新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题01集合(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题01集合(原卷版+解析)
专题01 集合 【考点预测】1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．【方法技巧与总结】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例1．（2023·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合，集合，则（       ）A． B． C． D．【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例2．（2023·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5例3．（2023·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合，，则集合中元素个数为（       ）A． B． C． D．无数个例4．（2023·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ）A． B． C． D．例5．（2023·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4例6．（2023·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【题型二】 集合元素的特征【典例例题】例7．（2023·重庆南开中学模拟预测）已知集合，，则集合（       ）A． B． C． D．【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。例8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（       ）A．9 B．8 C．5 D．4例9．（2023··模拟预测（理））已知集合，，则中元素的个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5例10．（2023·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5例11．（2023·全国·高三专题练习）函数，则集合元素的个数有（       ）A．个 B．个 C．个 D．个例12．（2023·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．【题型三】 集合的关系【典例例题】例13．（2023·江苏南京·高三开学考试）已知集合，则的子集个数为（       ）A． B．8 C． D．【方法技巧与总结】1.注意子集和真子集的区别和练习2.判断集合之间的关系：（1）定义判断（2）数形结合判断例14．（2023·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）．A． B．C． D．例15．（2023·全国·高三专题练习）若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．例16．（2023·浙江·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（       ）A． B． C． D．（多选题）例17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ）A．-2 B．-1 C．0 D．1例18．（2023·浙江·高三专题练习）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).【题型四】 集合的运算-【典例例题】（多选题）例19．（2023·全国·高三专题练习）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．【方法技巧与总结】1.注意并集与交集的大小关系2.补集和全集是不可分割的两个概念例20．（2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知集合，若，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．例21．（2023·天津和平·二模）已知全集为，集合，集合，则（       ）A． B．C． D．例22．（2023·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知集合，全集，则（       ）A． B． C． D．例23．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）A．， B．，， C．， D．，，（多选题）例24．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A． B．C． D．例25．（2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________例26．（2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．【题型五】 集合与排列组合【典例例题】例27．（2023·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（       ）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想例28．（2023·全国·高三专题练习（理））设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（       ）A．32 B．56 C．72 D．84例29．（2023·安徽蚌埠·三模（理））设集合，则的子集个数为（       ）A．8 B．16 C．32 D．64例30．（2023·全国·高三专题练习），若表示集合中元素的个数，则_______，则_______．例31．（2023·全国·高三专题练习）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______．【题型六】 新定义【典例例题】例32．（2023·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(       )A．、中至少有一个关于乘法是封闭的B．、中至多有一个关于乘法是封闭的C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的D．、中每一个关于乘法都是封闭的【方法技巧与总结】1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。例33．（2023·上海市松江二中高三开学考试）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.例34．（2023·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.例35．（2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.例36．（2023·全国·高三专题练习）已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：①存在，使得为完美集；②存在，使得为完美集；③如果，那么一定不为完美集；④使得A为完美集的所有的值之和为-2．其中，所有正确结论的序号是______．【过关测试】一、单选题1．（2023·河北·模拟预测）已知全集，则（       ）A． B． C． D．2．（2023·陕西·模拟预测（理））已知集合，集合，则（       ）A． B．C． D．3．（2023·江苏盐城·三模）已知集合，，，则（       ）A． B． C． D．4．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（       ）A． B． C． D．5．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（       ）A．4 B．6 C．8 D．96．（2023·河南·模拟预测（文））设全集，，，则（       ）A． B． C． D．7．（2023·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．8．（2023·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）．A． B．C． D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，满足，，全集，则下列说法中可能正确的有（       ）A．没有最大元素，有一个最小元素 B．有一个最大元素，没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．没有最大元素，也没有最小元素10．（2023·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（       ）A． B．C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值可以是（　　）A．0 B． C． D．212．（2023·全国·高三专题练习）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（       ）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x4}，若，则实数a的取值范围是________．14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则______.15．（2023·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.16．（2023·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.(1)若，求图中阴影部分；(2)若，求实数的取值范围.18．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.(1)若，求；(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.19．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围;(2)当时，若，求实数的取值范围;20．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合．(1)若，求．(2)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．21．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为A，的值域为B，记，其中Z表示整数集．(1)求集合M；(2)若，且，求实数a的所有可能值．22．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.(1)若，求、;(2)若，求实数的取值范围数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或专题01 集合 【考点预测】1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．【方法技巧与总结】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例1．（2023·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合，集合，则（       ）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.【详解】，，,故选：C【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例2．（2023·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5答案：C【解析】分析：由列举法列出集合的所有元素，即可判断；【详解】解：因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C例3．（2023·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合，，则集合中元素个数为（       ）A． B． C． D．无数个答案：B【解析】分析：先解出集合，再按照对数的运算求出集合，即可求解.【详解】由，解得，故，，故，集合中元素个数为3.故选：B.例4．（2023·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.例5．（2023·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】分析：根据题意写出集合C的元素，可得答案.【详解】由题意，当时， ，当，时， ，当，时， ，即C中有三个元素，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由，可得因为等价于或，且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．综上所求或，即，故，故选：D．【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.【题型二】 集合元素的特征【典例例题】例7．（2023·重庆南开中学模拟预测）已知集合，，则集合（       ）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根据求解即可【详解】由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合故选：D【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。例8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（       ）A．9 B．8 C．5 D．4答案：A【解析】分析：根据x，y满足的关系式求得x，y的可能值，从而求得集合元素个数.【详解】由，得，，又，，所以，，易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.故选：A.例9．（2023··模拟预测（理））已知集合，，则中元素的个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】分析：解不等式求出，从而得到不等式组，求出的值，进而得到中的元素，求出答案.【详解】由得：，所以，又，令，解得：，，当时，，当时，，当时，，故中元素的个数为3.故选：B例10．（2023·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】分析：根据集合B的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.【详解】当时，y＝1；当时，y＝0；当x＝3时，．故集合B共有3个元素．故选：B.例11．（2023·全国·高三专题练习）函数，则集合元素的个数有（       ）A．个 B．个 C．个 D．个答案：D【解析】分析：根据分段函数解析式，结合集合元素要满足的性质，通过分类讨论求所有满足条件的的值，进而确定集合中元素的个数．【详解】当时，，解得，当时，若，解得，当时，若，解得，当时，若，则，解得或.又∵∴或∴或或或或. ∴集合元素的个数有5个.故选：D．例12．（2023·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．答案：【解析】分析：根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.【详解】因为，故或或，当时，，与元素的互异性矛盾，舍；当时，，符合；当时，或，根据元素的互异性，符合，故a的取值集合为.故答案为：【题型三】 集合的关系【典例例题】例13．（2023·江苏南京·高三开学考试）已知集合，则的子集个数为（       ）A． B．8 C． D．答案：C【解析】分析：求出，即得解.【详解】解：由题得.因为.所以.所以的子集个数为个.故选：C【方法技巧与总结】1.注意子集和真子集的区别和练习2.判断集合之间的关系：（1）定义判断（2）数形结合判断例14．（2023·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）．A． B．C． D．答案：D【解析】分析：先求出集合B，再由求出实数a的范围.【详解】或.因为集合，，所以.故选：D例15．（2023·全国·高三专题练习）若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根据题意得，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可.【详解】解：因为，所以，解得，因为，所以.所以，，均为错误表述.故选：D例16．（2023·浙江·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（       ）A． B． C． D．答案：B【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故，，，故选：B.【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.（多选题）例17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ）A．-2 B．-1 C．0 D．1答案：BCD【解析】分析：根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.例18．（2023·浙江·高三专题练习）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).答案：【解析】分析：由知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围.【详解】由知，集合B为A的非空子集或空集，即或，解得或故答案为：【题型四】 集合的运算-【典例例题】（多选题）例19．（2023·全国·高三专题练习）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．答案：BD【解析】分析：由题可知，利用包含关系即可判断.【详解】∵∴，若是的真子集，则，故A错误；由可得，故B正确；由可得，故C错误，D正确.故选：BD.【方法技巧与总结】1.注意并集与交集的大小关系2.补集和全集是不可分割的两个概念例20．（2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知集合，若，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：先解出集合，考虑集合是否为空集，集合为空集时合题意，集合不为空集时利用或解出的取值范围.【详解】由题意，，当时，，即，符合题意；当，即时，，则有或，即综上，实数的取值范围为.故选：C.例21．（2023·天津和平·二模）已知全集为，集合，集合，则（       ）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：化简集合B，由集合的并集、补集运算可求解.【详解】由题意知，所以，所以.故选：A例22．（2023·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知集合，全集，则（       ）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：首先解分式不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，等价于，解得或，所以或，由，解得，所以，所以，所以；故选：C例23．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）A．， B．，， C．， D．，，答案：B【解析】分析：由题知，进而得，再求阴影部分表示的集合即可.【详解】解：解不等式得，所以，因为，，，，所以 所以，图中的阴影部分表示的集合为.故选：B（多选题）例24．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A． B．C． D．答案：BC【解析】分析：先化简集合，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.【详解】因为，解不等式得，又因为.对于A，由题意得，故A错误；对于B，由上已证可知B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误；故选:BC例25．（2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________答案：【解析】分析：先算出集合B和集合A的补集，然后再求它们的交集即可.【详解】由得，又，所以或2，，又，所以.故答案为：.例26．（2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．答案：【解析】分析：由给定条件求出集合M，再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得．【详解】由题意，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是．故答案为：.【题型五】 集合与排列组合【典例例题】例27．（2023·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（       ）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：对A、B：不妨设，可得，根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若，则集合Y中至多有6个元素，所以，排除选项B；对C：对，则与一定成对出现，根据集合的定义可判断选项C；对D：取，则，根据集合的定义可判断选项D.【详解】解：不妨设，则的值为，显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，不妨设，则显然，则集合S中至少有7个元素，所以不可能，故排除A选项；其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.故选：D.【方法技巧与总结】利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想例28．（2023·全国·高三专题练习（理））设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（       ）A．32 B．56 C．72 D．84答案：B【解析】分析：分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.例29．（2023·安徽蚌埠·三模（理））设集合，则的子集个数为（       ）A．8 B．16 C．32 D．64答案：A【解析】分析：根据组合数的求解，先求得集合中的元素个数，再求其子集个数即可.【详解】因为，由，，，故集合有3个元素，故其子集个数为个.故选：A.例30．（2023·全国·高三专题练习），若表示集合中元素的个数，则_______，则_______．答案：          【解析】分析：解不等式可得，再考虑的整数部分，从而的值.【详解】当时，，故，即，，由于不能整除3，且，故从到，3的倍数共有682个，.故答案为：，.例31．（2023·全国·高三专题练习）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______．答案：     3     2022【解析】分析：化简A，可得；根据“容量”定义可得的，解方程即可.【详解】，则集合，所以．若集合，则集合，故，解得．故答案为：3；2022【点睛】关键点点睛：解决新情景问题的关键是读懂题意，准确理解新定义集合的“容量”的含义，并理解其本质．【题型六】 新定义【典例例题】例32．（2023·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(       )A．、中至少有一个关于乘法是封闭的B．、中至多有一个关于乘法是封闭的C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的D．、中每一个关于乘法都是封闭的答案：A【解析】分析：本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集、的并集，如为奇数集，为偶数集，或为负整数集，为非负整数集进行分析排除即可．【详解】若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C；若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D；从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.故选：A．【方法技巧与总结】1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。例33．（2023·上海市松江二中高三开学考试）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.答案：【解析】分析：由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.【详解】解：由题可知，，有4个元素，若取，则，此时，包含7个元素，具体如下：设集合，且，，则，且，则，同理，若，则，则，故，所以，又，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍去；若，则，故，所以，又，故，所以，故，此时，若，则，故，故，即，故，此时，即中有7个元素.故答案为：7.例34．（2023·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.答案：①③④【解析】分析：根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误.【详解】对于①，，则，①正确；对于②，，则，②不正确；对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，则，③正确；对于④，若整数、属于同一“类”，则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，则，故，若，不妨令，则，显然，于是得，，即整数属于同一“类”，“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．正确的结论是①③④.故答案为：①③④.例35．（2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.答案：【解析】分析：分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解【详解】当时，，此时满足，当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，所以当集合有公共元素时，解得，当集合有公共元素时，解得，故的取值集合为.故答案为：例36．（2023·全国·高三专题练习）已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：①存在，使得为完美集；②存在，使得为完美集；③如果，那么一定不为完美集；④使得A为完美集的所有的值之和为-2．其中，所有正确结论的序号是______．答案：①②【解析】分析：由题意得，，即t的范围为或，或，且，当时，分，，三种情况讨论，根据完美集可求得t的值，当时，同理可得t的值，从而可的答案.【详解】解：由题意得，，即t的范围为或，或，且，当时，当，又，故，则有，可得，此时，，解得；当，，故，则，可得，此时，，解得；当，，故，则有，可得，此时，，解得（舍去），无解；同理，当时，当，，当或，无解.综上，所有正确结论的序号是①②.故答案为：①②.【过关测试】一、单选题1．（2023·河北·模拟预测）已知全集，则（       ）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：直接按照补集和并集运算即可.【详解】由题意知：，.故选：B.2．（2023·陕西·模拟预测（理））已知集合，集合，则（       ）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.【详解】由得：，即；由，得：，即，，.故选：A.3．（2023·江苏盐城·三模）已知集合，，，则（       ）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由全集和集合可求出，再由交集运算性质即可求解.【详解】由题意得，，又则，因为，所以，故选：A.4．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（       ）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由韦恩图知阴影部分为，根据根式的性质及集合描述列举出集合A，应用集合的交补运算求结果.【详解】由题图，阴影部分为，而，，所以.故选：A5．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（       ）A．4 B．6 C．8 D．9答案：C【解析】分析：根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为，，所以，因此中有三个元素，所以的子集个数为，故选：C6．（2023·河南·模拟预测（文））设全集，，，则（       ）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由条件根据集合的运算的定义，判断各选项即可.【详解】因为，，，所以，，A错，，，，B错，，，C对，，D错，故选：C.7．（2023·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由题知，进而分和空集两种情况讨论求解即可.【详解】解：由题知，因为，所以，当时，，解得，当时，或，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：D8．（2023·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）．A． B．C． D．答案：D【解析】分析：先求出集合B，再由求出实数a的范围.【详解】或.因为集合，，所以.故选：D二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，满足，，全集，则下列说法中可能正确的有（       ）A．没有最大元素，有一个最小元素 B．有一个最大元素，没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．没有最大元素，也没有最小元素答案：ABD【解析】分析：根据新定义，并正确列举集合A和B，然后判断各选项即可.【详解】对于选项A：若，，，，则没有最大元素，有一个最小元素，故A可能成立；对于选项B：若，，A有一个最大元素，B没有最小元素，故B可能成立；对于选项C： A有一个最大元素，B有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾；故C不可能成立.对于选项D：若，，则A没有最大元素，B也没有最小元素，故D可能成立；故选：ABD.10．（2023·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（       ）A． B．C． D．答案：ABD【解析】分析：由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.【详解】对于A，，，，A正确；对于C，，，C错误；对于BD，，，，，BD正确.故选：ABD.11．（2023·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值可以是（　　）A．0 B． C． D．2答案：ABC【解析】分析：根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，，因为，所以，若，则，满足题意；若，则，因为，所以或，则或.综上：或或.故选：ABC.12．（2023·全国·高三专题练习）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（       ）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得答案：ABD【解析】分析：根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x4}，若，则实数a的取值范围是________．答案：a2【解析】分析：按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；. ②当a3即2aa＋3时，若，则有，解得a