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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题21利用传统方法求线线角、线面角的问题(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题21利用传统方法求线线角、线面角的问题(原卷版+解析)，共64页。
知识点1：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
【题型归纳目录】
题型一：异面直线所成角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：距离问题
【典例例题】
题型一：异面直线所成角
例1．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·河南省杞县高中模拟预测（文））如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（ ）
A．不存在B．2条
C．4条D．无数条
例9．（2023·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知异面直线，的夹角为，若过空间中一点，作与两异面直线夹角均为的直线可以作4条，则的取值范围是______．
例11．（2023·江苏常州·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为___________．
题型二：线面角
例12．（2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
例13．（2023·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，PB=PC，D为AB的中点．
（1）证明：BC⊥PD；
（2）若AC⊥PB，PA=3，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值．
例15．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点．
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．
例16．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积．
例17．（2023·全国·高三专题练习（文））已知正三棱柱中，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
例18．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．
（1）在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
（2）为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．
例19．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．
（1）证明：BD平面ANP；
（2）若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．
题型三：二面角
例20．（2023·河北·高三阶段练习）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
例21．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．
例22．（2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角CPBA的正切值．
例23．（2023·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
（1）证明：平面BEF；
（2）若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
例24．（2023·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点．
（1）若平面，求的值；
（2）当为中点时，求二面角的正切值．
例25．（2023·天津·耀华中学一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
例26．（2023·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD中，，，现将沿BD折起，使得点A到E的位置．
（1）试在BC边上确定一点F，使得；
（2）若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值．
例27．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，D，E分别为，中点，且．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
例28．（2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））在如图所示的圆锥中，､､是该圆锥的三条不同母线，､分别为､的中点，圆锥的高为，底面半径为，，且圆锥的体积为．
（1）求证：直线平行于圆锥的底面；
（2）若三条母线､､两两夹角相等，求平面与圆锥底面的夹角的余弦值．
例29．（2023·天津河北·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．
（1）求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；
（2）求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；
例30．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且平面平面．
（1）证明：；
（2）若点Q到平面的距离为2，记二面角的正切值为m，求的最小值．
题型四：距离问题
例31．（2023·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，面面ABCD，且，点M在棱AE上．
（1）若，求证：平面BDM．
（2）当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
例32．（2023·全国·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上．
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．
例33．（2023·河南安阳·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求点A到平面PDC的距离．
例34．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，底面是直角梯形，，，点P在面上，过点P和棱的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．
（1）求截面与直棱柱的侧面所成角的正切值；
（2）求棱到截面的距离．
例35．（2023·湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离．
例36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．
（1）判断HM与面的关系，并证明你的结论；
（2）若，，求斜三棱柱两底面间的距离．
例37．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—中，AB=1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离．
例38．（2023·上海市实验学校模拟预测）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°．
（1）求此正三棱锥体积；
（2）求异面直线PA与BC的距离．
例39．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点．直线与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·全国·高三专题练习（文））用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（ ）
A．B．C．D．
专题21 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题
【考点预测】
知识点1：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
【题型归纳目录】
题型一：异面直线所成角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：距离问题
【典例例题】
题型一：异面直线所成角
例1．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】取的中点，连接，，，，
由正方体的性质可知且，所以为平行四边形，
所以，
所以异面直线与所成的角的平面角为，
又，
则，，
则，
所以，
故选：C．
例2．（2023·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】连接交于，若是的中点，连接，
由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，
所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，
面，面，则，
而，又，面，故面，
又面，所以．
所以，，
在△中．
故选：C
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．
故选：C．
例4．（2023·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设底面圆心为O，连接PO，OC，取PO的中点E，连接DE，CE，则，
且，所以为AB与CD所成的角（或其补角）．
由题意知，，所以，所以．
由题意知，，，AB，平面POB，
所以平面POB．又平面POC，所以平面平面POB，
又平面平面，平面POB且，
所以平面POC，因为平面POC，
所以．又，所以，
所以．
故选：B．
例5．（2023·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、，
即为异面直线AM与CN所成的角，
由已知条件得，则，，
由余弦定理得，
在△中，有余弦定理可知，
即，解得，
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在四面体ABCD中，平面，平面，则，而，
即，又，平面，则有平面，而平面，
于是得，因P为AC的中点，即，而，平面，
则平面，又平面，从而得，
所以直线BP与AD所成的角为．
故选：D
例7．（2023·河南省杞县高中模拟预测（文））如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角）．
由题意可得，
，，
所以．
故选：B．
例8．（2023·全国·高三专题练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（ ）
A．不存在B．2条
C．4条D．无数条
答案：C
【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接，如图，
则有，显然，即直线BA1和B1D1所成角，
过点C做直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为可以转化为过点B做直线与直线BA1和BD所成的角均为，
的平分线AO与直线BA1和BD都成的角，让绕着点B从AO开始在过直线AO并与平面垂直的平面内转动时，
在转动到平面的过程中，直线与直线BA1和BD所成的角均相等，角大小从到，
由于直线的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA1和BD所成的角均为，
又的邻补角大小为，其角平分线与直线BA1和BD都成的角，
当直线绕着点B从的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面垂直的平面内转动时，
在转动到平面的过程中，直线与直线BA1和BD所成的角均相等，角大小从到，
由于直线的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA1和BD所成的角均为，
综上得，这样的直线有4条，
所以过点C与直线BA1和B1D1所成的角均为的直线l有4条．
故选：C
例9．（2023·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，设上､下底面半径分别为，其中，
如图，过作垂直下底面于，则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即，
而，由圆的性质，，
所以，所以，
故选：C．
例10．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知异面直线，的夹角为，若过空间中一点，作与两异面直线夹角均为的直线可以作4条，则的取值范围是______．
答案：
【解析】如图，将异面直线a、b平移到过P点，此时两相交直线确定的平面为α，如图，a平移为，即PA，b平移为，即BE．
设∠APB=θ，PC且PC是∠APB的角平分线，则PC与和的夹角相等，即PC与a、b夹角均相等，
①将直线PC绕着P点向上旋转到PD，当平面PCD⊥α时，PD与、的夹角依然相等，即PD与a、b的夹角依然相等；
将直线PC绕着P点向下旋转时也可得到与a、b的夹角均相等的另外一条直线，
易知PC与PA夹角为，当PC向上或向下旋转的过程中，PC与PA夹角增大，则若要存在与两异面直线夹角均为的直线，有；
②同理，∠APE=，将∠APE的角平分线绕着P向上或向下旋转可得两条直线与a、b的夹角均为，则，
如此，即可作出4条直线与异面直线a、b夹角均为，
又∵0＜θ≤，∴．
故答案为：．
例11．（2023·江苏常州·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为___________．
答案：
【解析】如图，取中点，连接，
所以，则（或其补角）即为与所成角，
因为平面，所以，所以，则，
因为，所以，所以，
取中点，连接，所以，所以平面，
所以，又，，
所以，
所以．
所以与所成角的余弦值为．
故答案为：．
题型二：线面角
例12．（2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
答案：
【解析】如图所示，连接交平面于，连接，
由题意可知平面，
所以是与平面所成的角，
所以＝．
由可得，即．
在四面体中，，，
所以四面体为正三棱锥，为的重心，
如图所示：
所以解得，，
又因为，
所以，
即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
所以．
故答案为：．
例13．（2023·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知：，，
由平面，平面，则，，
所以，，故，
所以，若到面的距离为h，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即．
故选：A
例14．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，PB=PC，D为AB的中点．
（1）证明：BC⊥PD；
（2）若AC⊥PB，PA=3，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：如图，取BC中点E，连接PE，DE
，E为BC中点
又D为AB的中点，所以
底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，
即
平面
平面，
（2）由（1）知，，又
且平面
平面，
直线PA与平面PBC所成的角为
在中，
．
直线PA与平面PBC所成的角的正弦值为．
例15．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点．
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）在四面体ABCD中，，E为BD的中点，则，
而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面．
（2）依题意不妨设，，则，又，则，．
在中，，所，则，．
由（1）得，，因，即，则．
设点B到平面ACD的距离为h，则，解得，所以点B到平面ACD的距离为．
设直线BF与平面ACD所成角为，所以．
因为，所以，故当时，最短，此时，正弦值最大为．
例16．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积．
【解析】（1）证明：连接，设交于点，连接，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又平面，平面
所以平面；
（2）因为平面，
所以即为直线与底面所成的角的平面角，
即为直线与底面所成的角的平面角，
所以，
所以，
，，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
故，
，
所以．
例17．（2023·全国·高三专题练习（文））已知正三棱柱中，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，故平面．
（2）因为平面，与平面所成的角为，
因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，，则，
所以，，
平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为的中点，则，
则．
例18．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．
（1）在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
（2）为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．
【解析】（1）在线段AD上存在点E满足题意，且E为AD的中点．
如图，取AD中点E连接EF，SE，SF，因为四边形ABCD是矩形，所以．又E，F分别是AD，BC的中点，所以，．
因为为等腰直角三角形，，E为AD的中点，所以．
因为，平面，平面，
所以平面．
又平面．所以平面平面．
故AD上存在中点E，使得平面平面．
（2）过点E作于点G，由（1）知平面，又
则平面，平面，
所以，又，所以平面，
所以直线SE与平面SBC所成的角为，
由为等腰直角三角形，，得，．又，
因为为等边三角形，，所以，
在中，，
所以．
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
例19．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．
（1）证明：BD平面ANP；
（2）若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：连接MD交AN于点O，连接OP，
∵四边形AMND为矩形
∴O为MD的中点，
又∵P为BM的中点
∴，
∵BD平面ANP，OP平面ANP，
∴BD平面ANP
（2）∵，，
∴∠AMB即为二面角的平面角，，且MN⊥平面ABM，
∴BC⊥平面ABM，
∵BC平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABM
过P作于点Q，∴PQ⊥平面ABCD，
∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成角，
，，，
∴，，
∴
∴，
∴．
题型三：二面角
例20．（2023·河北·高三阶段练习）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形．
所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以．又因为，
平面，所以平面．
（2）由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知
，所以，即底面三角形是直角三
角形．设，则
在中有：，
所以，
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱
锥的体积最大，
（另等积转化法：
易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）
下面求二面角的正弦值：
由（1）得平面，因为平面，所以．
又因为，所以平面．
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
由（1）知为直角三角形，则．
故，所以二面角的正弦值为．
例21．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）证明：连接OB．
法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，∴
又∵，
∴
∴．
∴，OB、AC平面ABC
∴PO⊥平面ABC．
法二：连接，，O为AC的中点∴
因为
∴∴，∴
∴，OB、AC平面ABC．
∴PO⊥平面ABC．
（2）由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，
∴，∴，
在△OMC中由正弦定理可得，∴M为BC的中点．
作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF
∴MF⊥PA∴∠MFE即为所求二面角的平面角，
∴
∴
例22．（2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角CPBA的正切值．
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面PAC⊥平面PBC．
（2）过作，垂足为，过作，垂足为，连，如图：
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，，所以平面，所以，
所以是二面角C-PB-A的平面角，
因为，，，所以，所以，，，
因为，，所以，所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，．
所以二面角C-PB-A的正切值为．
例23．（2023·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
（1）证明：平面BEF；
（2）若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
【解析】（1）证明：在等边中，为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，
过在平面内作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，平面．
（2）由题设平面，平面平面，
，
四边形是平行四边形，又且，
所以，
延长，，相交于点，连接，则、分别为、的中点，
则平面与平面所成的角就是二面角，
可知，，所以平面，
是二面角的平面角，
又，，
所以，即平面与平面所成的角为；
例24．（2023·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点．
（1）若平面，求的值；
（2）当为中点时，求二面角的正切值．
【解析】（1）过作于，连接．
则，而，
所以．
因为平面平面，平面平面，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为，所以．
所以，
所以．
（2）过作于，过作，连接，
因为平面平面，
所以平面，因为平面，
所以，又，
所以平面，因为平面，
所以．
所以是二面角的平面角．
设正方体的棱长为，则．
在Rt中，，
则
．
即二面角的正切值为．
例25．（2023·天津·耀华中学一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
【解析】（1）取中点，连接，如图，
因为是中点，则且，又，，
所以且，所以是平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，交于点，连接，
由已知，，，得是正方形，
，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以，
所以是二面角的平面角，
又，，
所以，，，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
例26．（2023·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD中，，，现将沿BD折起，使得点A到E的位置．
（1）试在BC边上确定一点F，使得；
（2）若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值．
【解析】（1）因为，，，
所以，，，
所以∽，
所以，
所以，
在四边形ABCD内过点A作于点M，并延长交BC于
则点M为BD中点，所以F也为BC中点．
将沿BD折起，使得点A到E的位置时，
有，
所以平面EFM，
也为平面EFM，
所以，
（2）过点M作交BC于点
则
则在三棱锥中，因为平面平面BCD，
所以平面
因为，连接EN，
则有
所以即为二面角的平面角，
设，则
所以在中，
所以二面角所成角的正切值为
例27．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，D，E分别为，中点，且．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
【解析】（1）作于F，连接，，
∵平面平面，平面平面，，面
∴平面．
∵．∴平面，平面
∴，
∵，，，平面，
∴平面，平面，∴，
∵D，E分别为，中点，，，
∴，
∵，，
∴
∴
（2）由，，取中点为G，连接，．
由，为等腰三角形，
故，，
则为二面角的平面角．
，．
．
所以二面角的余弦值为．
例28．（2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））在如图所示的圆锥中，､､是该圆锥的三条不同母线，､分别为､的中点，圆锥的高为，底面半径为，，且圆锥的体积为．
（1）求证：直线平行于圆锥的底面；
（2）若三条母线､､两两夹角相等，求平面与圆锥底面的夹角的余弦值．
【解析】（1）连接，在中，､分别为､的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）由，且，可解得，则母线长为，
因为三条母线､､两两夹角相等，所以为等边三角形，则边长为，
设的中点为，点在底面的投影为，则，
连接，则为平面与圆锥底面的夹角，
在中，，
则在中，，
所以，
则，
所以．
所以平面与圆锥底面的夹角的余弦值为．
例29．（2023·天津河北·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．
（1）求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；
（2）求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；
【解析】（1）连接交于，连接，
四边形是菱形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
即为与平面所成角．
四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，，，
在中，，，
故与平面所成角的正弦值为．
（2）取的中点，连接、，
由（1）知，平面，
四边形是菱形，四边形为矩形，
，，
，，
即为二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理知，，
，
故二面角的大小为，则平面与平面的夹角为．
例30．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且平面平面．
（1）证明：；
（2）若点Q到平面的距离为2，记二面角的正切值为m，求的最小值．
【解析】（1）在四棱锥中，是正方形，则，
因平面平面，平面平面，平面，
则平面，而平面，
所以．
（2）在平面内过Q作于M，过点A作于N，连接BN，如图，
因平面平面，平面平面，则平面，即有，
由（1）知，而，平面，于是得平面，平面，则，
因此，是二面角的平面角，，
在中，，即，显然，
于是得，当且仅当时取“=”，
所以的最小值是3．
题型四：距离问题
例31．（2023·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，面面ABCD，且，点M在棱AE上．
（1）若，求证：平面BDM．
（2）当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
【解析】（1）连接AC与BD交于点N，连接MN，
∵，，
∴，
∴，
又因为，
∴，
∴，
又∵平面BDM，平面BDM，
∴平面BDM．
（2）∵平面MBC，平面MBC，
∴，
∴，
∴M是AE的中点，
∵平面平面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离为，
在中，，，，
∴，
∴
∴点E到平面BDM的距离满足，
所以距离．
例32．（2023·全国·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上．
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．
【解析】（1）连接，因为，，故，，又，平面，故平面．又平面，故
（2）由（1）因为，且平面平面，平面平面于，故平面，故与平面所成角为，故，又点在以点为圆心为直径的半圆上，，，故，，设点到平面的距离为，则因为，即，解得
例33．（2023·河南安阳·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求点A到平面PDC的距离．
【解析】（1）证明：取中点，连接，，
因为底面是直角三角形，，所以，
因为D为AB的中点，所以，所以，
又，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以．
（2）连接，，
由（1），因为，，，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，
所以，
因为是的中点，所以，
因为直角三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
所以在等腰中，边上的高为，
所以，
设点A到平面PDC的距离为，因为，
所以，则，
所以点A到平面PDC的距离为．
例34．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，底面是直角梯形，，，点P在面上，过点P和棱的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．
（1）求截面与直棱柱的侧面所成角的正切值；
（2）求棱到截面的距离．
【解析】（1）如图所示，
作出截面为交AD于Q，A1D1于Q1．
为直棱柱，平面，
为截面与直棱柱的侧面所成角的平面角．
过Q作，垂足为，，
由题意可得：，，．
过Q作，垂足为，则，解得：，
所以，
．
即截面与直棱柱的侧面所成角的平面角的正切值为．
（2）因为截面，所以棱到截面的距离即为点到截面的距离．
平面平面平面，交线为，
过作，垂足为平面，则的长度为棱到截面所在平面的距离．
因为，，，
即．
因为，所以
所以棱到截面所在平面的距离为．
例35．（2023·湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离．
【解析】（1）如图所示，
设的中点为O，的中点为F，连接，，，则．
因为平面平面，
平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，
所以即为直线与平面所成的角．
因为，则，
所以．
在中，，，所以．
在中，，
所以．
（2）如图，
因为点D，E分别为，边的中点，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以．
又，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
因为平面平面，
作交于点G，则平面．
在中，，
所以，．
因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于．
例36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．
（1）判断HM与面的关系，并证明你的结论；
（2）若，，求斜三棱柱两底面间的距离．
【解析】（1）直线HM与平面平行．
证明如下：取的中点N．连接NM，AN．
因为点M是的中点，所以，且．
又是正方形，点H是AB的中点，所以，．
所以，．
所以四边形ANMH为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为点在平面上的射影是AB的中点H，所以平面．
连接，，则，．
由正方形的边AB=2，得，
所以，
所以的面积为．
设斜三棱柱两底面间的距离为d，即H到平面的距离为d，
由得，解得，
即斜三棱柱两底面间的距离为．
例37．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—中，AB=1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离．
【解析】因，且，故面，
从而，又，故是异面直线与的公垂线．
设的长度为，则四棱椎的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知，故，解之得．
从而．
在直角三角形中，，
又因，
故．
所以异面直线DE与的距离为．
例38．（2023·上海市实验学校模拟预测）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°．
（1）求此正三棱锥体积；
（2）求异面直线PA与BC的距离．
【解析】（1）取底面的中心G，连接AG，
∵P-ABC是正三棱锥，∴P在底面的射影为G，
∴∠PAG就是侧棱PA与底面所成角，
∴∠PAG=60°，∵PA=2，∴AG=1，PG=，
∴AB=，∴，
∴．
（2）过D作DE⊥PA于E，如图所示：
∵BC⊥PD，BC⊥AD，∴BC⊥平面PAD，
∵DE在平面PAD上，∴BC⊥DE，
∴DE是异面直线AB与CD的公垂线，在△ABC中，PA·DE=PG·AD，∴．
∴异面直线PA与BC的距离为．
例39．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点．直线与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图所示：
取PA的中点F，连接EF，FD，
因为底面，所以，
因为底面为矩形，所以，，
所以平面，又平面，
所以平面平面，平面平面，
所以点A到FD的距离，即为点A到平面的距离，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点A到平面的距离，即为直线AB到平面的距离，
在中，，
所以点A到FD的距离为．
故直线与平面的距离为．
故选：B
例40．（2023·全国·高三专题练习（文））用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，
，，，，
平面平面，
连接，
，，，平面，
又平面，，同理可证得：，
又平面，，平面，
平面，
设垂足分别为，则平面与平面间的距离为．
正方体的体对角线长为．
在三棱锥中，由等体积法求得：，
∴平面与平面间的距离为：．
故选：．
知识点1：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
【题型归纳目录】
题型一：异面直线所成角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：距离问题
【典例例题】
题型一：异面直线所成角
例1．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·河南省杞县高中模拟预测（文））如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（ ）
A．不存在B．2条
C．4条D．无数条
例9．（2023·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知异面直线，的夹角为，若过空间中一点，作与两异面直线夹角均为的直线可以作4条，则的取值范围是______．
例11．（2023·江苏常州·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为___________．
题型二：线面角
例12．（2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
例13．（2023·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，PB=PC，D为AB的中点．
（1）证明：BC⊥PD；
（2）若AC⊥PB，PA=3，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值．
例15．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点．
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．
例16．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积．
例17．（2023·全国·高三专题练习（文））已知正三棱柱中，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
例18．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．
（1）在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
（2）为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．
例19．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．
（1）证明：BD平面ANP；
（2）若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．
题型三：二面角
例20．（2023·河北·高三阶段练习）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
例21．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．
例22．（2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角CPBA的正切值．
例23．（2023·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
（1）证明：平面BEF；
（2）若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
例24．（2023·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点．
（1）若平面，求的值；
（2）当为中点时，求二面角的正切值．
例25．（2023·天津·耀华中学一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
例26．（2023·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD中，，，现将沿BD折起，使得点A到E的位置．
（1）试在BC边上确定一点F，使得；
（2）若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值．
例27．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，D，E分别为，中点，且．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
例28．（2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））在如图所示的圆锥中，､､是该圆锥的三条不同母线，､分别为､的中点，圆锥的高为，底面半径为，，且圆锥的体积为．
（1）求证：直线平行于圆锥的底面；
（2）若三条母线､､两两夹角相等，求平面与圆锥底面的夹角的余弦值．
例29．（2023·天津河北·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．
（1）求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；
（2）求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；
例30．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且平面平面．
（1）证明：；
（2）若点Q到平面的距离为2，记二面角的正切值为m，求的最小值．
题型四：距离问题
例31．（2023·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，面面ABCD，且，点M在棱AE上．
（1）若，求证：平面BDM．
（2）当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
例32．（2023·全国·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上．
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．
例33．（2023·河南安阳·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求点A到平面PDC的距离．
例34．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，底面是直角梯形，，，点P在面上，过点P和棱的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．
（1）求截面与直棱柱的侧面所成角的正切值；
（2）求棱到截面的距离．
例35．（2023·湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离．
例36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．
（1）判断HM与面的关系，并证明你的结论；
（2）若，，求斜三棱柱两底面间的距离．
例37．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—中，AB=1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离．
例38．（2023·上海市实验学校模拟预测）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°．
（1）求此正三棱锥体积；
（2）求异面直线PA与BC的距离．
例39．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点．直线与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·全国·高三专题练习（文））用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（ ）
A．B．C．D．
专题21 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题
【考点预测】
知识点1：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
【题型归纳目录】
题型一：异面直线所成角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：距离问题
【典例例题】
题型一：异面直线所成角
例1．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】取的中点，连接，，，，
由正方体的性质可知且，所以为平行四边形，
所以，
所以异面直线与所成的角的平面角为，
又，
则，，
则，
所以，
故选：C．
例2．（2023·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】连接交于，若是的中点，连接，
由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，
所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，
面，面，则，
而，又，面，故面，
又面，所以．
所以，，
在△中．
故选：C
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．
故选：C．
例4．（2023·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设底面圆心为O，连接PO，OC，取PO的中点E，连接DE，CE，则，
且，所以为AB与CD所成的角（或其补角）．
由题意知，，所以，所以．
由题意知，，，AB，平面POB，
所以平面POB．又平面POC，所以平面平面POB，
又平面平面，平面POB且，
所以平面POC，因为平面POC，
所以．又，所以，
所以．
故选：B．
例5．（2023·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、，
即为异面直线AM与CN所成的角，
由已知条件得，则，，
由余弦定理得，
在△中，有余弦定理可知，
即，解得，
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在四面体ABCD中，平面，平面，则，而，
即，又，平面，则有平面，而平面，
于是得，因P为AC的中点，即，而，平面，
则平面，又平面，从而得，
所以直线BP与AD所成的角为．
故选：D
例7．（2023·河南省杞县高中模拟预测（文））如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角）．
由题意可得，
，，
所以．
故选：B．
例8．（2023·全国·高三专题练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（ ）
A．不存在B．2条
C．4条D．无数条
答案：C
【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接，如图，
则有，显然，即直线BA1和B1D1所成角，
过点C做直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为可以转化为过点B做直线与直线BA1和BD所成的角均为，
的平分线AO与直线BA1和BD都成的角，让绕着点B从AO开始在过直线AO并与平面垂直的平面内转动时，
在转动到平面的过程中，直线与直线BA1和BD所成的角均相等，角大小从到，
由于直线的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA1和BD所成的角均为，
又的邻补角大小为，其角平分线与直线BA1和BD都成的角，
当直线绕着点B从的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面垂直的平面内转动时，
在转动到平面的过程中，直线与直线BA1和BD所成的角均相等，角大小从到，
由于直线的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA1和BD所成的角均为，
综上得，这样的直线有4条，
所以过点C与直线BA1和B1D1所成的角均为的直线l有4条．
故选：C
例9．（2023·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，设上､下底面半径分别为，其中，
如图，过作垂直下底面于，则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即，
而，由圆的性质，，
所以，所以，
故选：C．
例10．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知异面直线，的夹角为，若过空间中一点，作与两异面直线夹角均为的直线可以作4条，则的取值范围是______．
答案：
【解析】如图，将异面直线a、b平移到过P点，此时两相交直线确定的平面为α，如图，a平移为，即PA，b平移为，即BE．
设∠APB=θ，PC且PC是∠APB的角平分线，则PC与和的夹角相等，即PC与a、b夹角均相等，
①将直线PC绕着P点向上旋转到PD，当平面PCD⊥α时，PD与、的夹角依然相等，即PD与a、b的夹角依然相等；
将直线PC绕着P点向下旋转时也可得到与a、b的夹角均相等的另外一条直线，
易知PC与PA夹角为，当PC向上或向下旋转的过程中，PC与PA夹角增大，则若要存在与两异面直线夹角均为的直线，有；
②同理，∠APE=，将∠APE的角平分线绕着P向上或向下旋转可得两条直线与a、b的夹角均为，则，
如此，即可作出4条直线与异面直线a、b夹角均为，
又∵0＜θ≤，∴．
故答案为：．
例11．（2023·江苏常州·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为___________．
答案：
【解析】如图，取中点，连接，
所以，则（或其补角）即为与所成角，
因为平面，所以，所以，则，
因为，所以，所以，
取中点，连接，所以，所以平面，
所以，又，，
所以，
所以．
所以与所成角的余弦值为．
故答案为：．
题型二：线面角
例12．（2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
答案：
【解析】如图所示，连接交平面于，连接，
由题意可知平面，
所以是与平面所成的角，
所以＝．
由可得，即．
在四面体中，，，
所以四面体为正三棱锥，为的重心，
如图所示：
所以解得，，
又因为，
所以，
即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
所以．
故答案为：．
例13．（2023·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知：，，
由平面，平面，则，，
所以，，故，
所以，若到面的距离为h，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即．
故选：A
例14．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，PB=PC，D为AB的中点．
（1）证明：BC⊥PD；
（2）若AC⊥PB，PA=3，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：如图，取BC中点E，连接PE，DE
，E为BC中点
又D为AB的中点，所以
底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，
即
平面
平面，
（2）由（1）知，，又
且平面
平面，
直线PA与平面PBC所成的角为
在中，
．
直线PA与平面PBC所成的角的正弦值为．
例15．（2023·河南安阳·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点．
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）在四面体ABCD中，，E为BD的中点，则，
而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面．
（2）依题意不妨设，，则，又，则，．
在中，，所，则，．
由（1）得，，因，即，则．
设点B到平面ACD的距离为h，则，解得，所以点B到平面ACD的距离为．
设直线BF与平面ACD所成角为，所以．
因为，所以，故当时，最短，此时，正弦值最大为．
例16．（2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积．
【解析】（1）证明：连接，设交于点，连接，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又平面，平面
所以平面；
（2）因为平面，
所以即为直线与底面所成的角的平面角，
即为直线与底面所成的角的平面角，
所以，
所以，
，，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
故，
，
所以．
例17．（2023·全国·高三专题练习（文））已知正三棱柱中，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，故平面．
（2）因为平面，与平面所成的角为，
因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，，则，
所以，，
平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为的中点，则，
则．
例18．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．
（1）在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
（2）为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．
【解析】（1）在线段AD上存在点E满足题意，且E为AD的中点．
如图，取AD中点E连接EF，SE，SF，因为四边形ABCD是矩形，所以．又E，F分别是AD，BC的中点，所以，．
因为为等腰直角三角形，，E为AD的中点，所以．
因为，平面，平面，
所以平面．
又平面．所以平面平面．
故AD上存在中点E，使得平面平面．
（2）过点E作于点G，由（1）知平面，又
则平面，平面，
所以，又，所以平面，
所以直线SE与平面SBC所成的角为，
由为等腰直角三角形，，得，．又，
因为为等边三角形，，所以，
在中，，
所以．
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
例19．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．
（1）证明：BD平面ANP；
（2）若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：连接MD交AN于点O，连接OP，
∵四边形AMND为矩形
∴O为MD的中点，
又∵P为BM的中点
∴，
∵BD平面ANP，OP平面ANP，
∴BD平面ANP
（2）∵，，
∴∠AMB即为二面角的平面角，，且MN⊥平面ABM，
∴BC⊥平面ABM，
∵BC平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABM
过P作于点Q，∴PQ⊥平面ABCD，
∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成角，
，，，
∴，，
∴
∴，
∴．
题型三：二面角
例20．（2023·河北·高三阶段练习）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形．
所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以．又因为，
平面，所以平面．
（2）由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知
，所以，即底面三角形是直角三
角形．设，则
在中有：，
所以，
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱
锥的体积最大，
（另等积转化法：
易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）
下面求二面角的正弦值：
由（1）得平面，因为平面，所以．
又因为，所以平面．
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
由（1）知为直角三角形，则．
故，所以二面角的正弦值为．
例21．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）证明：连接OB．
法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，∴
又∵，
∴
∴．
∴，OB、AC平面ABC
∴PO⊥平面ABC．
法二：连接，，O为AC的中点∴
因为
∴∴，∴
∴，OB、AC平面ABC．
∴PO⊥平面ABC．
（2）由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，
∴，∴，
在△OMC中由正弦定理可得，∴M为BC的中点．
作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF
∴MF⊥PA∴∠MFE即为所求二面角的平面角，
∴
∴
例22．（2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角CPBA的正切值．
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面PAC⊥平面PBC．
（2）过作，垂足为，过作，垂足为，连，如图：
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，，所以平面，所以，
所以是二面角C-PB-A的平面角，
因为，，，所以，所以，，，
因为，，所以，所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，．
所以二面角C-PB-A的正切值为．
例23．（2023·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
（1）证明：平面BEF；
（2）若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
【解析】（1）证明：在等边中，为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，
过在平面内作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，平面．
（2）由题设平面，平面平面，
，
四边形是平行四边形，又且，
所以，
延长，，相交于点，连接，则、分别为、的中点，
则平面与平面所成的角就是二面角，
可知，，所以平面，
是二面角的平面角，
又，，
所以，即平面与平面所成的角为；
例24．（2023·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点．
（1）若平面，求的值；
（2）当为中点时，求二面角的正切值．
【解析】（1）过作于，连接．
则，而，
所以．
因为平面平面，平面平面，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为，所以．
所以，
所以．
（2）过作于，过作，连接，
因为平面平面，
所以平面，因为平面，
所以，又，
所以平面，因为平面，
所以．
所以是二面角的平面角．
设正方体的棱长为，则．
在Rt中，，
则
．
即二面角的正切值为．
例25．（2023·天津·耀华中学一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
【解析】（1）取中点，连接，如图，
因为是中点，则且，又，，
所以且，所以是平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，交于点，连接，
由已知，，，得是正方形，
，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以，
所以是二面角的平面角，
又，，
所以，，，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
例26．（2023·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD中，，，现将沿BD折起，使得点A到E的位置．
（1）试在BC边上确定一点F，使得；
（2）若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值．
【解析】（1）因为，，，
所以，，，
所以∽，
所以，
所以，
在四边形ABCD内过点A作于点M，并延长交BC于
则点M为BD中点，所以F也为BC中点．
将沿BD折起，使得点A到E的位置时，
有，
所以平面EFM，
也为平面EFM，
所以，
（2）过点M作交BC于点
则
则在三棱锥中，因为平面平面BCD，
所以平面
因为，连接EN，
则有
所以即为二面角的平面角，
设，则
所以在中，
所以二面角所成角的正切值为
例27．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，D，E分别为，中点，且．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
【解析】（1）作于F，连接，，
∵平面平面，平面平面，，面
∴平面．
∵．∴平面，平面
∴，
∵，，，平面，
∴平面，平面，∴，
∵D，E分别为，中点，，，
∴，
∵，，
∴
∴
（2）由，，取中点为G，连接，．
由，为等腰三角形，
故，，
则为二面角的平面角．
，．
．
所以二面角的余弦值为．
例28．（2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））在如图所示的圆锥中，､､是该圆锥的三条不同母线，､分别为､的中点，圆锥的高为，底面半径为，，且圆锥的体积为．
（1）求证：直线平行于圆锥的底面；
（2）若三条母线､､两两夹角相等，求平面与圆锥底面的夹角的余弦值．
【解析】（1）连接，在中，､分别为､的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）由，且，可解得，则母线长为，
因为三条母线､､两两夹角相等，所以为等边三角形，则边长为，
设的中点为，点在底面的投影为，则，
连接，则为平面与圆锥底面的夹角，
在中，，
则在中，，
所以，
则，
所以．
所以平面与圆锥底面的夹角的余弦值为．
例29．（2023·天津河北·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．
（1）求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；
（2）求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；
【解析】（1）连接交于，连接，
四边形是菱形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
即为与平面所成角．
四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，，，
在中，，，
故与平面所成角的正弦值为．
（2）取的中点，连接、，
由（1）知，平面，
四边形是菱形，四边形为矩形，
，，
，，
即为二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理知，，
，
故二面角的大小为，则平面与平面的夹角为．
例30．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且平面平面．
（1）证明：；
（2）若点Q到平面的距离为2，记二面角的正切值为m，求的最小值．
【解析】（1）在四棱锥中，是正方形，则，
因平面平面，平面平面，平面，
则平面，而平面，
所以．
（2）在平面内过Q作于M，过点A作于N，连接BN，如图，
因平面平面，平面平面，则平面，即有，
由（1）知，而，平面，于是得平面，平面，则，
因此，是二面角的平面角，，
在中，，即，显然，
于是得，当且仅当时取“=”，
所以的最小值是3．
题型四：距离问题
例31．（2023·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，面面ABCD，且，点M在棱AE上．
（1）若，求证：平面BDM．
（2）当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
【解析】（1）连接AC与BD交于点N，连接MN，
∵，，
∴，
∴，
又因为，
∴，
∴，
又∵平面BDM，平面BDM，
∴平面BDM．
（2）∵平面MBC，平面MBC，
∴，
∴，
∴M是AE的中点，
∵平面平面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离为，
在中，，，，
∴，
∴
∴点E到平面BDM的距离满足，
所以距离．
例32．（2023·全国·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上．
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．
【解析】（1）连接，因为，，故，，又，平面，故平面．又平面，故
（2）由（1）因为，且平面平面，平面平面于，故平面，故与平面所成角为，故，又点在以点为圆心为直径的半圆上，，，故，，设点到平面的距离为，则因为，即，解得
例33．（2023·河南安阳·模拟预测（文））如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求点A到平面PDC的距离．
【解析】（1）证明：取中点，连接，，
因为底面是直角三角形，，所以，
因为D为AB的中点，所以，所以，
又，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以．
（2）连接，，
由（1），因为，，，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，
所以，
因为是的中点，所以，
因为直角三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
所以在等腰中，边上的高为，
所以，
设点A到平面PDC的距离为，因为，
所以，则，
所以点A到平面PDC的距离为．
例34．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，底面是直角梯形，，，点P在面上，过点P和棱的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．
（1）求截面与直棱柱的侧面所成角的正切值；
（2）求棱到截面的距离．
【解析】（1）如图所示，
作出截面为交AD于Q，A1D1于Q1．
为直棱柱，平面，
为截面与直棱柱的侧面所成角的平面角．
过Q作，垂足为，，
由题意可得：，，．
过Q作，垂足为，则，解得：，
所以，
．
即截面与直棱柱的侧面所成角的平面角的正切值为．
（2）因为截面，所以棱到截面的距离即为点到截面的距离．
平面平面平面，交线为，
过作，垂足为平面，则的长度为棱到截面所在平面的距离．
因为，，，
即．
因为，所以
所以棱到截面所在平面的距离为．
例35．（2023·湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离．
【解析】（1）如图所示，
设的中点为O，的中点为F，连接，，，则．
因为平面平面，
平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，
所以即为直线与平面所成的角．
因为，则，
所以．
在中，，，所以．
在中，，
所以．
（2）如图，
因为点D，E分别为，边的中点，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以．
又，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
因为平面平面，
作交于点G，则平面．
在中，，
所以，．
因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于．
例36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．
（1）判断HM与面的关系，并证明你的结论；
（2）若，，求斜三棱柱两底面间的距离．
【解析】（1）直线HM与平面平行．
证明如下：取的中点N．连接NM，AN．
因为点M是的中点，所以，且．
又是正方形，点H是AB的中点，所以，．
所以，．
所以四边形ANMH为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为点在平面上的射影是AB的中点H，所以平面．
连接，，则，．
由正方形的边AB=2，得，
所以，
所以的面积为．
设斜三棱柱两底面间的距离为d，即H到平面的距离为d，
由得，解得，
即斜三棱柱两底面间的距离为．
例37．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—中，AB=1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离．
【解析】因，且，故面，
从而，又，故是异面直线与的公垂线．
设的长度为，则四棱椎的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知，故，解之得．
从而．
在直角三角形中，，
又因，
故．
所以异面直线DE与的距离为．
例38．（2023·上海市实验学校模拟预测）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°．
（1）求此正三棱锥体积；
（2）求异面直线PA与BC的距离．
【解析】（1）取底面的中心G，连接AG，
∵P-ABC是正三棱锥，∴P在底面的射影为G，
∴∠PAG就是侧棱PA与底面所成角，
∴∠PAG=60°，∵PA=2，∴AG=1，PG=，
∴AB=，∴，
∴．
（2）过D作DE⊥PA于E，如图所示：
∵BC⊥PD，BC⊥AD，∴BC⊥平面PAD，
∵DE在平面PAD上，∴BC⊥DE，
∴DE是异面直线AB与CD的公垂线，在△ABC中，PA·DE=PG·AD，∴．
∴异面直线PA与BC的距离为．
例39．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点．直线与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图所示：
取PA的中点F，连接EF，FD，
因为底面，所以，
因为底面为矩形，所以，，
所以平面，又平面，
所以平面平面，平面平面，
所以点A到FD的距离，即为点A到平面的距离，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点A到平面的距离，即为直线AB到平面的距离，
在中，，
所以点A到FD的距离为．
故直线与平面的距离为．
故选：B
例40．（2023·全国·高三专题练习（文））用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，
，，，，
平面平面，
连接，
，，，平面，
又平面，，同理可证得：，
又平面，，平面，
平面，
设垂足分别为，则平面与平面间的距离为．
正方体的体对角线长为．
在三棱锥中，由等体积法求得：，
∴平面与平面间的距离为：．
故选：．
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