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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题11导数中的同构问题(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题11导数中的同构问题(原卷版+解析)，共47页。
知识点一、常见的同构函数图像
知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
【题型归纳目录】
题型一：不等式同构
题型二：同构变形
题型三：零点同构
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
题型五：利用同构求最值
题型六：利用同构证明不等式
【典例例题】
题型一：不等式同构
例1．（2023·陕西·西安中学模拟预测（理））已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·河南焦作·三模（理））设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例6．（2023·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________．
例7．（2023·安徽安庆·高三阶段练习（理））在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
例8．（2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例9．（2023·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·河南·高三期末（理））若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
例14．（2023·全国·高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例16．（2023·河南·高三阶段练习（文））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·安徽亳州·高三期末（理））已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·安徽合肥·高三期末（理））若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例21.（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：利用同构求最值
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
题型六：利用同构证明不等式
例24．（2023·福建南平·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：函数有两个零点，且.
例25．（2023·四川眉山·三模（文））已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
例26．（2023·河北·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
例27．（2023·河南郑州·二模（文））已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：
例28．（2023·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
专题11 导数中的同构问题
【考点预测】
知识点一、常见的同构函数图像
知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
【题型归纳目录】
题型一：不等式同构
题型二：同构变形
题型三：零点同构
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
题型五：利用同构求最值
题型六：利用同构证明不等式
【典例例题】
题型一：不等式同构
例1．（2023·陕西·西安中学模拟预测（理））已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
构造函数，根据单调性即可确定的大小.
【详解】
设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
故选：A.
【点睛】
解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.
例2．（2023·河南焦作·三模（理））设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
因为，所以．
设，
则，
令，则．
当时，，，，
所以，所以当时，，
所以在上单调递增，
从而，
因此，即．
综上可得．
故选：A
【点睛】
比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，可以作差进行比较大小，而的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.
例3．（2023·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.
【详解】
构造，，则恒成立，
则，
当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，，即，
因为，
所以
因为，
所以，
因为在在单调递减，
所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
【点睛】
结合题目特征，构造函数，利用函数单调性比较函数值的大小，是比较大小很重要的方法，本题中构造进行求解.
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
答案：(1)，.
(2)，.
(3)，.
(4)，.
(5)，.
(6)，.
(7)，.
(8)，.
【解析】
分析：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.
(1)
显然，则，.
(2)
显然，则，.
(3)
显然，则，.
(4)
显然，则
，.
(5)
，.
(6)
，，.
(7)
，.
(8)
，.
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
分析：
先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.
【详解】
，
设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，
若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；
若，则时，，单调递减，时，，单调递增.
因为函数在R上有两个零点，所以，
而，
限定 ，记，，即在上单调递增，于是，则时 ，，此时，因为，所以，于是时，.
综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.
故选：C.
例6．（2023·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________．
答案： 3 8
【解析】
分析：
两个方程分别取自然对数，转化后由同构的定义求得，然后利用新函数的单调性得关系，从而求得的值．
【详解】
对两边取自然对数得 ①．对两边取自然对数得，即 ②．
因为方程①，②为两个同构方程，所以，解得．
设（），则，
所以函数在上单调递增，所以方程的解只有一个，所以，
所以，故．
故答案为：3；8．
例7．（2023·安徽安庆·高三阶段练习（理））在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
答案：（1）；（2）答案见解析.
【解析】
分析：
（1）根据同构方程的定义，以及关于的方程和关于的方程可化为同构方程知，； 在 单调递增，所以方程的解只有一个得，则可得；
（2）将所要证明的转化为证明利用换元法将双变量化为单变量，
故等价于证，通过证明和来达到证明原式的目的.
【详解】
（1）对两边取自然对数，得(1),
对两边取自然对数，得
即，
因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 ，则 ,
所以 在 单调递增，所以方程的解只有一个,
所以 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）知：
所以
要证，即证明等价于
令 ，则只要证明 即可，
由 知， ，故等价于证
设 则 ，即 在 单调递增，
故 ，即 .
设则 ，即在单调递增，
故，即 。
由上可知成立，则.
例8．（2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
答案：(1)单调递增区间为；单减区间为
(2)
【解析】
分析：
（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数的单调区间；（2）同构处理，为设函数，则，结合的单调性得到有两个根，结合第一问中的结论，列出不等关系，求出a的取值范围.
(1)
函数的定义域为，
．
函数的单调递增区间为；单减区间为．
(2)
要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根．
即．
整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以．
所以只需使有两个根，设．
由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，
故函数在处取得极大值，．
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得：．
所以a的取值范围是．
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例9．（2023·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.
【详解】
由题意可知，不等式变形为.
设，
则
.
当时，即在上单调递减.
当时，即在上单调递增.
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.
所以，即在上单调递增.
若使得对任意，恒有成立.
则需对任意，恒有成立.
即对任意，恒有成立，则在恒成立.
设则.
当时，，函数在上单调递增
当时，，函数在上单调递减
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.
所以，即，则实数的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.
例10．（2023·河南·高三期末（理））若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．
答案：
【解析】
分析：
先对不等式进行化简换元得到，结合，对进行分类讨论，得到不同情况下的单调性及极值，进而判断出结果.
【详解】
整理为：，其中，故，令，则，，注意到：，其中，当时，令，解得：，令，解得：，则，满足题意；
当时，令得：，令得：，则在上单调递增，在上单调递减，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
故不满足题意，舍去；
当时，令得：，令得：，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
当时，，故不合题意，舍去.
综上：a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
求解参数的取值范围，对于不容易参变分离的函数，处理方法，往往要结合函数解析式的特征，构造新函数，而在构造新函数的过程中，同构是针对于同时出现指数函数与对数函数的一种有效方法，要能灵活应用.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
答案：
【解析】
分析：
将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.
【详解】
∵对于任意，，不等式恒成立
∴对于任意，，即恒成立
当时，；
当，，
设，则，所以在上单调递增，
由，知，即，即
设，，求导
令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴在处取得极大值，且为最大值，
所以时，不等式恒成立
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解.
例12．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
答案：
【解析】
首先不等式变形为，经讨论不成立，当时，不等式变形为，通过设函数，转化为不等式恒成立，通过函数的单调性，和正负区间，讨论求的取值范围.
【详解】
解：
若，时，，，∴，
此时不恒成立，∴，
，
令，，
时，，，，
在单调递减，单调递增，∴，
，时，，，原不等式恒成立；
时，
令，，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，
∴，∴，
∴，即，∴，∴．
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，第一个关键是说明 不恒成立，第二个关键是时，不等式的变形，构造函数，第三关键是证明.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
答案：
【解析】
分析：
先将不等式变形为，
再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为
，然后求出函数的最大值，即解出．
【详解】
可变为，
再变形可得，，设，原不等式等价于
，因为，所以函数在上单调递减，在
上单调递增，而，，
当时，，所以由可得，，
因为，所以．
设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．
当时，不等式在恒成立；
当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查构造函数法的应用，利用函数的单调性解不等式，分离参数法的应用，导数在研究函数中的应用，解题关键是构造合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，转化能力和数学运算能力，属于难题．
例14．（2023·全国·高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
化简得，
从而，，
构造函数，有单调性得，再化简得，
再构造函数，求得最大值即可.
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
即，
设函数，，
，
所以函数在为增函数，
所以所以，
设函数，
，
所以函数在为增函数，在为减函数，
所以，
所以的最大值为，
故选：A.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.
【详解】
由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，
令，则，
令，则，
在单调递增，
，
存在唯一零点，且，使得，
在单调递减，在单调递增，，
，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数，将题目转化为求解的最小值.
例16．（2023·河南·高三阶段练习（文））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先根据题目不等式构造，得到，构造，，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.
【详解】
依题意，．
令，
则．
令，，
则，
所以在上单调递减，
则，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在单调递增，故．
所以，实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】
同构思想，在利用导函数求解参数的取值范围问题上，经常考察，通常题目特征为题干条件中同时出现了指数函数和对数函数，则可以考察同构的方法.
例17．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先求导确定在上单调递减，由得到，
构造函数得在上单调递减，即在上恒成立，
参变分离后求出a的取值范围即可.
【详解】
由题意知，定义域为，，又，故，在上单调递减，
不妨设，对，恒有，即，，
令，由上可知在上单调递减，则在上恒成立，
从而恒成立，设，，
当时，单减；当时，单增；
，故.
故选：D.
【点睛】
本题关键点在于由的单调性，将转化为，从而得到在上单调递减，
即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可.
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
参变分离，构造函数，研究单调性，得到，再构造，研究其单调性，得到有解，进而得到，求出结果.
【详解】
因为，所以，则当时，不等式恒成立等价于．设，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．则，即，即，当且仅当时，等号成立．设，则．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．因为，，所以有解，则，当且仅当时，等号成立，从而，故．
故选：B
【点睛】
参变分离是一种求解参数取值范围的重要方法，参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂.
例19．（2023·安徽亳州·高三期末（理））已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
构造函数，利用函数单调性解出，两边取对数，进行参变分离，求导后求出最值，得到答案.
【详解】
令，，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
因为，，所以，，
因为，所以，
两边取对数得，即，故，
令，，，
当时，，当时，，
故在上取得最大值，，故，
综上：的最小值为.
故选：C.
【点睛】
结合不等式特点，构造函数，结合函数不等式问题，要利用导函数研究其单调性，结合参变分离及最值问题处理恒成立问题.
例20．（2023·安徽合肥·高三期末（理））若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由题设易得，并将原不等式化为，构造结合导数研究单调性，可得，进而有在上恒成立，再构造，应用导数求其最小值，即可确定a的范围，即知最大值.
【详解】
由题设，在上恒成立，
∴，即，
原不等式可化为，
∴，即，
令，则，即在上递增，
由上知：，则，即在上恒成立，
令，则，又，，
∴，，即，故在上递减，
∴，故，可得，
综上，，故a的最大值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：将原不等式转化为，应用同构法构造，并确定其单调性得在上恒成立，进而构造中间函数应用导数求最值，可得参数范围.
例21.（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】
因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
当时，，从四个选项均为负，考虑，此时有，
两边取对数得：，
所以
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无最大值，
此时无解，
综上：故a的最小值是．
故选：C
【点睛】
同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
题型五：利用同构求最值
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值.
【详解】
由题意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上单调递增，
∴综上知：，
∴，
令，，则
∴，得；，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
∴，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
例23．（2023·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
答案：B
【解析】
分析：
将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.
【详解】
解：易知等价于．
令，则．
令得．
当时；当时．
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值．
令，则．
当时不符合，舍去，所以．
则，．
当时；当时．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值．
若成立，只需，
即，即．
两边取自然对数可得．
当时等式成立；当时有．
令，本题即求的最大的正整数．
恒成立，则在上单调递减．
因为，，，
所以的最大正整数为9．
故选：B．
题型六：利用同构证明不等式
例24．（2023·福建南平·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：函数有两个零点，且.
答案：(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）直接求导，分和讨论单调性即可；
（2）先讨论当时无零点，再讨论时，通过同构得到，即，确定在上的零点，即可证明有两个零点；由相减得，换元令，进而得到，通过放缩构造函数即可求证.
(1)
定义域为，，当时，，在上单调递增；
当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；
综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)
当时，因为，所以，无零点.当时，由，
得，即，设，则有，因为在上成立，
所以在上单调递减，当时，，所以等价于，
即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
又， ，，
所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.
不妨设，则，相减得，
设，则，代入上式，解得，所以，
因为，所以，因此要证，只需证，即证，
设，则，所以在递增，，
即，因为，所以可化成，又因为，所以.
例25．（2023·四川眉山·三模（文））已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
答案：(1)的单调增区间为，单调减区间为；
(2)详解解析.
【解析】
分析：
（1）由题可得，构造函数，利用导数可得当或时，，当时，，进而即得；
（2）由题可转化为证明，构造函数，利用导数可得，结合（1）即证.
(1)
∵，
∴，
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又，，
∴当或时，，即单调递增，当时，，即单调递减，
综上，的单调增区间为，单调减区间为；
(2)
∵，，
要证，即证，
也就是证，
设，则，
∴当时，单调递增，
∴，
由（1）可知当时，，即，
∴当时，，
所以，当时，.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
例26．（2023·河北·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
答案：(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）直接求导确定的单调性即可；
（2）令，先证，构造函数，求导确定的单调性进而证得；再证，构造函数，求导确定单调性进而证得.
(1)
，定义域为，
由，解得，
由，解得，
由，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)
∵a，b为两个不相等的正数，且，
∴，即，
由（1）可知，且，时，，
则令，
则为的两根，且，
不妨设，则，
先证，即证，即证，
令，即证在上，，
则，
在上单调递增，即，
∴在上恒成立，即在上单调递减，，
∴，即可得；
再证，即证，
由（1）单调性可得证，
令，
，
在上单调递增，
∴，且当，
所以存在使得，
即当时，单调递减，
当时，单调递增，
又有，
且，
所以恒成立，
∴，
则，即可证得．
【点睛】
本题关键点在于先令，再将转化为两个极值点偏移问题，先构造函数，求导确定在上，即可证明；再构造函数，求导得恒成立，即可证得，即可证得.
例27．（2023·河南郑州·二模（文））已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：
答案：(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）首先确定定义域为求导可得，根据导数的应用，
分和时，两种情况讨即可得解；
（2）要证即证，
令，求导利用隐零点问题的解决方法求得即可.
(1)
定义域为，
则，时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
故函数的极大值为，无极小值
(2)
证明等价证明（），
即.
令
，
令，则在上单调递增，
而，
故在上存在唯一零点，且，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
故，又因为即，
所以，从而，
即
【点睛】
本题考查了导数的应用，导函数则原函数为增函数，原函数为减函数，同时考查了极值的概念.本题的关键点如下：
（1）极值点在何处取得；
（2）隐零点问题在求最值中的运用.
例28．（2023·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调区间；
（2）对原不等式整理化简得到，将整体代换，并构造函数求解的取值范围，通过整体代换，构造新函数，利用导数求解函数的极值，结合的取值范围，即可证明.
(1)
解：由题意可得．
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
证明：由题得，时，对任意的，都有，即，
等价于，即.
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，当且仅当时，等号成立．
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以有解，
则，当且仅当时，等号成立．
即，即．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
知识点一、常见的同构函数图像
知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
【题型归纳目录】
题型一：不等式同构
题型二：同构变形
题型三：零点同构
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
题型五：利用同构求最值
题型六：利用同构证明不等式
【典例例题】
题型一：不等式同构
例1．（2023·陕西·西安中学模拟预测（理））已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·河南焦作·三模（理））设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例6．（2023·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________．
例7．（2023·安徽安庆·高三阶段练习（理））在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
例8．（2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例9．（2023·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·河南·高三期末（理））若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
例14．（2023·全国·高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例16．（2023·河南·高三阶段练习（文））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·安徽亳州·高三期末（理））已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·安徽合肥·高三期末（理））若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例21.（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：利用同构求最值
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
题型六：利用同构证明不等式
例24．（2023·福建南平·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：函数有两个零点，且.
例25．（2023·四川眉山·三模（文））已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
例26．（2023·河北·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
例27．（2023·河南郑州·二模（文））已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：
例28．（2023·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
专题11 导数中的同构问题
【考点预测】
知识点一、常见的同构函数图像
知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
【题型归纳目录】
题型一：不等式同构
题型二：同构变形
题型三：零点同构
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
题型五：利用同构求最值
题型六：利用同构证明不等式
【典例例题】
题型一：不等式同构
例1．（2023·陕西·西安中学模拟预测（理））已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
构造函数，根据单调性即可确定的大小.
【详解】
设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
故选：A.
【点睛】
解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.
例2．（2023·河南焦作·三模（理））设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
因为，所以．
设，
则，
令，则．
当时，，，，
所以，所以当时，，
所以在上单调递增，
从而，
因此，即．
综上可得．
故选：A
【点睛】
比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，可以作差进行比较大小，而的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.
例3．（2023·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.
【详解】
构造，，则恒成立，
则，
当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，，即，
因为，
所以
因为，
所以，
因为在在单调递减，
所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
【点睛】
结合题目特征，构造函数，利用函数单调性比较函数值的大小，是比较大小很重要的方法，本题中构造进行求解.
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
答案：(1)，.
(2)，.
(3)，.
(4)，.
(5)，.
(6)，.
(7)，.
(8)，.
【解析】
分析：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.
(1)
显然，则，.
(2)
显然，则，.
(3)
显然，则，.
(4)
显然，则
，.
(5)
，.
(6)
，，.
(7)
，.
(8)
，.
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
分析：
先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.
【详解】
，
设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，
若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；
若，则时，，单调递减，时，，单调递增.
因为函数在R上有两个零点，所以，
而，
限定 ，记，，即在上单调递增，于是，则时 ，，此时，因为，所以，于是时，.
综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.
故选：C.
例6．（2023·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________．
答案： 3 8
【解析】
分析：
两个方程分别取自然对数，转化后由同构的定义求得，然后利用新函数的单调性得关系，从而求得的值．
【详解】
对两边取自然对数得 ①．对两边取自然对数得，即 ②．
因为方程①，②为两个同构方程，所以，解得．
设（），则，
所以函数在上单调递增，所以方程的解只有一个，所以，
所以，故．
故答案为：3；8．
例7．（2023·安徽安庆·高三阶段练习（理））在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
答案：（1）；（2）答案见解析.
【解析】
分析：
（1）根据同构方程的定义，以及关于的方程和关于的方程可化为同构方程知，； 在 单调递增，所以方程的解只有一个得，则可得；
（2）将所要证明的转化为证明利用换元法将双变量化为单变量，
故等价于证，通过证明和来达到证明原式的目的.
【详解】
（1）对两边取自然对数，得(1),
对两边取自然对数，得
即，
因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 ，则 ,
所以 在 单调递增，所以方程的解只有一个,
所以 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）知：
所以
要证，即证明等价于
令 ，则只要证明 即可，
由 知， ，故等价于证
设 则 ，即 在 单调递增，
故 ，即 .
设则 ，即在单调递增，
故，即 。
由上可知成立，则.
例8．（2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
答案：(1)单调递增区间为；单减区间为
(2)
【解析】
分析：
（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数的单调区间；（2）同构处理，为设函数，则，结合的单调性得到有两个根，结合第一问中的结论，列出不等关系，求出a的取值范围.
(1)
函数的定义域为，
．
函数的单调递增区间为；单减区间为．
(2)
要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根．
即．
整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以．
所以只需使有两个根，设．
由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，
故函数在处取得极大值，．
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得：．
所以a的取值范围是．
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例9．（2023·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.
【详解】
由题意可知，不等式变形为.
设，
则
.
当时，即在上单调递减.
当时，即在上单调递增.
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.
所以，即在上单调递增.
若使得对任意，恒有成立.
则需对任意，恒有成立.
即对任意，恒有成立，则在恒成立.
设则.
当时，，函数在上单调递增
当时，，函数在上单调递减
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.
所以，即，则实数的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.
例10．（2023·河南·高三期末（理））若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．
答案：
【解析】
分析：
先对不等式进行化简换元得到，结合，对进行分类讨论，得到不同情况下的单调性及极值，进而判断出结果.
【详解】
整理为：，其中，故，令，则，，注意到：，其中，当时，令，解得：，令，解得：，则，满足题意；
当时，令得：，令得：，则在上单调递增，在上单调递减，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
故不满足题意，舍去；
当时，令得：，令得：，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
当时，，故不合题意，舍去.
综上：a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
求解参数的取值范围，对于不容易参变分离的函数，处理方法，往往要结合函数解析式的特征，构造新函数，而在构造新函数的过程中，同构是针对于同时出现指数函数与对数函数的一种有效方法，要能灵活应用.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
答案：
【解析】
分析：
将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.
【详解】
∵对于任意，，不等式恒成立
∴对于任意，，即恒成立
当时，；
当，，
设，则，所以在上单调递增，
由，知，即，即
设，，求导
令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴在处取得极大值，且为最大值，
所以时，不等式恒成立
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解.
例12．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
答案：
【解析】
首先不等式变形为，经讨论不成立，当时，不等式变形为，通过设函数，转化为不等式恒成立，通过函数的单调性，和正负区间，讨论求的取值范围.
【详解】
解：
若，时，，，∴，
此时不恒成立，∴，
，
令，，
时，，，，
在单调递减，单调递增，∴，
，时，，，原不等式恒成立；
时，
令，，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，
∴，∴，
∴，即，∴，∴．
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，第一个关键是说明 不恒成立，第二个关键是时，不等式的变形，构造函数，第三关键是证明.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
答案：
【解析】
分析：
先将不等式变形为，
再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为
，然后求出函数的最大值，即解出．
【详解】
可变为，
再变形可得，，设，原不等式等价于
，因为，所以函数在上单调递减，在
上单调递增，而，，
当时，，所以由可得，，
因为，所以．
设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．
当时，不等式在恒成立；
当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查构造函数法的应用，利用函数的单调性解不等式，分离参数法的应用，导数在研究函数中的应用，解题关键是构造合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，转化能力和数学运算能力，属于难题．
例14．（2023·全国·高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
化简得，
从而，，
构造函数，有单调性得，再化简得，
再构造函数，求得最大值即可.
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
即，
设函数，，
，
所以函数在为增函数，
所以所以，
设函数，
，
所以函数在为增函数，在为减函数，
所以，
所以的最大值为，
故选：A.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.
【详解】
由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，
令，则，
令，则，
在单调递增，
，
存在唯一零点，且，使得，
在单调递减，在单调递增，，
，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数，将题目转化为求解的最小值.
例16．（2023·河南·高三阶段练习（文））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先根据题目不等式构造，得到，构造，，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.
【详解】
依题意，．
令，
则．
令，，
则，
所以在上单调递减，
则，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在单调递增，故．
所以，实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】
同构思想，在利用导函数求解参数的取值范围问题上，经常考察，通常题目特征为题干条件中同时出现了指数函数和对数函数，则可以考察同构的方法.
例17．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先求导确定在上单调递减，由得到，
构造函数得在上单调递减，即在上恒成立，
参变分离后求出a的取值范围即可.
【详解】
由题意知，定义域为，，又，故，在上单调递减，
不妨设，对，恒有，即，，
令，由上可知在上单调递减，则在上恒成立，
从而恒成立，设，，
当时，单减；当时，单增；
，故.
故选：D.
【点睛】
本题关键点在于由的单调性，将转化为，从而得到在上单调递减，
即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可.
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
参变分离，构造函数，研究单调性，得到，再构造，研究其单调性，得到有解，进而得到，求出结果.
【详解】
因为，所以，则当时，不等式恒成立等价于．设，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．则，即，即，当且仅当时，等号成立．设，则．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．因为，，所以有解，则，当且仅当时，等号成立，从而，故．
故选：B
【点睛】
参变分离是一种求解参数取值范围的重要方法，参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂.
例19．（2023·安徽亳州·高三期末（理））已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
构造函数，利用函数单调性解出，两边取对数，进行参变分离，求导后求出最值，得到答案.
【详解】
令，，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
因为，，所以，，
因为，所以，
两边取对数得，即，故，
令，，，
当时，，当时，，
故在上取得最大值，，故，
综上：的最小值为.
故选：C.
【点睛】
结合不等式特点，构造函数，结合函数不等式问题，要利用导函数研究其单调性，结合参变分离及最值问题处理恒成立问题.
例20．（2023·安徽合肥·高三期末（理））若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由题设易得，并将原不等式化为，构造结合导数研究单调性，可得，进而有在上恒成立，再构造，应用导数求其最小值，即可确定a的范围，即知最大值.
【详解】
由题设，在上恒成立，
∴，即，
原不等式可化为，
∴，即，
令，则，即在上递增，
由上知：，则，即在上恒成立，
令，则，又，，
∴，，即，故在上递减，
∴，故，可得，
综上，，故a的最大值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：将原不等式转化为，应用同构法构造，并确定其单调性得在上恒成立，进而构造中间函数应用导数求最值，可得参数范围.
例21.（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】
因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
当时，，从四个选项均为负，考虑，此时有，
两边取对数得：，
所以
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无最大值，
此时无解，
综上：故a的最小值是．
故选：C
【点睛】
同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
题型五：利用同构求最值
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值.
【详解】
由题意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上单调递增，
∴综上知：，
∴，
令，，则
∴，得；，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
∴，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
例23．（2023·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
答案：B
【解析】
分析：
将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.
【详解】
解：易知等价于．
令，则．
令得．
当时；当时．
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值．
令，则．
当时不符合，舍去，所以．
则，．
当时；当时．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值．
若成立，只需，
即，即．
两边取自然对数可得．
当时等式成立；当时有．
令，本题即求的最大的正整数．
恒成立，则在上单调递减．
因为，，，
所以的最大正整数为9．
故选：B．
题型六：利用同构证明不等式
例24．（2023·福建南平·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：函数有两个零点，且.
答案：(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）直接求导，分和讨论单调性即可；
（2）先讨论当时无零点，再讨论时，通过同构得到，即，确定在上的零点，即可证明有两个零点；由相减得，换元令，进而得到，通过放缩构造函数即可求证.
(1)
定义域为，，当时，，在上单调递增；
当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；
综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)
当时，因为，所以，无零点.当时，由，
得，即，设，则有，因为在上成立，
所以在上单调递减，当时，，所以等价于，
即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
又， ，，
所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.
不妨设，则，相减得，
设，则，代入上式，解得，所以，
因为，所以，因此要证，只需证，即证，
设，则，所以在递增，，
即，因为，所以可化成，又因为，所以.
例25．（2023·四川眉山·三模（文））已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
答案：(1)的单调增区间为，单调减区间为；
(2)详解解析.
【解析】
分析：
（1）由题可得，构造函数，利用导数可得当或时，，当时，，进而即得；
（2）由题可转化为证明，构造函数，利用导数可得，结合（1）即证.
(1)
∵，
∴，
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又，，
∴当或时，，即单调递增，当时，，即单调递减，
综上，的单调增区间为，单调减区间为；
(2)
∵，，
要证，即证，
也就是证，
设，则，
∴当时，单调递增，
∴，
由（1）可知当时，，即，
∴当时，，
所以，当时，.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
例26．（2023·河北·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
答案：(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）直接求导确定的单调性即可；
（2）令，先证，构造函数，求导确定的单调性进而证得；再证，构造函数，求导确定单调性进而证得.
(1)
，定义域为，
由，解得，
由，解得，
由，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)
∵a，b为两个不相等的正数，且，
∴，即，
由（1）可知，且，时，，
则令，
则为的两根，且，
不妨设，则，
先证，即证，即证，
令，即证在上，，
则，
在上单调递增，即，
∴在上恒成立，即在上单调递减，，
∴，即可得；
再证，即证，
由（1）单调性可得证，
令，
，
在上单调递增，
∴，且当，
所以存在使得，
即当时，单调递减，
当时，单调递增，
又有，
且，
所以恒成立，
∴，
则，即可证得．
【点睛】
本题关键点在于先令，再将转化为两个极值点偏移问题，先构造函数，求导确定在上，即可证明；再构造函数，求导得恒成立，即可证得，即可证得.
例27．（2023·河南郑州·二模（文））已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：
答案：(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）首先确定定义域为求导可得，根据导数的应用，
分和时，两种情况讨即可得解；
（2）要证即证，
令，求导利用隐零点问题的解决方法求得即可.
(1)
定义域为，
则，时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
故函数的极大值为，无极小值
(2)
证明等价证明（），
即.
令
，
令，则在上单调递增，
而，
故在上存在唯一零点，且，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
故，又因为即，
所以，从而，
即
【点睛】
本题考查了导数的应用，导函数则原函数为增函数，原函数为减函数，同时考查了极值的概念.本题的关键点如下：
（1）极值点在何处取得；
（2）隐零点问题在求最值中的运用.
例28．（2023·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调区间；
（2）对原不等式整理化简得到，将整体代换，并构造函数求解的取值范围，通过整体代换，构造新函数，利用导数求解函数的极值，结合的取值范围，即可证明.
(1)
解：由题意可得．
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
证明：由题得，时，对任意的，都有，即，
等价于，即.
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，当且仅当时，等号成立．
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以有解，
则，当且仅当时，等号成立．
即，即．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
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