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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题26活用隐圆的五种定义妙解压轴题(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题26活用隐圆的五种定义妙解压轴题(原卷版+解析)，共38页。
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例例题】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
例1．（2023•和平区校级月考）平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．
例2．（2023春•温州期中）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是
A．B．C．，D．
例3．（2023•延边州一模）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．，，
例4．（2023•花山区校级期末）设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是
A．，B．C．D．
例5．（2023•广元模拟）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为 ．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
例6．（2023•普陀区二模）如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且为常数）．下列结论中，正确的是
A．当时，满足条件的点有且只有一个
B．当时，满足条件的点有三个
C．当时，满足条件的点有无数个
D．当为任意正实数时，满足条件的点是有限个
例7．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系中，圆，圆为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为 ．
例8．（2023•通州区月考）在平面直角坐标系中，，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为 ．
例9．（2023•盐城三模）已知，，，四点共面，，，，则的最大值为 ．
例10．（2023•大武口区校级期末）已知圆，点，，点是圆上的动点，则的最大值为 ，最小值为 ．
例11．（2023•大观区校级期中）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．
例12．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
例13．（2023春•湖北期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．B．C．D．
例14．（2023春•龙凤区校级期末）已知圆和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例15．（2023•荆州区校级期末）已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
例16．（2023•浙江期中）已知点，，若圆上存在一点，使得，则实数的最大值是
A．4B．5C．6D．7
例17．（2023•彭州市校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．，2 B．，4 C．，4 D．，2
例18．（2023•安徽校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
例19．（2023•北京模拟）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
例20．（2023春•大理市校级期末）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为
A．7B．6C．5D．4
例21．（2023春•红岗区校级期末）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则的最大值与最小值之差为
A．1B．2C．3D．4
例22．（2023•兰州一模）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是
A．，B．，C．，D．，
例23．（2023•海淀区校级三模）过直线上的点作圆的切线，若在直线上存在一点，使得过点的圆的切线，，为切点）满足，则的取值范围是
A．，B．，
C．，，D．，，
例24．（2023春•东阳市校级期中）如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是 ．
例25．（2023春•淮安校级期中）若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点坐标为，则线段长度的最小值是 ．
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例26．（2023•长治模拟）已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量，满足，则的最小值为 ．
例27．（2023春•瑶海区月考）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为
A．27B．16C．10D．25
例28．（2023秋•沈河区校级期中）设向量，，满足：，，，，则的最大值为
A．2B．C．D．1
例29．（2023•闸北区一模）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：为实常数），则动点的轨迹为
A．圆B．椭圆C．双曲线D．不确定
例30．（2023•和平区校级一模）如图，梯形中，，，，，和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例31．（2023•宁城县一模）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是
A．B．C．D．
例32．（2023•黄浦区校级三模）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上的一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有6个不同的点满足：，则实数的取值范围是 ．
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
例33．（2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k（且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A（，0），B（2，0），直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（ ）
A．B．C．2D．2
例34．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．4
例38．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例39．（2023·江苏·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已经，，动点满足，则动点轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
例40．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例41．（2023·江苏省江阴高级中学高三开学考试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
例42．（2023·全国·高三专题练习）被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．
专题26 活用隐圆的五种定义妙解压轴题
【题型归纳目录】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例例题】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
例1．（2023•和平区校级月考）平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：由题可知，则到，，三点的距离相等，
所以是的外心，
又，
变形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心与垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的边长为；
如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，
则，，，，
可设，其中，，而，
即是的中点，则，
，
当时，取得最大值为．
故选：．
例2．（2023春•温州期中）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是
A．B．C．，D．
【解析】解：由是单位向量，且，则可设，，；
向量满足，
，
，
即，
它表示圆心为，半径为的圆；
又，，它表示圆上的点到点的距离，如图所示：
且，
；
即的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，也考查了推理能力和计算能力，是综合性题目．
例3．（2023•延边州一模）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．，，
【解析】解：问题可转化为圆和圆相交，
两圆圆心距，
由得，
解得：，即，，
故选：．
例4．（2023•花山区校级期末）设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是
A．，B．C．D．
【解析】解：设，
在中，由正弦定理可得，，
，，
，
整理得，，
由题意知，，，．
当时，取得最值，
即直线为圆的切线时取得最值．
．
故选：．
例5．（2023•广元模拟）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为 ．
【解析】解：平面内，，，
，，，
可设，，，，
动点，满足，，
可设，，，
，，
，
当且仅当时取等号，
的最大值为．
故答案为：．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
例6．（2023•普陀区二模）如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且为常数）．下列结论中，正确的是
A．当时，满足条件的点有且只有一个
B．当时，满足条件的点有三个
C．当时，满足条件的点有无数个
D．当为任意正实数时，满足条件的点是有限个
【解析】解：以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示
则，，，，，设，可得
，，
化简得：，即
配方，得（1）
当时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；
当时，方程（1）的右边为0，表示点，恰好是正三角形的重心；
当时，方程（1）的右边大于0，表示以为圆心，半径为的圆
由此对照各个选项，可得只有项符合题意
故选：．
例7．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系中，圆，圆为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为 ．
【解析】解：由题意，圆为实数），圆心为
圆上任意一点向圆作切线，切点为，，
所以与圆有交点，
解得
，
故答案为：，
例8．（2023•通州区月考）在平面直角坐标系中，，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为 ．
【解析】解：，在以为直径的圆上，
不妨设，，
则，，
，
，
令，，则，．
，
令，，，
在，上单调递增，
故当时，取得最小值，
再令（a），，
显然（a）在，上单调递增，
故时，（a）取得最小值，
综上，当，时，取得最小值25．
故的最小值为5．
故答案为：5．
例9．（2023•盐城三模）已知，，，四点共面，，，，则的最大值为 ．
【解析】解：以为原点，以直线为轴建立平面坐标系，
设，，，，．
，
，
，
点在以，以为半径的圆上，
的最大距离为．
故答案为：10．
例10．（2023•大武口区校级期末）已知圆，点，，点是圆上的动点，则的最大值为 ，最小值为 ．
【解析】解：设点的坐标为，
则
当时，即时，取最大值74，
当时，即，取最小值34，
故答案为：74，34．
例11．（2023•大观区校级期中）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．
【解析】解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，
设点，则由，
得，
整理得，
即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
圆心到点的距离为，
所以，，
所以的取值范围是，．
例12．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
【解析】解：设点的坐标为，
则
当时，即时，取最大值74，
此时，，
点坐标，
当时，即，取最小值34，
此时，，点坐标，．
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
例13．（2023春•湖北期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．B．C．D．
【解析】解：，，
设，，，设的中点为，则，，
，
故在以为直径的圆上，
，在圆上，
的最大值为圆的直径．
故选：．
例14．（2023春•龙凤区校级期末）已知圆和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由题意圆和点，若圆上存在两点，，使得，可得，
，
，
故选：．
例15．（2023•荆州区校级期末）已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示：
设是线段的中点，则，
，，
于是，
在中，，，
，
由勾股定理得：
，
整理得，
故的轨迹是以，为圆心，为半径的圆，
故，
故，
故选：．
例16．（2023•浙江期中）已知点，，若圆上存在一点，使得，则实数的最大值是
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：根据题意，圆，即；
其圆心为，半径，
设的中点为，
又由点，，则，，
以为直径的圆为，
若圆上存在一点，使得，则圆与圆有公共点，
又由，
即有且，
解可得：，即或，
即实数的最大值是6；
故选：．
例17．（2023•彭州市校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．，2 B．，4 C．，4 D．，2
【解析】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
，．
由基本不等式可得，
即，可得．
故选：．
例18．（2023•安徽校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，，，
，，
，，
故选：．
例19．（2023•北京模拟）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
动直线和过定点的动直线满足，两直线始终垂直，
又是两条直线的交点，，．
设，则，，
由且，可得，
则，
，，，
，，
故选：．
例20．（2023春•大理市校级期末）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为
A．7B．6C．5D．4
【解析】解：，点的轨迹是以为直径的圆，
故点是圆与圆的交点，
因此两圆相切或相交，即，
解得．
的最小值为4．
故选：．
例21．（2023春•红岗区校级期末）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则的最大值与最小值之差为
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：圆的圆心，半径，
设在圆上，则，，
由，
可得，
即，
的最大值即为的最大值，等于．
的最小值即为的最小值，等于．
则的最大值与最小值之差为．
故选：．
例22．（2023•兰州一模）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：圆，其圆心，，半径为1，
圆心到的距离为2，
圆上的点到点的距离的最大值为3．
再由，以为直径的圆和圆有交点，可得，故有，
，．
圆心，，直线的斜率，
直线的方程为
联立：解得：．
故选：．
例23．（2023•海淀区校级三模）过直线上的点作圆的切线，若在直线上存在一点，使得过点的圆的切线，，为切点）满足，则的取值范围是
A．，B．，
C．，，D．，，
【解析】解：圆，圆心为：，半径为1，
在直线上存在一点，使得过的圆的切线，，为切点）满足，
在直线上存在一点，使得到的距离等于，
只需到直线的距离小于或等于，
故，解得，
故选：．
例24．（2023春•东阳市校级期中）如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是 ．
【解析】解：设，
显然，
，
（其中，
，
，
综上的长度的取值范围是，．
故答案为：，．
例25．（2023春•淮安校级期中）若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点坐标为，则线段长度的最小值是 ．
【解析】解：实数，，成等差数列，
，即，
可得动直线恒过，
点在动直线上的射影为，
，则在以为直径的圆上，
此圆的圆心坐标为，，即，
半径，
又，，则点在圆外，
则，
故答案为：．
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例26．（2023•长治模拟）已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量，满足，则的最小值为 ．
【解析】解：，
，
的终点在以和的终点为直径端点的圆上运动，设，则圆心为的终点，半径为1的圆上运动，如图所示，
其中，，的终点在射线上运动，显然当交圆于点，交于点时，最小，
此时，．
故答案为：．
例27．（2023春•瑶海区月考）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为
A．27B．16C．10D．25
【解析】解：根据题意，建立如图的坐标系，则，，，
中点为，则，
设三点都在圆上，其半径为，
在中，由正弦定理可得，即，
即，，则，
则的坐标为，
故点在以点为圆心，10为半径的圆上，
当且仅当、、三点共线时，取得最大值，此时；
故选：．
例28．（2023秋•沈河区校级期中）设向量，，满足：，，，，则的最大值为
A．2B．C．D．1
【解析】解：由题意可得，，，，
，，，．
，，，
设，，，则，，
，．
，、、、四点共圆，
，为该圆的半径．
中，由正弦定理可得，
当且仅当是的平分线时，取等号，此时，，
故选：．
例29．（2023•闸北区一模）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：为实常数），则动点的轨迹为
A．圆B．椭圆C．双曲线D．不确定
【解析】解：设，，，．
则，．
满足：为实常数），
，，，
化为，
即
故动点的轨迹是原点为圆心，以为半径的圆．
故选：．
例30．（2023•和平区校级一模）如图，梯形中，，，，，和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则梯形的高为，，，，，，，，．
当在上时，设，，则，，，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（2）当在上时，设，，则，，，．
，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（3）当在上时，直线方程为，
设，，则，，，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
（4）当在上时，由对称性可知当或时，方程有一解，
当时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，
则的取值范围是，，，，，．
故选：．
例31．（2023•宁城县一模）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，．
（1）若在上，设，．，．
，，，．
当时有一解，当时有两解．
（2）若在上，设，．，．
，，．
当或，有一解，当时有两解．
（3）若在上，设，，．
，．．
当或时有一解，当时有两解．
（4）若在上，设，，，．
，，．
当或时有一解，当时有两解．
综上，．
故选：．
例32．（2023•黄浦区校级三模）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上的一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有6个不同的点满足：，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图：
如图，则，
（1）若在上，设，
，
，
，，，
当时有一解，当时有两解；
（2）若在上，设，，
，
，
当或时有唯一解；当时有两解
（3）若在上，设，
，，
，
，，
当时有一解，当时有两解．
（4）若在上，设，，
，，
，，
当或时有一解，当时有两解．
综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是
故答案为
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
例33．（2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k（且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A（，0），B（2，0），直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（ ）
A．B．C．2D．2
答案：C
【解析】设动点P的坐标为（x，y），则，
由得：
化简后得：曲线C：，故P点轨迹为圆，
又可化为
直线l过定点A（1，2），
则圆心到直线的距离的最大值为|OA|，此时|MN|的长度最短．
所以|MN|的最短长度为．
故选：C．
例34．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点M的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当M在位置或时等号成立．
故选：D
例35．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，
由圆的性质得：，解得，，
所以C的长度为．
故选：B
例36．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
答案：C
【解析】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设，
因，则，化简整理得：，
因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，
当点P到直线（轴）的距离最大时，的面积最大，
显然，点P到轴的最大距离为，此时，，
所以面积的最大值是．
故选：C
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．4
答案：B
【解析】设，则，即，又，所以，即，
整理得，所以，解得，所以，
故选：B．
例38．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，设，，
因为，所以，即，
所以点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
因为，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，
所以，
所以，即的最大值为，
故选：A．
例39．（2023·江苏·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已经，，动点满足，则动点轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
答案：D
【解析】由已知动点满足，得
即动点轨迹为圆：，
，两圆外切．
故选： D．
例40．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，因为点，，，
所以即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
例41．（2023·江苏省江阴高级中学高三开学考试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
答案： ；
【解析】设点，，
．
抛物线的焦点为点，由题意知，，
，．
故答案为：；．
例42．（2023·全国·高三专题练习）被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．
答案： 3
【解析】以作为原点，所在的直线作为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
若，即，则不妨设在正半轴上，则，
设的顶点，而，
则，化简可得：，
根据条件可知A不在直线上，则，即且，
所以A点的轨迹为圆除去点与，可得，
所以面积的最大值为，即，
同样的，当，，
则的顶点满足，
化简可得，可得，
又，则，即，
所以，解得，即取值范围为．
故答案为：；．
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例例题】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
例1．（2023•和平区校级月考）平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．
例2．（2023春•温州期中）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是
A．B．C．，D．
例3．（2023•延边州一模）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．，，
例4．（2023•花山区校级期末）设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是
A．，B．C．D．
例5．（2023•广元模拟）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为 ．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
例6．（2023•普陀区二模）如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且为常数）．下列结论中，正确的是
A．当时，满足条件的点有且只有一个
B．当时，满足条件的点有三个
C．当时，满足条件的点有无数个
D．当为任意正实数时，满足条件的点是有限个
例7．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系中，圆，圆为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为 ．
例8．（2023•通州区月考）在平面直角坐标系中，，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为 ．
例9．（2023•盐城三模）已知，，，四点共面，，，，则的最大值为 ．
例10．（2023•大武口区校级期末）已知圆，点，，点是圆上的动点，则的最大值为 ，最小值为 ．
例11．（2023•大观区校级期中）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．
例12．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
例13．（2023春•湖北期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．B．C．D．
例14．（2023春•龙凤区校级期末）已知圆和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例15．（2023•荆州区校级期末）已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
例16．（2023•浙江期中）已知点，，若圆上存在一点，使得，则实数的最大值是
A．4B．5C．6D．7
例17．（2023•彭州市校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．，2 B．，4 C．，4 D．，2
例18．（2023•安徽校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
例19．（2023•北京模拟）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
例20．（2023春•大理市校级期末）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为
A．7B．6C．5D．4
例21．（2023春•红岗区校级期末）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则的最大值与最小值之差为
A．1B．2C．3D．4
例22．（2023•兰州一模）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是
A．，B．，C．，D．，
例23．（2023•海淀区校级三模）过直线上的点作圆的切线，若在直线上存在一点，使得过点的圆的切线，，为切点）满足，则的取值范围是
A．，B．，
C．，，D．，，
例24．（2023春•东阳市校级期中）如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是 ．
例25．（2023春•淮安校级期中）若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点坐标为，则线段长度的最小值是 ．
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例26．（2023•长治模拟）已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量，满足，则的最小值为 ．
例27．（2023春•瑶海区月考）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为
A．27B．16C．10D．25
例28．（2023秋•沈河区校级期中）设向量，，满足：，，，，则的最大值为
A．2B．C．D．1
例29．（2023•闸北区一模）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：为实常数），则动点的轨迹为
A．圆B．椭圆C．双曲线D．不确定
例30．（2023•和平区校级一模）如图，梯形中，，，，，和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例31．（2023•宁城县一模）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是
A．B．C．D．
例32．（2023•黄浦区校级三模）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上的一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有6个不同的点满足：，则实数的取值范围是 ．
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
例33．（2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k（且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A（，0），B（2，0），直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（ ）
A．B．C．2D．2
例34．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．4
例38．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例39．（2023·江苏·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已经，，动点满足，则动点轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
例40．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例41．（2023·江苏省江阴高级中学高三开学考试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
例42．（2023·全国·高三专题练习）被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．
专题26 活用隐圆的五种定义妙解压轴题
【题型归纳目录】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例例题】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
例1．（2023•和平区校级月考）平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：由题可知，则到，，三点的距离相等，
所以是的外心，
又，
变形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心与垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的边长为；
如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，
则，，，，
可设，其中，，而，
即是的中点，则，
，
当时，取得最大值为．
故选：．
例2．（2023春•温州期中）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是
A．B．C．，D．
【解析】解：由是单位向量，且，则可设，，；
向量满足，
，
，
即，
它表示圆心为，半径为的圆；
又，，它表示圆上的点到点的距离，如图所示：
且，
；
即的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，也考查了推理能力和计算能力，是综合性题目．
例3．（2023•延边州一模）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．，，
【解析】解：问题可转化为圆和圆相交，
两圆圆心距，
由得，
解得：，即，，
故选：．
例4．（2023•花山区校级期末）设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是
A．，B．C．D．
【解析】解：设，
在中，由正弦定理可得，，
，，
，
整理得，，
由题意知，，，．
当时，取得最值，
即直线为圆的切线时取得最值．
．
故选：．
例5．（2023•广元模拟）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为 ．
【解析】解：平面内，，，
，，，
可设，，，，
动点，满足，，
可设，，，
，，
，
当且仅当时取等号，
的最大值为．
故答案为：．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
例6．（2023•普陀区二模）如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且为常数）．下列结论中，正确的是
A．当时，满足条件的点有且只有一个
B．当时，满足条件的点有三个
C．当时，满足条件的点有无数个
D．当为任意正实数时，满足条件的点是有限个
【解析】解：以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示
则，，，，，设，可得
，，
化简得：，即
配方，得（1）
当时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；
当时，方程（1）的右边为0，表示点，恰好是正三角形的重心；
当时，方程（1）的右边大于0，表示以为圆心，半径为的圆
由此对照各个选项，可得只有项符合题意
故选：．
例7．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系中，圆，圆为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为 ．
【解析】解：由题意，圆为实数），圆心为
圆上任意一点向圆作切线，切点为，，
所以与圆有交点，
解得
，
故答案为：，
例8．（2023•通州区月考）在平面直角坐标系中，，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为 ．
【解析】解：，在以为直径的圆上，
不妨设，，
则，，
，
，
令，，则，．
，
令，，，
在，上单调递增，
故当时，取得最小值，
再令（a），，
显然（a）在，上单调递增，
故时，（a）取得最小值，
综上，当，时，取得最小值25．
故的最小值为5．
故答案为：5．
例9．（2023•盐城三模）已知，，，四点共面，，，，则的最大值为 ．
【解析】解：以为原点，以直线为轴建立平面坐标系，
设，，，，．
，
，
，
点在以，以为半径的圆上，
的最大距离为．
故答案为：10．
例10．（2023•大武口区校级期末）已知圆，点，，点是圆上的动点，则的最大值为 ，最小值为 ．
【解析】解：设点的坐标为，
则
当时，即时，取最大值74，
当时，即，取最小值34，
故答案为：74，34．
例11．（2023•大观区校级期中）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．
【解析】解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，
设点，则由，
得，
整理得，
即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
圆心到点的距离为，
所以，，
所以的取值范围是，．
例12．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
【解析】解：设点的坐标为，
则
当时，即时，取最大值74，
此时，，
点坐标，
当时，即，取最小值34，
此时，，点坐标，．
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
例13．（2023春•湖北期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．B．C．D．
【解析】解：，，
设，，，设的中点为，则，，
，
故在以为直径的圆上，
，在圆上，
的最大值为圆的直径．
故选：．
例14．（2023春•龙凤区校级期末）已知圆和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由题意圆和点，若圆上存在两点，，使得，可得，
，
，
故选：．
例15．（2023•荆州区校级期末）已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示：
设是线段的中点，则，
，，
于是，
在中，，，
，
由勾股定理得：
，
整理得，
故的轨迹是以，为圆心，为半径的圆，
故，
故，
故选：．
例16．（2023•浙江期中）已知点，，若圆上存在一点，使得，则实数的最大值是
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：根据题意，圆，即；
其圆心为，半径，
设的中点为，
又由点，，则，，
以为直径的圆为，
若圆上存在一点，使得，则圆与圆有公共点，
又由，
即有且，
解可得：，即或，
即实数的最大值是6；
故选：．
例17．（2023•彭州市校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．，2 B．，4 C．，4 D．，2
【解析】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
，．
由基本不等式可得，
即，可得．
故选：．
例18．（2023•安徽校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，，，
，，
，，
故选：．
例19．（2023•北京模拟）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
动直线和过定点的动直线满足，两直线始终垂直，
又是两条直线的交点，，．
设，则，，
由且，可得，
则，
，，，
，，
故选：．
例20．（2023春•大理市校级期末）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为
A．7B．6C．5D．4
【解析】解：，点的轨迹是以为直径的圆，
故点是圆与圆的交点，
因此两圆相切或相交，即，
解得．
的最小值为4．
故选：．
例21．（2023春•红岗区校级期末）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则的最大值与最小值之差为
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：圆的圆心，半径，
设在圆上，则，，
由，
可得，
即，
的最大值即为的最大值，等于．
的最小值即为的最小值，等于．
则的最大值与最小值之差为．
故选：．
例22．（2023•兰州一模）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：圆，其圆心，，半径为1，
圆心到的距离为2，
圆上的点到点的距离的最大值为3．
再由，以为直径的圆和圆有交点，可得，故有，
，．
圆心，，直线的斜率，
直线的方程为
联立：解得：．
故选：．
例23．（2023•海淀区校级三模）过直线上的点作圆的切线，若在直线上存在一点，使得过点的圆的切线，，为切点）满足，则的取值范围是
A．，B．，
C．，，D．，，
【解析】解：圆，圆心为：，半径为1，
在直线上存在一点，使得过的圆的切线，，为切点）满足，
在直线上存在一点，使得到的距离等于，
只需到直线的距离小于或等于，
故，解得，
故选：．
例24．（2023春•东阳市校级期中）如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是 ．
【解析】解：设，
显然，
，
（其中，
，
，
综上的长度的取值范围是，．
故答案为：，．
例25．（2023春•淮安校级期中）若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点坐标为，则线段长度的最小值是 ．
【解析】解：实数，，成等差数列，
，即，
可得动直线恒过，
点在动直线上的射影为，
，则在以为直径的圆上，
此圆的圆心坐标为，，即，
半径，
又，，则点在圆外，
则，
故答案为：．
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例26．（2023•长治模拟）已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量，满足，则的最小值为 ．
【解析】解：，
，
的终点在以和的终点为直径端点的圆上运动，设，则圆心为的终点，半径为1的圆上运动，如图所示，
其中，，的终点在射线上运动，显然当交圆于点，交于点时，最小，
此时，．
故答案为：．
例27．（2023春•瑶海区月考）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为
A．27B．16C．10D．25
【解析】解：根据题意，建立如图的坐标系，则，，，
中点为，则，
设三点都在圆上，其半径为，
在中，由正弦定理可得，即，
即，，则，
则的坐标为，
故点在以点为圆心，10为半径的圆上，
当且仅当、、三点共线时，取得最大值，此时；
故选：．
例28．（2023秋•沈河区校级期中）设向量，，满足：，，，，则的最大值为
A．2B．C．D．1
【解析】解：由题意可得，，，，
，，，．
，，，
设，，，则，，
，．
，、、、四点共圆，
，为该圆的半径．
中，由正弦定理可得，
当且仅当是的平分线时，取等号，此时，，
故选：．
例29．（2023•闸北区一模）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：为实常数），则动点的轨迹为
A．圆B．椭圆C．双曲线D．不确定
【解析】解：设，，，．
则，．
满足：为实常数），
，，，
化为，
即
故动点的轨迹是原点为圆心，以为半径的圆．
故选：．
例30．（2023•和平区校级一模）如图，梯形中，，，，，和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则梯形的高为，，，，，，，，．
当在上时，设，，则，，，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（2）当在上时，设，，则，，，．
，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（3）当在上时，直线方程为，
设，，则，，，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
（4）当在上时，由对称性可知当或时，方程有一解，
当时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，
则的取值范围是，，，，，．
故选：．
例31．（2023•宁城县一模）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，．
（1）若在上，设，．，．
，，，．
当时有一解，当时有两解．
（2）若在上，设，．，．
，，．
当或，有一解，当时有两解．
（3）若在上，设，，．
，．．
当或时有一解，当时有两解．
（4）若在上，设，，，．
，，．
当或时有一解，当时有两解．
综上，．
故选：．
例32．（2023•黄浦区校级三模）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上的一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有6个不同的点满足：，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图：
如图，则，
（1）若在上，设，
，
，
，，，
当时有一解，当时有两解；
（2）若在上，设，，
，
，
当或时有唯一解；当时有两解
（3）若在上，设，
，，
，
，，
当时有一解，当时有两解．
（4）若在上，设，，
，，
，，
当或时有一解，当时有两解．
综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是
故答案为
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
例33．（2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k（且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A（，0），B（2，0），直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（ ）
A．B．C．2D．2
答案：C
【解析】设动点P的坐标为（x，y），则，
由得：
化简后得：曲线C：，故P点轨迹为圆，
又可化为
直线l过定点A（1，2），
则圆心到直线的距离的最大值为|OA|，此时|MN|的长度最短．
所以|MN|的最短长度为．
故选：C．
例34．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点M的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当M在位置或时等号成立．
故选：D
例35．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，
由圆的性质得：，解得，，
所以C的长度为．
故选：B
例36．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
答案：C
【解析】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设，
因，则，化简整理得：，
因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，
当点P到直线（轴）的距离最大时，的面积最大，
显然，点P到轴的最大距离为，此时，，
所以面积的最大值是．
故选：C
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．4
答案：B
【解析】设，则，即，又，所以，即，
整理得，所以，解得，所以，
故选：B．
例38．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，设，，
因为，所以，即，
所以点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
因为，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，
所以，
所以，即的最大值为，
故选：A．
例39．（2023·江苏·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已经，，动点满足，则动点轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
答案：D
【解析】由已知动点满足，得
即动点轨迹为圆：，
，两圆外切．
故选： D．
例40．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，因为点，，，
所以即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
例41．（2023·江苏省江阴高级中学高三开学考试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
答案： ；
【解析】设点，，
．
抛物线的焦点为点，由题意知，，
，．
故答案为：；．
例42．（2023·全国·高三专题练习）被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．
答案： 3
【解析】以作为原点，所在的直线作为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
若，即，则不妨设在正半轴上，则，
设的顶点，而，
则，化简可得：，
根据条件可知A不在直线上，则，即且，
所以A点的轨迹为圆除去点与，可得，
所以面积的最大值为，即，
同样的，当，，
则的顶点满足，
化简可得，可得，
又，则，即，
所以，解得，即取值范围为．
故答案为：；．
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