新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题23数列的基本知识与概念(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题23数列的基本知识与概念(原卷版+解析)，共46页。
1．数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
2．数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：
（2）按单调性来分：
3．数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【方法技巧与总结】
（1）若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
（2）在数列中，若最大，则若最小，则
【题型归纳目录】
题型一：数列的周期性
题型二：数列的单调性
题型三：数列的最大（小）项
题型四：数列中的规律问题
题型五：数列的最值问题
【典例例题】
题型一：数列的周期性
例1．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（ ）
A．1147B．1148C．D．
例2．若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
例3．数列满足，，其前项积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
例4．若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67B．68C．134D．167
例5．数列满足若，则等于（ ）
A．B．C．D．
例6．已知数列满足，，若且记数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．3028C．D．3029
例7．（2023·广东汕头·三模）已知数列中，，当时，，则（ ）
A．B．C．5D．
例8．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．-1D．2
题型二：数列的单调性
例9．（2023·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例11．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
题型三：数列的最大（小）项
例15．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（ ）
A．B．1
C．2D．3
例16．已知数列满足 ，，则的最小值为（ ）
A．2 -1B．C．D．
例17．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）
A．第3项B．第4项 C．第5项 D．第6项
例18．已知数列的前n项和数列的前n项和则的最小值____
例19．数列，，，，中的最小项的值为__________．
【方法技巧与总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．
（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．
题型四：数列中的规律问题
例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（ ）；（ ）．
A．35
B．36
C．37
D．38
例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，．若数对满足，，则数对排在（ ）
A．第386位B．第193位C．第348位D．第174位
例22．已知“整数对”按如下规律排列：，…，则第个“整数对”为（ ）
A．B．C．D．
例23．将正整数排列如下：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
则图中数出现在
A．第行列B．第行列C．第行列D．第行列
题型五：数列的最值问题
例24．（2023·北京市第十二中学高三期中）已知数列满足，则数列的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项D．此数列的最小项是
例26．（2023·河南·高三阶段练习（理））在数列中，，（，），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·辽宁·高三阶段练习）若数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例28．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
例29．（2023·全国·高三专题练习）设，则数列中最大项的值为（ ）
A．B．5C．6D．
例30．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·陕西·交大附中模拟预测（理））函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
3．（2023·河南·模拟预测（理））观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·吉林长春·模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前2022项积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列满足，则（ ）
A．B．1C．2D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是（ ）
A．第2项B．第3项
C．第4项D．第5项
9．（2023·上海普陀·二模）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列是常数列
B．若，则是递增数列
C．若，则
D．若，则的最小项的值为
10．（2023·北京四中三模）已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
11．（2023·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是180
C．此数列偶数项的通项公式为D．此数列的前项和为
12．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，则数列中的项的值可能为（ ）
A．B．2C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列，的一个通项公式是
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D．数列，，是递增数列
14．（2023·全国·高三专题练习）已知是的前项和，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．是以为周期的周期数列
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列{an}满足，，则数列{an}中的项的值可能为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合中所有的数从小到大排列的数列，即，，，，，…，则下列结论正确的是（ ）
A．第四行的数是17，18，20，24B．
C．D．
18．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）
A．第6行第1个数为192
B．第10行的数从左到右构成公差为的等差数列
C．第10行前10个数的和为
D．数表中第2021行第2021个数为
19．（2023·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为D．此数列的前项和为
20．（2023·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．是递增数列B．是递减数列
C．D．数列的最大项为和
21．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）
A．若n为质数，则B．数列单调递增
C．数列的前5项和等于D．数列为等比数列
三、填空题
22．（2023·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列满足，则为递增数列”为假命题的数列的通项公式可以为__________．
23．（2023·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是__________.
24．（2023·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列的通项公式：__________．
①；②数列是单调递减数列；③数列是一个等比数列．
25．（2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．
26．（2023·天津市新华中学高三期末）在数列中，，则数列中的最大项的________ .
27．（2023·山西·模拟预测（理））数列中，已知，，，则的取值范围是___________.
28．（2023·四川成都·三模（理））已知数列满足，，则的值为______．
29．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
作差比较法
根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断
专题23 数列的基本知识与概念
【考点预测】
1．数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
2．数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：
（2）按单调性来分：
3．数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【方法技巧与总结】
（1）若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
（2）在数列中，若最大，则若最小，则
【题型归纳目录】
题型一：数列的周期性
题型二：数列的单调性
题型三：数列的最大（小）项
题型四：数列中的规律问题
题型五：数列的最值问题
【典例例题】
题型一：数列的周期性
例1．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（ ）
A．1147B．1148C．D．
答案：B
分析：
当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值；当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值．
【详解】
①当时，
若，则数列的各项为，
此时数列为周期数列，周期为3，由，
可知数列的前2020项中有673项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列为周期数列，周期为3，由，
可知数列的前2020项中有673项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第3项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有672项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第4项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有672项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第6项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有671项为0；
依次类推，可知当，或时，
数列的前2020项中有100项是0；
②当时，
若，则数列的各项为，
此时数列从第7项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有671项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第9项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有670项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第10项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有670项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第12项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有669项为0；
依次类推，可知当，或时，
数列的前2020项中有100项是0．
综上所述，若数列的前2020项中有100项是0，
则可取的值有．
故选：B．
【点睛】
本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件探究数列的性质，利用赋值法分别令和，可分别求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．
例2．若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
答案：B
分析：
求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：．，
∴，，
，
同理可得：；；．；，，……．
∴．
故是一个以周期为6的周期数列，
则．
故选：B．
【点睛】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
例3．数列满足，，其前项积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果．
【详解】
当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，
，
．
故选：D．
例4．若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67B．68C．134D．167
答案：B
分析：
由题意得，根据，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解．
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，
所以从第2项起，3项一个循环，
所以的前100项的和为，
故选：B．
例5．数列满足若，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．
【详解】
因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．
例6．已知数列满足，，若且记数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．3028C．D．3029
答案：C
分析：
根据递推公式可逐个代入计算，得出数列的周期为4，再根据与前两项的范围可求得，再分组求和求解即可．
【详解】
设，由，得，，．
故数列的周期为4，即可得．
，又，．
，即．
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．
例7．（2023·广东汕头·三模）已知数列中，，当时，，则（ ）
A．B．C．5D．
答案：B
【解析】由题意得：，则数列的周期为3，则．
故选：B．
例8．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．-1D．2
答案：D
【解析】解：∵，，
∴，
∴，，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列，，∴，
故选：D．
题型二：数列的单调性
例9．（2023·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】为单调递增数列，，即，解得：，
即实数的取值范围为．
故选：B．
例10．（2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，
函数在上为增函数，可得，可得，
且有，即，即，解得或．
综上所述，．
故选：C．
例11．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，，因此有，
得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，
因为数列单调递增，所以有，
即，解得：，
故选：C
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：因为等比数列前项和满足（），
所以，
，
，
因为等比数列中，
所以，解得或（舍去），
所以，
因为数列是递增的，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：C
例13．（2023·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
由条件可得，解出即可．
【详解】
因为对于任意都有，
所以，解得
故选：C
例14．（2023·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围．
【详解】
由数列是单调递增数列，所以，
即，即（）恒成立，
又数列是单调递减数列，所以当时，取得最大值，所以．
故选：C．
【方法技巧与总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
题型三：数列的最大（小）项
例15．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（ ）
A．B．1
C．2D．3
答案：B
分析：
根据得出，然后通过累加法求出，根据均值不等式及，即可求出结果．
【详解】
由得
所以
则
所以
当且仅当时等号成立，因为，故取或最小，又，所以的最小值为1
故选：B
【点睛】
思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及，求得最值．
例16．已知数列满足 ，，则的最小值为（ ）
A．2 -1B．C．D．
答案：C
分析：
先根据累加法得，进而得，再结合函数的单调性即可得当时，的最小值为．
【详解】
解：由得，
所以，，， ，，，
累加上述式子得：，
所以，，
检验已知时，满足．
故，，
由于函数在区间上单调递减，在上单调递增，
又因为，当时，，当时，，
所以的最小值为．
故选：C．
例17．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）
A．第3项B．第4项 C．第5项 D．第6项
答案：A
分析：
由与的关系化简即可求出及，可得，分析单调性即可求解．
【详解】
∵，
∴，则，即，
∴．
易知，
∵，
当时， ，
∴当时， ，
当时，，
又，
∴当时， 有最小值．
故选：A
例18．已知数列的前n项和数列的前n项和则的最小值____
答案：5
分析：
由和的关系求出数列的通项公式，再根据正负表示出数列的通项公式为，求出，并表示出，再分别求出和时的最小值，即可判断的最小值．
【详解】
由题意，数列的前n项和，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
当时，，当时，，
所以，
数列的前n项和，
所以，
当时，，当时，的最小值为6；
当时，，
由对勾函数的性质，当时，有最小值5；
综上所述，的最小值为5
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查由求数列通项公式的求法、等差数列前项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题．
例19．数列，，，，中的最小项的值为__________．
答案：
分析：
构造函数，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解．
【详解】
考虑函数，，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
即在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，在单调递减，
所以数列的最大项为，所以的最小项为．
故答案为：
【点睛】
此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题．
【方法技巧与总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．
（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．
题型四：数列中的规律问题
例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（ ）；（ ）．
A．35
B．36
C．37
D．38
答案：C
分析：
结合图形中的规律直接求出和，进而总结出递推公式时，，利用累加法即可求出结果．
【详解】
由图中规律可知：，
所以，
，
，
，
因此当时，，
所以
，
经检验当时，符合，所以，
故选：C．
例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，．若数对满足，，则数对排在（ ）
A．第386位B．第193位C．第348位D．第174位
答案：D
分析：
先求出的值，再根据数对的特点推出数对的位置
【详解】
解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第组为，数对中两数的和为，共个数，
由，得，
因为，所以，解得，
所以，
在所有数对中，两数之和不超过19的有个，
所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17），
所以数对（3，17）排在第174位，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由，得，解出的值，考查计算能力，属于中档题
例22．已知“整数对”按如下规律排列：，…，则第个“整数对”为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
设“整数对”为，由已知可知点列的排列规律是的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项．
【详解】
设“整数对”为，由已知可知点列的排列规律是的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．
当时只有1个；
当时有2个；
当时有3个；
…；
当时有个；
其上面共有个数对．
所以第个“整数对”为，第个“整数对”为，
故选：C．
【点睛】
本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题．
例23．将正整数排列如下：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
则图中数出现在
A．第行列B．第行列C．第行列D．第行列
答案：B
分析：
计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案．
【详解】
每行的首个数字为：1，2，4，7，11…
利用累加法：
计算知：
数出现在第行列
故答案选B
【点睛】
本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键．
题型五：数列的最值问题
例24．（2023·北京市第十二中学高三期中）已知数列满足，则数列的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
又，，，
即的最小值为．
故选：A．
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项D．此数列的最小项是
答案：B
【解析】令，则，
当时，
当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减
所以当即时，取得最大值，
所以此数列的最大项是，最小项为
故选：B．
例26．（2023·河南·高三阶段练习（理））在数列中，，（，），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可得，
当时，满足上式，则．
因为，
所以，
所以，
则，
故，当且仅当时，等号成立．
故选：C
例27．（2023·辽宁·高三阶段练习）若数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为
所以．
设．
若有最小值，则有最小值，
令，则
所以当或时﹐的最小值为．
故选：B
例28．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题意可知，，
则，
又在 上递减，在上递增，
且，
时，；
时，，
故选：A．
例29．（2023·全国·高三专题练习）设，则数列中最大项的值为（ ）
A．B．5C．6D．
答案：B
【解析】解：，
，当时，取到最大值5．
故选：B．
例30．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·陕西·交大附中模拟预测（理））函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知可得，，，，，
以此类推可知，对任意的，，
，所以，.
故选：B.
2．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
答案：C
【解析】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，
通过观察可知，同理可得，
所以,
因为，所以①正确，③错误；
由，解得，由，解得，
又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．
当n为偶数时，，故④正确．
故选：C.
3．（2023·河南·模拟预测（理））观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；
数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2．
因此第8个数组为，即．
故选：C.
4．（2023·吉林长春·模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前2022项积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意， ， ， ，
， ， ， ，
∴ 是周期为4的循环数列，在一个周期内的积为： ，
，前2022项之积为505个周期之积 ，
即 ；
故选：A.
5．（2023·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列满足，则（ ）
A．B．1C．2D．
答案：A
【解析】因为，
所以，，
所以数列是以周期为的数列，即.
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】解：数列单调递增，可得：，化为：.
∴.
由“”可得：，可得：.
∴“”是“数列单调递增”的充要条件，
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可得解得.
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是（ ）
A．第2项B．第3项
C．第4项D．第5项
答案：B
【解析】∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．
故选：B
9．（2023·上海普陀·二模）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列是常数列
B．若，则是递增数列
C．若，则
D．若，则的最小项的值为
答案：D
【解析】当时，，
当时，，则，
而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；
由，显然且，即不单调，B错误；
若，则，，故，偶数项为3，奇数项为，
而，C错误；
若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.
故选：D
10．（2023·北京四中三模）已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由题意，数列的通项为，
则，
即，对恒成立，
当时，取得最小值，所以，
所以“”是“，”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
11．（2023·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是180
C．此数列偶数项的通项公式为D．此数列的前项和为
答案：ABC
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，
奇数项是后一项减去后一项的项数，，故C正确；
由此可得，故A正确；
，故B正确；
是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，
不可能有，故D错误．
故选：ABC．
12．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，则数列中的项的值可能为（ ）
A．B．2C．D．
答案：AC
【解析】由题意可得，
，
，
所以数列是周期为2的数列，
所以数列中的项的值可能为，．
故选：AC．
13．（2023·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列，的一个通项公式是
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D．数列，，是递增数列
答案：ACD
【解析】对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；
对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；
对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D错误．
故选：ACD．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知是的前项和，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．是以为周期的周期数列
答案：AC
【解析】因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列{an}满足，，则数列{an}中的项的值可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】数列满足，依次取代入计算得，，，，因此继续下去会循环；数列是周期为3的周期数列，所有可能取值为，
故选：BC.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】因为数列满足，，
；
；
；
数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；
故选：．
17．（2023·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合中所有的数从小到大排列的数列，即，，，，，…，则下列结论正确的是（ ）
A．第四行的数是17，18，20，24B．
C．D．
答案：ABD
【解析】利用来表示每一项，由题可知：
第一行：3（0，1）；
第二行：5（0，2），6（1，2）；
第三行：9（0，3），10（1，3），12（2，3）；
第四行：17（0，4），18（1，4），20（2，4），24（3，4），
故A正确.
表示第行的第项，则，故B正确.
由表示第行的第1项，则，故C错误.
又表示第14行的第9项，所以，故D正确.
故选：ABD
18．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）
A．第6行第1个数为192
B．第10行的数从左到右构成公差为的等差数列
C．第10行前10个数的和为
D．数表中第2021行第2021个数为
答案：ABD
【解析】数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足数列，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列.
对于选项A：由题可知，每行第一个数满足下列关系：，所以第6行第1个数为，故A正确；
对于选项B：每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，故第10行的数从左到右构成公差为的等差数列，选项B正确；
对于选项C：第10行的第一个数为，公差为，所以前10个数的和为：，故C错误；
对于选项D：数表中第2021行中第一个数为，第2021行的公差为，故数表中第2021行第2021个数为，选项D正确.
故选：ABD.
19．（2023·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为D．此数列的前项和为
答案：AC
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，由此可得，A正确；，B错误；C正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错．
故选：AC．
20．（2023·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．是递增数列B．是递减数列
C．D．数列的最大项为和
答案：BCD
【解析】解：因为，所以数列的最大项为和，故D正确；
当时，，
当时，由，得，
两式相减得：，
又，适合上式，
所以，故C正确；
因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；
故选：BCD
21．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）
A．若n为质数，则B．数列单调递增
C．数列的前5项和等于D．数列为等比数列
答案：AD
【解析】因为n为质数，故小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目为,
故此时，故A正确.
因为，所以，
故数列不是单调递增，故B错误.
小于等于的正整数中与互质的数为，
数目为，所以，
前5项和为，
故C错误.
小于等于的正整数中与互质的数的数为，
其数目为，
故，而，故数列为等比数列，
故D正确.
故选：AD.
三、填空题
22．（2023·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列满足，则为递增数列”为假命题的数列的通项公式可以为__________．
答案：
【解析】因无穷数列满足，当时，，数列为递增数列，给定命题是真命题，
当时，，数列为递减数列，给定命题是假命题，
因此，取，显然有，，
所以.
故答案为：
23．（2023·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是__________.
答案：，答案不唯一.
【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是：.
故答案为：，答案不唯一.
24．（2023·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列的通项公式：__________．
①；②数列是单调递减数列；③数列是一个等比数列．
答案：（答案不唯一）
【解析】由③可知，（为非零常数），即，可得为等比数列，
由①可知，，
由②可知，，则，则，则，
所以，其中.
故答案为：（答案不唯一）.
25．（2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．
答案：
【解析】因为，且对于任意恒成立，
所以对于任意恒成立，即，
令，则，
因为，，，
且对于任意恒成立，
所以，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
26．（2023·天津市新华中学高三期末）在数列中，，则数列中的最大项的________ .
答案：6或【解析】，
令，解得，
即时，，
当时，，
所以或最大，
所以或.
故答案为：6或7.
27．（2023·山西·模拟预测（理））数列中，已知，，，则的取值范围是___________.
答案：
【解析】解：由题意知，
两式相加得，因此，
所以数列是以6为周期的周期数列，
令，则，
又由于，故.
故答案为：.
28．（2023·四川成都·三模（理））已知数列满足，，则的值为______．
答案：
【解析】由题设，则，而，
所以，，，，…
故是周期为4的数列且，，，，
所以.
故答案为：
29．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
答案：
【解析】由，，可得，．
∴可得．所以数列的周期为3.
．
故答案为：.
作差比较法
根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断