1002=1252，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，
∴C岛在A港的北偏西40°方向．
【点睛】本题考查利用勾股定理和逆定理解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形．
20. 6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）受影响 （2）8小时
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【小问1详解】
海港受台风影响，理由：
，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
【小问2详解】
当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于6，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
22. 在△ABC中，，设c为最长边．当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．
（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为____三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为______三角形．
（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当时，△ABC为锐角三角形；当时，△ABC为钝角三角形．” 请你根据小明的猜想完成下面的问题：
当，时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？
【答案】（1）锐角，钝角；（2）当4≤c＜时，这个三角形是锐角三角形；当c=时，这个三角形是直角三角形；当＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时斜边的值，然后作出判断即可.
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．
试题解析：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边=，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形.
（2）∵c为最长边，2+4=6，
∴4≤c＜6，，
①，即c2＜20，0＜c＜，
∴当4≤c＜时，这个三角形是锐角三角形；
②，即c2=20，c=，
∴当c=时，这个三角形是直角三角形；
③，即c2＞20，c＞，
∴当＜c＜6时，这个三角形钝角三角形．
考点：勾股定理和逆定理.
23. 知识回顾：（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图1，点，分别为边，的中点，则线段称为的中位线，则与的位置关系是 ；与的数量关系是 ．
方法探究：（2）请将图2中的三角形通过剪切拼接成一个与之面积相等的平行四边形，若要求只有一条剪切线，请画出剪切线及剪拼成的平行四边形，并说明拼接方法．
问题解决：（3）如图3，有一块空地和水井，李大爷计划利用该空地和水井修建一片菜地，其中点为的中点，，，，．为灌溉方便，李大爷想在水井处修建一条水渠为线段，且在上），且水渠两边的菜地面积相等，已知修建该水渠的费用为60元，请你帮助李大爷计算修建这条水渠所需的总费用．
【答案】（1） ，；（2）见解析；（3）元
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求解；
（2）取的中点，的中点，连接，延长至，使，由三角形中位线定理可得，，，于是可通过证明，得到，进而得到，由对边平行且相等的四边形为平行四边可得四边形为平行四边形，以此即可求解；
（3）取的中点，连接，作交于点，交于点，过点作于点，过点作于点，由梯形的面积公式可知，易得四边形，四边形为平行四边形，得到，，由四边形内角和为得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理得，由含的直角三角形性质得，，则，易得为的中位线，则，，进而求得，再利用勾股定理求出的长，进一步算出总费用即可求解．
【详解】解：（1）点，分别为边，的中点，
为的中位线，
，；
故答案为： ，；
（2）如图，取的中点，的中点，连接，延长至，使，
点，分别为边，的中点，
为的中位线，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
取的中点，的中点，以为剪切线将三角形裁剪，将绕点顺时针旋转至点与点重合，则四边形为拼成的平行四边形；
（3）取的中点，连接，作交于点，交于点，过点作于点，过点作于点，
，
四边形为梯形，
由梯形的面积公式可知，，
，，
四边形，四边形为平行四边形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
为的中位线，
，，
，
在中，，
修建该水渠的费用为60元，
修建这条水渠所需的总费用为（元．
【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积公式、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，解题关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握三角形中位线定理，利用勾股定理解决问题．