新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法(原卷版+解析)，共48页。
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为.
= 2 \* GB3 ②若，解集为.
= 3 \* GB3 ③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
【典例例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
例1．（2023·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
例2．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（1，+∞）
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例6．（2023·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或B．{x|x>a}
C．或D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
例9．（2023·全国·高三专题练习）在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是
A．B．C．D．
例10．（2023·浙江·高三专题练习）设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，若该不等式在中有且只有一个整数解，求实数的取值范围
【方法技巧与总结】
1．数形结合处理．
2．含参时注意分类讨论．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例13．（2023·湖南岳阳·二模）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．8
例14．（2023·江苏南京·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
（多选题）例15．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
例16．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
【方法技巧与总结】
1．一定要牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
题型四：其他不等式解法
例18．（2023·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______．
例19．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
例20．（2023·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________.
例21．（2023·上海·高三专题练习）关于的不等式的解集为_________.
例22．（2023·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得
的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为____.
【方法技巧与总结】
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式平方处理．
题型五：二次函数根的分布问题
例23．（2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例25．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A．B．3C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
例28．（2023·全国·高三专题练习）设，若，求证：
(Ⅰ) 且；
(Ⅱ)方程在内有两个实根.
【方法技巧与总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山西·二模（理））已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·重庆·高三阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是
A．1B．2C．3D．4
10．（2023·江苏·高三专题练习）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ）
A．B．
C．的解集为D．的解集为或
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，时，
C．且时，
D．当时，若，则
12．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x，y的关系式，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．对任意实数a，都有成立
C．若对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
D．若对任意正实数a，不等式恒成立，则实数x的取值范围是
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则函数的单调递增区间是_______
14．（2023·浙江·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.
15．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
16．（2023·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.
四、解答题
17．（2023·北京·高三学业考试）已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
18．（2023·江西·高三期末（文））已知.
(1)解不等式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
19．（2023·全国·高三专题练习）设，若，，求证：
(1)方程有实数根；
(2)；
(3)设，是方程的两个实数根，则．
20．（2023·浙江·高三专题练习）若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
21．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
（2）是否存在，使同时满足以下条件：
①对任意，且；
②对任意，都有.
若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法
【考点预测】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为.
= 2 \* GB3 ②若，解集为.
= 3 \* GB3 ③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
【典例例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
例1．（2023·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
答案：D
【解析】
分析：
结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可.
【详解】
由解得，或，
所以不等式的解集为或，
故选：D.
例2．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据指数型函数的定点求解，代入后再求解一元二次不等式.
【详解】
当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
故选：D
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（1，+∞）
答案：C
【解析】
分析：
根据解析式，可得的单调性，根据条件，可得x+2＜x2+2x，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】
函数=，可得x≥0，递增；
当x＜0时，递增；且x=0时函数连续，
所以在R上递增，
不等式，
可化为x+2＜x2+2x，即x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2，
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.
故选：C
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
答案：B
【解析】
分析：
根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论.
【详解】
当时，该不等式为，解集为，不成立；
当时，由不等式的解集为，得，
解得，
故选：B.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据奇偶性定义可知为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定的单调性，从而将所求不等式转化为，解不等式可求得结果.
【详解】
定义域为，，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，又，在上均为增函数，
在上为增函数，则在上为减函数；
由可得：，即，
解得：，即不等式的解集为.
故选：D.
【方法技巧与总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例6．（2023·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
解：原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
例7．（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或B．{x|x>a}
C．或D．
答案：A
【解析】
分析：
当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.
【详解】
因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．
故选：A．
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
答案：A
【解析】
分析：
先判断函数单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得，解不等式即得解.
【详解】
任取，由已知得，即，所以函数单调递减．
由可得，
即，
所以，
即，
即，
又因为，
所以，
此时原不等式解集为．
故选：A
【点睛】
方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.
例9．（2023·全国·高三专题练习）在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
因为关于的不等式可化为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
要使得解集中至多包含个整数，则且，
所以实数的取值范围是，故选D.
点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.
例10．（2023·浙江·高三专题练习）设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
答案：
【解析】
分析：
由题意，求出方程的两根，讨论的正负，确定二次不等式的解集A的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.
【详解】
解：由题意，令，解得两根为，由此可知，
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
答案：(1)答案见解析
(2)能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}
【解析】
分析：
（1）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.
(1)
当k＝0时，A＝{x|x0且k≠2时，A＝{x|x