新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题06双变量问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题06双变量问题(原卷版+解析)，共53页。

破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
【题型归纳目录】
题型一：双变量单调问题
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
题型四：双变量不等式:中点型
题型五：双变量不等式:剪刀模型
题型六：双变量不等式:主元法
【典例例题】
题型一：双变量单调问题
例1．（2022•苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立
例2．（2020秋•龙岩期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，，证明：．
例3．（2022•辽宁）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．
例4．（2020春•平顶山期末）已知函数，．
（1）当为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：对于任意，．
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
例5．（2021春•海曙区校级期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
例6．（2021春•江宁区校级期中）已知函数，．
（1）当时，
①求的极值；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
例7．（2022•德阳模拟）设函数．
（1）当时，求的单调区间是的导数）；
（2）若有两个极值点、，证明：．
例8．（2022•潮州二模）已知函数，．
（1）讨论函数的极值点；
（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．
例9．（2022•浙江模拟）已知，函数．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）记，（其中为在上的两个零点，证明：．
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
例10．（2021春•温州期中）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，，证明：．
例11．（2021春•浙江期中）已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，，证明：．
例12．（2021秋•武汉月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．
题型四：双变量不等式:中点型
例13．（2022•呼和浩特二模）已知函数．
①讨论的单调性；
②设，证明：当时，；
③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．
例14．（2021秋•山西期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．
例15．（2022•沙坪坝区校级开学）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．
题型五：双变量不等式:剪刀模型
例16．（2022•日照一模）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图象与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
例17．（2021春•道里区校级期中）已知函数，是的极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．
例18．（2022•江西校级二模）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．
题型六：双变量不等式:主元法
例19．（2021春•哈密市校级月考）已知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
例20．（2021秋•广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
例21．（2022•微山县校级二模）设函数．
（Ⅰ） 求的极值；
（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，证明：．
【过关测试】
1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数
(1)当时，证明函数有两个极值点；
(2)当时，函数在上单调递减，证明
2．（2022·北京·北师大二附中三模）已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
3．（2022·湖北·高二阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
4．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））已知函数（，）.
(1)求函数的极值；
(2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：.
5．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明
6．（2022·湖北·模拟预测）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
7．（2022·山东济宁·高二期中）已知函数（），且有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
8．（2022·广东·广州市第七中学高二期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.
9．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
10．（2022·福建省厦门集美中学高二期中）已知函数．
(1)试讨论的极值；
(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数分别是函数的两个零点，求证：.
12．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
专题06 双变量问题
【方法技巧与总结】
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
【题型归纳目录】
题型一：双变量单调问题
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
题型四：双变量不等式:中点型
题型五：双变量不等式:剪刀模型
题型六：双变量不等式:主元法
【典例例题】
题型一：双变量单调问题
例1．（2022•苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）．
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即．
显然，，代入方程中得，．
△，方程无解．
故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；
（Ⅱ）依题意，
恒成立．
设，则上式等价于，
要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，
在上恒成立．
（1），则，
在上成立的必要条件是：．
下面证明：当时，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
，即，．
那么，当时，，；
当时，，，恒成立．
因此，的最大整数值为 3．
例2．（2020秋•龙岩期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，，证明：．
【解答】解：（1）的定义域为，，
若，则，所以在单调递增；
若，当时，；
当时，．
所以在单调递减，在单调递增；
证明：（2）因为存在两个极值点且，
，
所以的两个极值点，满足，
所以，不妨设，则，
则
，
要证，只需证，
设，
则，
知在单调递减，又（1），
当时，，故，
即，
所以．
例3．（2022•辽宁）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，．
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得．
则当时，；时，．
故在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）不妨假设，而，由（Ⅰ）知在单调递减，
从而，，
等价于，，①
令，则
①等价于在单调递减，即．
从而
故的取值范围为，．（12分）
例4．（2020春•平顶山期末）已知函数，．
（1）当为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：对于任意，．
【解答】解：（1）当时，，，
当时，；时，；当时，．
所以，时，取得最小值．
（2），，
时，，在单调递减．
（3）证明：时，，，，
当时，；当时，；
当时，．
即时，在和上单调递减，
在上单调递增．
由（2）知，当时，在上单调递减，
所以，当时，对任意，（b）（a），
即对任意，．
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
例5．（2021春•海曙区校级期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
令，△，
若，则△，恒成立，即，
则在上单调递减，
若，令，解得：，，
故时，，即，
，时，，即，
，时，，，
故在递减，在，递增，在，递减，
时，令，解得：，，
故时，，即，在递减，
综上：时，在单调递减，
时，在递减，在，递增，在，递减．
（2）若存在两个极值点，，且，
则，，由，可得，
则，
令，
，
，且与在上符号一致，
，
所以单调递增，所以（1），即，
所以，
故的取值范围是．
例6．（2021春•江宁区校级期中）已知函数，．
（1）当时，
①求的极值；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
【解答】解：（1）①时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故的极小值是，没有极大值；
②对任意都有，
即恒成立，由，故，故，
由①知在，单调递增，
故，可得，即，
当时，的最小值是（e），故的最大值是；
（2）证明：要证，只需证明即可，
由题意，是方程的两个不相等的实数根，
，，消去，
整理得：，
不妨设，令，则，
故只需证明当时，，即证明，
设，则，
于是在单调递增，从而（1），
故，故．
例7．（2022•德阳模拟）设函数．
（1）当时，求的单调区间是的导数）；
（2）若有两个极值点、，证明：．
【解答】解：（1）当时，，
则，
，，
显然递减，且（1），
故当时，，时，，
故在递增，在递减；
（2）证明：，
，
由题意知有2个不相等的实数根，
即有2个不相等的实数根，，
则，令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故（1），而时，，
故的取值范围是，，
由，得，
故
，
令，则，
，，
故不等式只要在时成立，
令，
，，
故在上单调递增，即，
故在上单调递减，即，
故原不等式成立．
例8．（2022•潮州二模）已知函数，．
（1）讨论函数的极值点；
（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．
【解答】解：（1），
，
令，△，
当时，△，，无极值点，
当时，令，解得：，
当，，时，，递增，
，时，，递减，
故极大值点是，极小值点是；
综上：时，无极值点，
时，极大值点是，极小值点是；
（2）由，即，
令，
，令，得，
当时，，当时，，
在递减，在，上递增，
又有2个零点，
，即，解得：，
且，两式相减得：，
设，，
，要证明，
即证明，，
，
即证明，
令，
，
在上单调递减，
（1），
即．
例9．（2022•浙江模拟）已知，函数．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）记，（其中为在上的两个零点，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，，在上递增，
又，故符合题意，
当时，在递减，在递增，
，故，
又，
，解得：，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
，不符合题意，
综上：．
（2）证明：令，则且，
记且，由于，
故在和上递减，在上递增，
且当时，，当时，，当时，，当时，，
根据题意可知，，且，
先证，即证，即证，显然成立；
再证，
，，
只需证，
，
，
只需证，即证，
又，
只需证，亦即，即，
由知，，
，故，即得证．
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
例10．（2021春•温州期中）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，，证明：．
【解答】证明：（1）当时，，定义域为，
，在定义域上恒成立，
所以在上单调递减，
当时，（1），
当时，（1），原命题得证．
（2），
若存在两个极值点，则，解得，
由韦达定理可知，，，
，
原命题即证：，
不妨设，原命题即证：，
由知，，即证：，不妨令，
原命题即证：，记，
则，
当时，，在上单调递减，
（1），原命题得证．
例11．（2021春•浙江期中）已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，，证明：．
【解答】（1）解：因为，
则，
当时，，
所以（1），
则在处的切线方程为；
（2）解：函数的定义域为，且，
令，且，
①当时，恒成立，此时，则在上单调递减；
②当时，判别式△，
当时，△，即，所以恒成立，此时函数在上单调递减；
当时，令，解得，
令，解得或，
所以在，上单调递增，在和，上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在和，上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，，，，
则
，
则，
故问题转化为证明即可，
即证明，则，
即证，即证在上恒成立，
令，其中（1），
则，
故在上单调递减，
则（1），即，
故，
所以．
例12．（2021秋•武汉月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
①当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
②当时，令，得或，
令，得，
所以在，，上单调递增，在上单调递减，
③当时，则，
所以在上单调递增，
④当时，令，得或，
，得，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：，则的定义域为，
，
若有两个极值点，，
则方程的判别式△，且，，
解得，又，所以，即，
所以
，
设，其中，，
由，解得，又，
所以在区间内单调递增，在区间，内单调递减，
即的最大值为，
所以恒成立．
题型四：双变量不等式:中点型
例13．（2022•呼和浩特二模）已知函数．
①讨论的单调性；
②设，证明：当时，；
③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．
【解答】解：①函数的定义域为，
，
当时，则由，得，
当时，，当，时，，
在单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，
在单调递增；
②设函数，
则，
，
当时，，而，
，
故当时，；
③由①可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，且，
不妨设，，，，，则，
由②得，，
又在，上单调递减，
，于是，
由①知，．
例14．（2021秋•山西期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．
【解答】解：（1），
①当时，，，单调递增；
②当时，，，单调递减；
，，单调递增，
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，则（a）．
不妨设，
要证，即证，即证，即证．
因为在单调递增，即证，
因为，所以即证，即证，
令
．
．
当，时，，单调递减，又，
所以，时，，即，
即，
又，所以，所以．
例15．（2022•沙坪坝区校级开学）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
又，
对于方程，△，
①若△，即时，则恒成立，
所以在上单调递增；
②若△，即时，令，解得，或，
当和，时，，
当，时，，
所以在和，上单调递增，
在，上单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，，单调递减区间为，；
（2）由（1）可知，当时，，，
又，
故，
由，
可得，
两式相减，可得，
所以，
令，
所以，
则，
所以在上单调递减，
由的取值范围为，，可得的取值范围为，
所以，
又因为，
故实数的取值范围是．
题型五：双变量不等式:剪刀模型
例16．（2022•日照一模）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图象与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【解答】解：（1）将代入切线方程中，得，
所以，又，解得或，
又，所以，
若，则（舍去）；
所以，则；
（2）由 （1）可知，，，所以，
令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为，
曲线在点处的切线方程为，则，
因为，所以，
所以
若，，
若，所以，
若，，所以在上单调递增，
，
函数在上单调递增．
所以；
（3）证明：，设的根为，则，
又单调递减，由（2）知恒成立．
又，所以，
设曲线在点处的切线方程为，则，
令，
当时，，
当时，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故．
又，所以．
例17．（2021春•道里区校级期中）已知函数，是的极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．
【解答】（Ⅰ）解：；
由题意知，；
；
（Ⅱ）证明：设曲线在，处切线为直线；
令；
；
；
在上单调递增，在，上单调递减；
；
，即，即上的点都不在直线的上方；
（Ⅲ）由（Ⅱ）设方程的解为；
则有，解得；
由题意知，；
令，；
；
在上单调递增；
；
的图象不在的下方；
与交点的横坐标为；
则有，即；
；
关于的函数在上单调递增；
．
例18．（2022•江西校级二模）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得：由得：
又当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时取得极大值，极大值为（1），无极小值．（3分）
（Ⅱ）设，，则，，
曲线在点处的切线方程为：，
即曲线在点处的切线方程为：（6分）
（Ⅲ）设，令
即，则
由于在单调递减，故在单调递减，又，
当时，当，时，，
在单调递增，在，单调递减，
，，即，都有；
设方程的根为，．
在单调递减，且
，
设曲线在点原点处的切线方程为：，则易得，
，有，即，
设方程的根为，则，
在单调递增，且，
，
即．
题型六：双变量不等式:主元法
例19．（2021春•哈密市校级月考）已知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
（3）若，求证：（b）．
【解答】解：（1） （1分）
令得：，
，；
令得：；（2分）
在，上为增函数；在，上为减函数．（4分）
（2）由（1）知：当时，有（b），（6分）
，即：，．（8分）
（3）将（a）（b）变形为：
（a）（b）（7分）
即只证：（a）
设函数（8分）
，
令，得：．
在，上单调递增；在，上单调递减；
的最小值为：，即总有：．（12分）
，即：，（13分）
令，，则
（a）（b），
（a）（b）成立．（14分）
例20．（2021秋•广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，
其导数为．
由或，
设，，
当时，；当时，．
即在区间上递增，在区间上递减，
，
又当时，，当时，且恒成立．
当或时，方程无根，函数只有一个极值点．
当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，
故函数只有一个极值点．
当时，方程有两个根、且，，
函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三个极值点．
综上所述，当或时，函数只有一个极值点．
（Ⅱ）依题意得，令，则对，都有成立．
，当时，函数在上单调递增，
注意到，
若，，有成立，这与恒成立矛盾；
当时，因为在上为减函数，且，
函数在区间上单调递增，在上单调递减，
，
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，
，
函数在上递增，在上递减，
，即的最小值的最大值为；
综上所述，的最小值的最大值为．
例21．（2022•微山县校级二模）设函数．
（Ⅰ） 求的极值；
（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，证明：．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为
（Ⅱ）
令，则
注意到：，若要，必须要求，即，亦即
另一方面：当时，恒成立；
故实数的取值范围为：
构造函数，，，
，，，在上是单调递增的；
故（b）（a），即：
另一方面，构造函数，
，
在上是单调递减的
故（b）（a）即：
综上，．
【过关测试】
1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数
(1)当时，证明函数有两个极值点；
(2)当时，函数在上单调递减，证明
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）构造函数求导,利用零点存在性定理,判断根的分布,进而可得函数的单调性,即可得极值.
（2）分离参数,转化为恒成立,构造函数,利用放缩法和分类讨论即可求解.
(1)
定义域为
当时
令
∵时，，单调递减，时，，单调递增
所以使
此时时，，单调递增，
时，，单调递减
时，，单调递增
∴是函数的两个极值点．
(2)
∵在上单调递减
∴恒成立
∴恒成立
①时，令
∵，∴
∴在单调递减，∴
又∵∴，∴
②时，，∵，∴
∴，∴
又∵，∴
令
令，∴
∴单调递减，∵
使，即
时，单调递增
时，单调递减
∴∴∴，∴
综上
【点睛】
本题考查导数的综合应用，极值点，不等式的证明，参数的取值范围，利用导数判断函数的单调性是基本操作，导函数符号对函数单调性的影响，以及零点存在性定理，适当的放缩，把双变量问题通过放缩变成单变量问题.
2．（2022·北京·北师大二附中三模）已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
答案：(1)
(2)①;②详见解析
【解析】
分析：
（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）①先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；
②先设，求导得.
设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由①得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.
(1)
时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.
(2)
①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值，且.
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
②设，则.
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由（1）知，，
所以，，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此，即.
由①可知，当时，，即，整理得，
所以.
因此，即.
所以函数在区间上单调递增.
由于，即，
即，
所以.
又函数在区间上单调递增，所以.
3．（2022·湖北·高二阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
答案：(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
分析：
（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；
（2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立.
(1)
.
当时，，令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当，即时，恒成立，所以在上单调递增.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时， 在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
(2)
证明：由题意得，.
要证，
只需证，
即证，
即证.
令，
所以只需证在上恒成立，
即证在上恒成立.
令，则，
令，则.
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以.
所以.
4．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））已知函数（，）.
(1)求函数的极值；
(2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：.
答案：(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的极值；
（2）首先由函数的最小值，确定，再结合零点存在性定理确定，，可得，再通过构造函数求函数的最小值.
(1)
（），，
若时，则恒成立，
在上单调递增，故没有极值；
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值，极小值为，无极大值.
(2)
证明：由（1）可知，当时，有最小值，，
由函数的最小值为0，得，
由题知，
，，
，
，，
，（），
令，则，
令，则在上单调递增，
又，在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
，
得证.
5．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）求出，对a分类讨论得出函数的单调性即可；
（2）化简进而即证：对任意的恒成立，通过求导进而得证.
(1)
解：
当时，
当时，，则
令，则，或，，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
(2)
有两个极值
是方程的两个不等实根，则
要证：，即证：
不妨设，即证：
即证：对任意的恒成立
令，，则
从而在上单调递减，故，所以
6．（2022·湖北·模拟预测）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
答案：(1)极大值为，无极小值
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】
分析：
（1）利用导数求单调区间，由单调区间即可求出极值；
（2）由和可得，由已知条件所给的不等式即可证得①；
由①可得，则，令，构造函数，利用二次求导根据单调性即可证得②.
(1)
函数的定义域为，
，
则当时，；时，．
即在上递增，上递减，
故的极大值为，无极小值．
(2)
结合（1）由，；，，可得，
①由题意可得，从而，
即，
结合参考的公式可得：，
故，
且，即，从而有．
②由①可得，令，则，
所以，
则，
则，∴递减，
又∵，∴，
故递增，∴，
即，
即．
7．（2022·山东济宁·高二期中）已知函数（），且有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)不存在；理由见解析
【解析】
分析：
（1）求导之后，根据导函数在上有两个变号零点，列式即可求解（2），假设存在，由（1）知，则，不妨设，代入，消元得，构造函数（）可知上述方程无实解，故不存在实数a，使成立
(1)
由题设，知函数的定义域为，
且，
因为函数有两个极值点，
所以在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
则有，
解得，即所求实数的取值范围是．
(2)
由题意，得，
又由（1）知，
所以
．
要使成立，只需．
由（1）知，则只需，
即．（※）
由于，所以不妨设，
则（※）式成立，等价于成立．
设（），
则，
所以函数在区间上单调递减，且，
所以
所以无实数解，即（※）式不成立，
所以不存在实数a，使成立．
8．（2022·广东·广州市第七中学高二期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）先写出函数定义域，然后求出，并按，讨论，最后判断即可.
（2）由（1）可得，设，，，计算，化简，计算，换元并构建函数，利用导数判断函数的单调性，最后可证结果.
(1)
的定义域为，
．
①若，则，所以在单调递增．
②若，则由得，
且当时，，当时，．
所以在单调递增，在单调递减．
(2)
由（1）可知：当时，函数在上单调递增，
故图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而．
当时，在单调递增，在单调递减，
不妨设，，，则．
由，
两式相减得：，
即：，
又
令，，
则，从而函数在上单调递减，
故，从而，又，所以．
9．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
答案：(1)当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数；
(2)；详见证明过程．
【解析】
分析：
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用（1）中的结论求出的范围，根据，构造函数，利用导数研究函数的单调性，得到，即可证明，令，，得到，得到，可知，最后根据函数的单调性证明结论成立即可．
(1)
的定义域为，且，
当时，成立，所以在为增函数，
当时，
①当时，，所以在上为增函数，
②当时，，所以在上为减函数；
综上：当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数，
(2)
结合（1），当时，取得极小值，
又∵函数有两个零点，∴，可得，
综上所述，；
下面证明结论成立：
不妨设，
设，，
可得，，
∴在上单调递增，
∴，即，，，
∴当时， ，
又∵，，∴，
又∵当时，单调递增，
∴，即，
设，，则，两式相比得，
即，∴，
又∵，
令，则，
令，则，
则在内单调递减，即，即，
故，故在上单调递减，
∴，
∴，即；
综上所述，．
10．（2022·福建省厦门集美中学高二期中）已知函数．
(1)试讨论的极值；
(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．
答案：(1)答案见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），，使得等价于，分别求出与，即可求解
(1)
函数的定义域为，
．
当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值．
当时，由，解得，故在上单调递增．
由，解得，故在上单调递减．
此时函数在处取得极大值．无极小值．
综上所述，当时，函数不存在极值．
当时，函数在处取得极大值，无极小值．
(2)
由（1）知当时，在上为增函数，
故无最大值，此时不符合题意；当时，．
易知在上单调递减，所以．
因为，，使得，
所以，即
解得，所以实数a的取值范围是．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数分别是函数的两个零点，求证：.
答案：证明见解析
【解析】
分析：
因为，只需证.令，
即证. 令，则，
所以函数在上单调递减，，即证.由上述分析可知.
【详解】
因为， 分别是函数的两个零点，
所以
两式相减，得，
所以.
因为， 所以.
要证，即证.
因，故又只要证.
令，则即证明.
令，，则.
这说明函数在区间上单调递减，所以，
即成立.
由上述分析可知成立.
12．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
答案：(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）求出导函数，由的正负确定单调区间；
（2）求出，，由导数确定的单调性，函数的变化趋势，从而得出的范围，由的关系，设，把都用表示，则可表示的函数，同样利用导数得出新函数是增函数，得出，再由对数函数的性质得证不等式成立．
(1)
，，在上单调递增，且，所以时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增；
(2)
，（），
时，递增，时，，递减，
时，，
存在使得，则，令，，
，令，
则，在上单调递增，，，
，，.