新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题02函数的综合应用(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题02函数的综合应用(原卷版+解析)，共47页。
高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.
【题型归纳目录】
题型一：函数与数列的综合
题型二：函数与不等式的综合
题型三：函数中的创新题
【典例例题】
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·辽宁·东北育才学校二模）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例4．（2023·浙江·慈溪中学模拟预测）已知数列满足：，且，则下列关于数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·辽宁·二模）已知等差数列的前n项和为，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·上海·高三专题练习）若等差数列的公差，令函数，其中，则下列四个结论中：①；②；③；④；⑤；错误的序号是_________.
【方法技巧与总结】
利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：
（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.
(2)函数单调性与数列单调性的相似性.
（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.
题型二：函数与不等式的综合
例7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·海南·模拟预测）已知函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则的取值范围是__________．
例9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
例10．（2023·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
【方法技巧与总结】
不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答.
题型三：函数中的创新题
例11．（2023·全国·高三专题练习）定义两个函数的关系：函数的定义域分别为，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若为的一个“子函数”，求的最小值．
例12．（2023·上海·高三专题练习）若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域 上是“利普希兹条件函数”．
（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有．
例13．（2023·上海·高三专题练习）对定义域的函数，，规定：
函数
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域；
（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函
数，及一个的值，使得，并予以证明.
例14．（2023·上海·高三专题练习）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【方法技巧与总结】
紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数满足，则其图象关于点成中心对称.已知：函数，则函数图象的中心对称点是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数与的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为，，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习（理））已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有，记，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·天津一中模拟预测）已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习（文））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·浙江嘉兴·高二期中）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·福建福州·高一期末）设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，.若函数（，且），则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上为单调函数
B．在区间上不存在最大值
C．在区间上有5个零点
D．若的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则.
11．（2023·全国·高一单元测试）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个
B．可以是某个圆的“优美函数”
C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
12．（2023·重庆市秀山高级中学校高三阶段练习）设表示不超过的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则可由解得的范围是
D．若，则函数的值域为
13．（2023·全国·高二课时练习）已知函数，，其中，，，则______，______.
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，给出下列命题：①存在实数，使得函数为奇函数；②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点.其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）
15．（2023·全国·高三专题练习）已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
16．（2023·全国·高三专题练习）若，且上的值域为，则实数的取值范围是____________
17．（2023·全国·高三专题练习）设， ，为实数，，，记集合，，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论可能成立的是________．
①，；②，；③，；④，.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．
专题02函数的综合应用
【考点预测】
高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.
【题型归纳目录】
题型一：函数与数列的综合
题型二：函数与不等式的综合
题型三：函数中的创新题
【典例例题】
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用不等式可得，即，由累加法可得，利用不等式可得，即，同理用累加法可得，则，即可求解.
【详解】
∵（当时等号成立），∴，
当时，，即，
则，，
整理得，即，
即，，，，
将个不等式相加得，即，，
令，则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，即在出取得最大值，
，所以（当时等号成立），
当时，（当时等号成立），
即当时， ，，，
，，即，
同理利用累加法可得，即，
所以，则，
故选： .
例2．（2023·辽宁·东北育才学校二模）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用可得，且数列是单调递增数列，得出，利用导数可得在单调递增，即可得出当时，，即可求解.
【详解】
令，则，
由得，由得，
所以在单调递增，在单调递减，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，与已知矛盾，所以，
则，所以数列是单调递增数列，所以，
令，则，
所以在单调递增，则，
所以当时，，因为，所以，所以.
故选：B.
例3．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
将已知等式化为，根据的单调性和，可得，由此可化简得到；分别构造函数、、和，利用导数可求得各个函数在上的单调性，进而根据单调性得到最值，从而判断出各个选项的正误.
【详解】
，，
令，则，
在上单调递增，又，，
，
，，…，，
，解得：；
对于A，，
令，则，在上单调递减，
，，A错误；
对于B，，
令，则，
令，则，
在上单调递减，又，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，B错误；
对于C，，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减，
，，，使得，C错误；
对于D，，
令，则，
当时，，，即，
在上单调递增，
，，D正确.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题，解题关键是能够根据的特点，构造不等式求得的取值范围，进而可以通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解.
例4．（2023·浙江·慈溪中学模拟预测）已知数列满足：，且，则下列关于数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
构造函数（），由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明，然后构造函数（），利用导数证明，得，利用此不等式可直接判断A，对选项B，由数列的单调性与有界性知其极限存在，设，对数列的递推关系求极值可得，从而判断B，对选项C，引入函数设，由导数证明，得，从而利用不等式性质得出数列的不等关系，判断C，利用判断选项C所得正确不等式变形，并换元引入新数列，得前后项关系（求对数再变化），类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断D．
【详解】
首先我们证明：，利用数学归纳法．
事实上，当时，；
假设当时，，则当时，．
设函数（），则，则在上单调递增，
从而．
当时，设（），
则，设，
，则在上单调递减，又，
所以存在，使得，时，，时，，
故在上先增后减，从而，从而．
对于A选项：由于，，故数列单调递增，选项A错误．
对于B选项，由于单调递增且，从而存在，由可得，故，从而．故选项B错误．
对于C选项，由于时，
设，，
所以是增函数，，所以（），
时，，因此有（），
从而，故，故选项C错误．
对于D选项，由于，即，令，则，即，其中，故，从而，即，，即，故．从而选项D正确．
故选：D．
【点睛】
难点点睛：本题考查数列的性质，难度很大，解题难点在于有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．
例5．（2023·辽宁·二模）已知等差数列的前n项和为，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
把已知等式变形为，构造函数，可知和是函数的零点，故利用导数研究其单调性并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.
【详解】
令，即和是函数的零点
∵，故f(x)最多有一个零点
，
∴
又∵，，
∴1＜＜2，
∴，，∴.
故选：B
例6．（2023·上海·高三专题练习）若等差数列的公差，令函数，其中，则下列四个结论中：①；②；③；④；⑤；错误的序号是_________.
答案：②④
【解析】
分析：
不妨取，则过原点，且在最下方，根据性质逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
不妨取，则过原点，且在最下方，
可得①中，函数是正确的；
②中，，
所以，所以不正确；
③中，，
所以，所以是正确的；
④中，由，函数无最大值，所以不正确；
⑤中，函数，所以当时，函数取得最小值，
即函数，所以是正确的.
故答案为：②④.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的基本行性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用题设条件，构造新函数，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
【方法技巧与总结】
利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：
（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.
(2)函数单调性与数列单调性的相似性.
（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.
题型二：函数与不等式的综合
例7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.
【详解】
由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
例8．（2023·海南·模拟预测）已知函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则的取值范围是__________．
答案：
【解析】
分析：
令，讨论的单调性，分析画出函数的图象，由可知.
【详解】
关于的不等式有且仅有两个整数解，转化为有且仅有两个整数解，令，
当 ，，，所以在上单调递减，同理已知在，上单调递减，在上单调递增，且，的图象如下图，而的距离为1，即在之间有且仅有两个整数解，所以，则的取值范围是：.
故答案为：.
例9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
答案：
【解析】
分析：
将不等式化为，构造根据其单调性可得，求解即可.
【详解】
不等式变形为
所以，
令，则有，显然在R上单调递增，
则，可得解得.
故不等式的解集为．
故答案为：
例10．（2023·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
答案：
【解析】
分析：
根据题意先求，然后利用倒序相加法求，则由可得，求出的最小值即可求得的取值范围
【详解】
因为，
所以，
由，
，
所以，所以，
所以由，得，
，
，
所以，
令，（）则当，递减，当时，递增，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：
【方法技巧与总结】
不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答.
题型三：函数中的创新题
例11．（2023·全国·高三专题练习）定义两个函数的关系：函数的定义域分别为，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若为的一个“子函数”，求的最小值．
答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为，（2）．
【解析】
分析：
（1）求导，令，可得的单调递增区间；令，可得的单调递减区间；
（2）根据的单调性求出的取值范围，进而得到，即有实数解，从而得到，令，可得，令，则，，利用换元法和函数的单调性即可得出结果.
【详解】
（1），函数的定义域为，
，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为；
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间为，
综上，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，函数取得极小值，即最小值，
所以，
当时，，
且为连续函数，只需，
即有实数解，
即，因为，
则，
令，
即在区间上有实数解，
将看成直线上的点，
令，则，，
令，则，
所以的最小值为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式的解法，考查了换元法和等价转化法的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于难题.
例12．（2023·上海·高三专题练习）若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域 上是“利普希兹条件函数”．
（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有．
答案：(1)；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）不妨设，则恒成立． ，从而可得结果；（2）令，则，从而可得函数不是“利普希兹条件函数”； （3）设的最大值为，最小值为，在一个周期，内，利用基本不等式的性质可证明.
试题解析：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，
不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．
∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，
∴k的最小值为 ．
（2）f（x）=lg2x的定义域为（0，+∞），
令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=lg2﹣lg2=﹣1﹣（﹣2）=1，
而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，
∴函数f（x）=lg2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．
（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，
则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．
若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．
若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．
综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
例13．（2023·上海·高三专题练习）对定义域的函数，，规定：
函数
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域；
（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函
数，及一个的值，使得，并予以证明.
答案：（1）；（2）；
（3），当时，，此时.
【解析】
【详解】
试题分析：（１）依题意得，分讨论，利用函数性质可求得函数的解析式；（２）当时，易求；当时，，再对分和讨论，利用基本不等式即可求得函数的值域；（３）构造函数，可求得，继而可证得．
试题解析：（1）.
（2）当时,, 若时, 则,其中等号当时成立,
若时, 则,其中等号当时成立, 函数的值域是.
（3） 令,则
,
于是,
另解令,
于是.
考点：抽象函数及其应用．
例14．（2023·上海·高三专题练习）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在，
【解析】
分析：
（1）取特殊值使得不成立，即可证明；
（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；
（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.
【详解】
证明：（1）任取正常数，存在，所以，
因为，
即不恒成立，
所以不是“同比不减函数”.
（2）因为函数是“同比不减函数”，
所以恒成立，即恒成立，
对一切成立.
所以.
（3）设函数是“同比不减函数”，
，
当时，因为成立，
所以，所以，
而另一方面，若，
（Ⅰ）当时，
因为，
所以，所以有成立.
（Ⅱ）当时，
因为，
所以，
即成立.
综上，恒有有成立，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.
【方法技巧与总结】
紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由存在，使得成立，故，又对任意的实数a，b，，则，数形结合，为函数与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，求出的边界直线，即过点，再求出与平行且与相切的直线，则为与正中间的直线，可得答案.
【详解】
由存在，使得成立，故，
又对任意的实数a，b，，则，
可看作横坐标相同时，函数
与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又，作示意图如图所示：
设，则直线的方程，设与相切，
则，得，有，
得或，由图知，切点，则，
当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时，，故.
故选：B
【点睛】
本题考查了存在和任意问题，考查了学生分析理解能力，运算能力，数形结合思想，难度较大.
2．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数满足，则其图象关于点成中心对称.已知：函数，则函数图象的中心对称点是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
求出，即可求，即可选出正确答案.
【详解】
解:由得，，
所以，
所以图象的中心对称点是.
故选:D.
【点睛】
本题考查了函数对称中心的求解，属于基础题.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数与的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为，，则的取值范围是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
作出图象，求出，利用对称性把转化为，结合函数的单调性可求范围.
【详解】
作出函数，的图象如图，不妨设，
当经过点时，，
联立得，所以；
因为与的图象关于直线对称，而与垂直，所以，且.
令，且，
则易知为增函数，所以，
因为，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的性质，综合了分段函数的图象问题，函数的对称问题，范围问题等，难度较大，综合性较强，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.
4．（2023·全国·高三专题练习（理））已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有，记，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
构造,借助已知条件可判断出在区间上单调递减,由在上为奇函数,可知在上为偶函数,由,借助函数图象性质即可解得.
【详解】
不妨设:，由题意得，即，
同理.当时，有，
据此可得函数在区间上单调递减，且函数是偶函数，
因此，
，
因为，所以，即.
故选:.
【点睛】
本题通过构造新函数,利用函数的单调性,奇偶性,比较函数值大小的问题,注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较,考查分析问题和解决问题的能力，难度一般.
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
答案：C
【解析】
分析：
化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】
画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先求得函数关于原点对称的函数，把函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，转化为在上有解，利用导数求得函数的最值，借助有解，即求解．
【详解】
由题意，函数关于原点对称的函数为，即，
若函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，
则等价为在上有解，即，在上有解，
由，则，
当时，，此时函数为单调增函数；
当时，，此时函数为单调减函数，
即当时，取得极小值同时也是最小值，且，即，
当时，，即，
设，要使得有解，
则当过点 时，得，过点时，，解得，
综上可得．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的有解问题，以及函数的对称问题的应用，其中把函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，转化为有解，利用导数求得函数的最值，结合图象是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
7．（2023·天津一中模拟预测）已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
先参变分离得，然后分类讨论求出得最小值，列不等式解出的范围即可.
【详解】
解：因为，不等式恒成立，
所以，
即恒成立，
令，则，
时，＜0，g（x）递减；时，＞0，g（x）递增，
所以g（x）最小值为：，
令（），
所以
令
（1）当时，t≥4，，所以的最小值为：，
所以，
即，解得：，
所以
（2）当1＜＜4时，所以，，的最小值为：，
所以，
即，解得：
所以恒成立．
综合（1）（2）可知：
故选B.
【点睛】
本题考查了函数的综合问题，不等式恒成立问题，参变分离和分类讨论是解题关键，属于难题.
8．（2023·全国·高三专题练习（文））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】
本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
二、多选题
9．（2023·浙江嘉兴·高二期中）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】
分析：
由 “和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间”即可
【详解】
对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；
对B，，可假设在存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；
对C，，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”；
对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”
故选BD
【点睛】
本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题
10．（2023·福建福州·高一期末）设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，.若函数（，且），则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上为单调函数
B．在区间上不存在最大值
C．在区间上有5个零点
D．若的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则.
答案：BD
【解析】
由题意，画出的图象，观察在区间的图像即可判断选项AB；观察在区间上的零点即可判断选项C；通过条件分析出函数与的图象至少有4个交点，观察图像得到，即可判断选项D.
【详解】
由题意，画出的图象如图所示：
由在区间上的图象可知，
在区间上为非单调函数，A项错误；
在区间上，，没有最大值，B项正确；
无论还是，在区间内恒有1个零点，
由图象可知，在区间上有5个零点，
所以在区间上有6个零点，C项错误；
要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，
则函数与的图象至少有4个交点，
由图象得，
解得，D项正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点睛：本题是函数的综合问题，主要考查函数的图像，函数的单调性以及考生对新定义的理解.数形结合是解决本题的关键.
11．（2023·全国·高一单元测试）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个
B．可以是某个圆的“优美函数”
C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
答案：ABC
【解析】
分析：
利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数的图象是中心对称图形，则函数有可能是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误．
【详解】
对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；
对于B：因为函数图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，故选项B正确；
对于C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项C正确；
对于D：函数的图象是中心对称图形，则函数不一定是“优美函数”，如；函数是“优美函数”时，图象也不一定是中心对称图形，
如图所示：
所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”的不充分不必要条件，故选项D错误.
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：通过函数的新定义，结合函数图象的应用，以及对函数对称性的理解，使用数形结合的方法来分析问题.
12．（2023·重庆市秀山高级中学校高三阶段练习）设表示不超过的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则可由解得的范围是
D．若，则函数的值域为
答案：ABD
【解析】
根据的意义判断，即时，，．
【详解】
由题意时，，．
A．设，则，若，则，∴，即，A正确；
B．由的定义，时，，，
同理时，，时，，时，，
∴，B正确；
C．，，若，则，，，满足题意，但也满足题意，C错；
D．定义域是，
则，即，是奇函数；
设，，，则，
时，，，
时，，．
∴函数的值域为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查新定义函数，解题关键是理解新定义，用不等关系表示出函数的值，从而使问题得解．旨在学生的创新意识，运算求解能力．逻辑推理能力．
13．（2023·全国·高二课时练习）已知函数，，其中，，，则______，______.
答案： 0
【解析】
先令，代入函数即可计算出的值；然后根据题干的表达式可得，很明显，进一步化简计算再代入可得的值.
【详解】
由得，，
，
很明显，
∴，
即，
令，则，
∴，
故答案为：0，.
【点睛】
本题主要考查了函数与数列的综合．考查了转化思想，函数思想，逻辑思维能力和数学运算能力，属于难题.
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，给出下列命题：①存在实数，使得函数为奇函数；②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点.其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）
答案：②③
【解析】
利用特殊值法可判断①不正确；验证，可判定②正确；利用基本不等式可判定③正确；当时，分析出函数在上现递减再递增，即，可得出，利用不恒成立，可判定④错误，同理可得，当时，命题④也不成立，从而得到④为假命题.
【详解】
由题意，令，
函数的定义域为，则，
所以函数为偶函数.
对于①，若，则 ，则，此时函数不是奇函数；
若，则函数的定义域为且，，
，显然.
综上所述，对任意的，函数都不是奇函数；
对于②，，
所以，函数关于直线对称.
因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，所以②正确；
对于③，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，当时，两个等号可以同时成立，所以.
因此，实数的取值范围是，③正确；
对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有6个交点，
若，当时，
，
此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
当时，；
当时，任取，且，即，
则

，
因为，随着的增大而增大，
当且时，，
当且时，，
所以，使得当时，，
则，所以，函数在区间上单调递减；
当时，，则，
所以，函数在区间上单调递增，
所以，当时，.
若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点，
即直线与函数的图象有6个交点，
由于函数的图象关于直线对称，
则直线与函数在直线右侧的图象有3个交点，
所以，.
由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，
所以不可能恒成立，
所以当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数 均存在6个零点；
同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点，故命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
答案：
【解析】
画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．
【详解】
,
函数在单调递增，单调递减.
它的图像及关于直线对称的图像如图所示：
分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.
令，又P在y轴右侧，；
根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得
因此PQ中点坐标为：
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数综合，考查了函数的对称性，单调性综合应用，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于难题．
16．（2023·全国·高三专题练习）若，且上的值域为，则实数的取值范围是____________
答案：
【解析】
转化条件得，根据的取值范围画出图像即可得解.
【详解】
由题意，
当，函数图像如左图，，不符合题；
当，函数图像如右图，
，结合图像，当，或，
值域为，，即，.
综上.
【点睛】
本题考查了函数图像的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
17．（2023·全国·高三专题练习）设， ，为实数，，，记集合，，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论可能成立的是________．
①，；②，；③，；④，.
答案：①②③
【解析】
分析：
①根据，得到方程无实根，推出，或；再由此判断根的个数，即可判断①；②取，分别判断，根的个数，即可判断②；③取分别判断，根的个数，即可判断③；④当时，方程有三个根，所以，，，由此求根的个数，即可判断④.
【详解】
①当时，方程无实根，所以，或；当时，，由得，此时；
当，时，，由得，此时；故①成立；
②当时，由得，即；由得；即；存在②成立；
③当时，由得或；
由得 或；只需，即可满足，；故存在③成立；
④当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，则，且，故为方程的根．此时有三个根，即时，必有，故不可能是，；④错；
故答案为：①②③
【点睛】
本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．
答案：14
【解析】
【详解】
试题分析：由于定义域为的奇函数满足，

∴函数 为周期函数，且周期为8，
当时，，
函数在区间上的零点的个数，
即为函数 与 的交点的个数，
作出函数 上的函数的图象，
显然，当 时，交点最多，符合题意，
此时，零点的和为 .