新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题33直线的方程(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题33直线的方程(原卷版+解析)，共66页。

知识点一：直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
【题型归纳目录】
题型一：倾斜角与斜率的计算
题型二：三点共线问题
题型三：过定点的直线与线段相交问题
题型四：直线的方程
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
题型六：两直线的夹角问题
题型七：直线过定点问题
题型八：轨迹方程
题型九：中点公式
【典例例题】
题型一：倾斜角与斜率的计算
例1．（2023·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
例2．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（ ）上.
A．B．C．D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．
例11．（2023·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________.
【方法技巧与总结】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
题型二：三点共线问题
例12．（2023·全国·高三专题练习）若三点共线，则a的值为_________．
例13．（2023·全国·高三专题练习）若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·北京·高三期末）已知、、三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
例15．（2023·全国·高三专题练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
例19．（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
【方法技巧与总结】
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型四：直线的方程
例21．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
例22．（2023·全国·高三专题练习）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
例28．（2023·全国·高三专题练习）过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
例29．（2023·北京西城·高三阶段练习（理））已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．
例30．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例31．（2023·福建·莆田二中高三开学考试）直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例32．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
例33．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
例35．（2023·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
例38．（2023·江苏·高二专题练习）已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．
(1)试用k来表示点M和N的坐标；
(2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；
(3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．
例39．（2023·湖北孝感·高二期中）已知直线的方程为点的坐标为.
(1)证明：直线一定经过第一象限；
(2)设直线与轴､轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.
例40．（2023·全国·高二专题练习）设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．
例41．（2023·江苏·高二专题练习）直线，相交于点，其中.
（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）问为何值时，最大？
例42．（2023·江苏·苏州中学高二期中）已知，为实数，过原点分别作直线，的垂线，垂足分别为， .
（1）若，且直线与轴、轴交于,两点，当面积最小时，求实数的值；
（2）若直线过点，设直线与的交点为，求证：点在一条直线上.
例43．（2023·江苏·高二课时练习）过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
例44．（2023·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线过点.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若直线与x，y轴分别交于A，B两点且斜率为负，O为坐标原点，求的最小值.
例45．（2023·全国·高二）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
例46．（2023·浙江·绍兴一中高二期中）如图，过点的直线l交x轴，y轴正半轴于A､B两点，求使：
(1)面积最小时l的方程；
(2)最小时l的方程.
例47．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
例48．（2023·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【方法技巧与总结】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
题型六：两直线的夹角问题
例49．（2023·全国·高三专题练习）直线与的夹角为________．
例50．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________.
例51．（2023·上海·高三专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．
例52．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．2
例53．（2023·全国·高三专题练习（文））若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ）
A．或2B．或3C．或4D．或5
【方法技巧与总结】
若直线与直线的夹角为，则.
题型七：直线过定点问题
例54．（2023·浙江·高三专题练习）直线经过的定点坐标是______．
例55．（2023·上海市中国中学高三期中）动直线，恒过的定点是________
例56．（2023·浙江·高三专题练习）已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．
例57．（2023·上海·高三专题练习）对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________．
例58．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
例59．（2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
合并参数
题型八：轨迹方程
例60．（2023·全国·高三专题练习）已知，，动点M与A，B两点连线的斜率分别为、，若，求动点M的轨迹方程
例61．（2023·全国·高三专题练习）过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.
例62．（2023·全国·高三专题练习）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.
例63．（2023·全国·高三专题练习）直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．
例64．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
【解析】由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
例65．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
题型九：中点公式
例66．（2023·全国·高三专题练习（理））过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．
例67．（2023·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
例68．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
【方法技巧与总结】
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
2．（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
3．（2023·全国·高三专题练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
4．（2023·上海市实验学校模拟预测）已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①；
②当时，有最小值，无最大值；
③；
④当且时，的取值范围是.
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
6．（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且且
8．（2023·河南·高三阶段练习（理））已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．5D．10
二、多选题
9．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）设直线系：，则下面四个命题正确的是（ ）
A．直线系中包含倾斜角为和的直线
B．点到直线系中的所有直线的距离恒为定值
C．直线系中能构成三角形的任意三条直线所围成的三角形面积都相等
D．存在点不在直线系中的任意一条直线上
10．（2023·江苏·高三阶段练习）已知两点，，曲线C上存在点P满足，则曲线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·重庆·模拟预测）已知直线的方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．当变化时，直线始终经过第二、第三象限
B．当变化时，直线恒过一个定点
C．当变化时，直线始终与抛物线相切
D．当在内变化时，直线可取遍第一象限内所有点
12．（2023·江苏·扬州中学高三阶段练习）以下命题正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则其斜率为
B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．若点在线段（）上运动，则的最大值为
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
15．（2023·上海市延安中学高三阶段练习）直线：与直线：夹角的正切值为______．
16．（2023·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围.
19．（2023·全国·高三专题练习（文））已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
20．（2023·全国·高三专题练习）根据所给条件求直线的方程：
（1）过点P(－2，4)且斜率k＝3；
（2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与直线的交点为.
（1）若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线过点且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，的面积为，求直线的方程．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，求的最大值.
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
专题33 直线的方程
【考点预测】
知识点一：直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
【题型归纳目录】
题型一：倾斜角与斜率的计算
题型二：三点共线问题
题型三：过定点的直线与线段相交问题
题型四：直线的方程
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
题型六：两直线的夹角问题
题型七：直线过定点问题
题型八：轨迹方程
题型九：中点公式
【典例例题】
题型一：倾斜角与斜率的计算
例1．（2023·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【解析】由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
例2．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
答案：A
【解析】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，
故选：A．
例3．（2023·全国·高三专题练习）若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（ ）上.
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由为第二象限角可得，则，
则角的终边落在直线即上.
故选：B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由斜率的定义可知，.
故选：A．
例5．（2023·全国·高三专题练习）若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】的斜率为即
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为直线的斜率为，且，
，因为，
.
故选：A.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由直线的方程为，
所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
故选：B
例8．（2023·全国·高三专题练习）设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】直线的方程是倾斜角为，
当时，直线的斜率不存在，则；
当时，.
若，则，求得；
若，则，求得.
综上可得，的取值范围为.
故选：B.
例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
答案：ACD
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．
答案： 或.
【解析】由题易知直线l的斜率存在，故.
则，当且仅当，即时，等号成立.
所以或，即直线l的倾斜角的取值范围是或.
故答案为：；或.
例11．（2023·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________.
答案：
【解析】由题可知，，
则.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
题型二：三点共线问题
例12．（2023·全国·高三专题练习）若三点共线，则a的值为_________．
答案：
【解析】由三点共线
故
故答案为：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由于、、三点共线，
则，即，解得.
故选：A.
例14．（2023·北京·高三期末）已知、、三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.
【详解】
由于、、三点共线，则，即，解得.
故选：C.
【方法技巧与总结】
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
例15．（2023·全国·高三专题练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．
【解析】因为，，由与线段相交，
所以，
所以或，
由于在及均为增函数，
所以直线的倾斜角的范围为：.
故倾斜角的范围为，斜率k的范围是.
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，
又，
∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
∴的取值范围为.
故选：C.
例17．（2023·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______．
答案：
【解析】如图，作出直线及，它们的交点为，
直线上满足的点在点右下方，
，又直线的斜率为，，
由图可得的范围是．
故答案为：．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
答案：[1，2]
【解析】设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率.
当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示.
又，，所以，即的取值范围是[1，2].
故答案为：[1，2]
例19．（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为点在函数的图象上，
所以时， ；当时，；
故设
而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率，
故时，,
而 ,所以
故选：B.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
答案：B
【解析】如下图示，
当直线过A时，，
当直线过B时，，
由图知：或.
故选：B
【方法技巧与总结】
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型四：直线的方程
例21．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
答案：1
【解析】①由于直线过定点，当直线斜率存在时，可用方程表示，
当直线斜率不存在时，方程是，①不正确；
②当时，经过任意两个不同的点的直线方程是，满足方程，
当时，经过任意两个不同的点的直线的斜率是，
则直线方程是，整理得，②正确；
③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程表示，③不正确；
④当直线斜率不存在时，经过点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，经过点的直线可以用方程表示，④不正确，
所以给定的4个命题中，真命题只有1个.
故答案为：1
例22．（2023·全国·高三专题练习）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．
答案：3
【解析】当坐标轴截距为0时，设方程为，
将代入得：，所以方程为；
当坐标轴截距不为0时，设方程为，
则有，解得：，或，
从而方程为或
所以满足题设的直线l的条数为3条.
故答案为：3
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
例24．（2023·全国·高三专题练习）过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题可知直线方程为：，即，
令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.
故选：C.
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即．
故选：C．
例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
答案：D
【解析】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
例28．（2023·全国·高三专题练习）过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
答案：B
【解析】①当直线的两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，由题意有，则，∴直线方程为满足条件；
②当直线的两坐标轴上的截距不为0时，设的方程为．把点代入直线方程得．解得，从而直线方程为.
故满足条件的直线方程为和．
故选：B．
例29．（2023·北京西城·高三阶段练习（理））已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．
答案：
【解析】
由题意得直线恒过定点，且斜率为，
∵直线不通过第一象限，
∴，解得，
故实数的取值范围是．
答案：
例30．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】由，，，
知直线斜率，在轴上截距为，
所以此直线必不经过第三象限.
故选：C
例31．（2023·福建·莆田二中高三开学考试）直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】因为直线经过第一、二、四象限，则该直线的斜率，可得，
该直线在轴上的截距，可得.
故选：C.
例32．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，
当截距不为0时，设直线方程为，可得，
∴，所以直线方程为,
故选：AC.
例33．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
【解析】若直线过原点，则直线的方程为，
将点代入得，所以直线方程为，即；
若直线不过原点，根据题意，设直线方程为，
将点代入得，故直线的方程为；
所以直线的方程为：或．
故选：AB．
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；
故选：C
【方法技巧与总结】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
例35．（2023·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
答案：A
【解析】由题意，直线与轴、轴交点分别为，，
∴，作出其图象如图所示，

由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.
故选：A
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
【解析】】（1）由题意可设直线的方程为，即，
则，解得．
故直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，
，，依题意，解得，
则的面积为．
则（当且仅当时，等号成立）．
故面积的最小值为．
例38．（2023·江苏·高二专题练习）已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．
(1)试用k来表示点M和N的坐标；
(2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；
(3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．
【解析】(1)由已知得直线l斜率存在，设．
由，得；又，所以.
由，得．
(2).
(3)设，则．
，
当且仅当时，等号成立．
例39．（2023·湖北孝感·高二期中）已知直线的方程为点的坐标为.
(1)证明：直线一定经过第一象限；
(2)设直线与轴､轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.
【解析】(1)直线：，整理可得：，
∴直线恒过和的交点，即直线恒过定点在第一象限，
∴直线一定经过第一象限；
(2)由（1）可得：直线恒过定点，
当与垂直时，到直线的距离最大，为，
又，故直线的斜率为，即，可得，
直线的方程为：，
令得：；令得：，即，，
∴，
∴.
例40．（2023·全国·高二专题练习）设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．
【解析】(1)对于直线的方程为，
当直线经过原点时，，求得，此时它的方程为；
当直线不经过原点时，它的方程即，由于它两坐标轴上的截距相等，
故有，求得，它的方程为，
综上可得，的一般式方程为，或．
(2)因为，令，则，令，则，所以，，
与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，
的横坐标，的纵坐标，求得．
所以
，当且仅当时取等号，
故为坐标原点）面积的最小值为6．
例41．（2023·江苏·高二专题练习）直线，相交于点，其中.
（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）问为何值时，最大？
【解析】（1）在直线的方程中令可得，则直线过定点，
在直线的方程中令可得，则直线过定点；
（2）联立直线、的方程，解得，即点.
，
，
，所以，；
（3）且，因此，当时，取得最大值，即.
例42．（2023·江苏·苏州中学高二期中）已知，为实数，过原点分别作直线，的垂线，垂足分别为， .
（1）若，且直线与轴、轴交于,两点，当面积最小时，求实数的值；
（2）若直线过点，设直线与的交点为，求证：点在一条直线上.
【解析】（1）
直线，
令，
令，
，
，
当时，，
面积最小时，实数的值为；
（2）原点的直线距离为，
同理原点的直线距离为，所以为圆的切线，
为切点，直线过点，且直线与相交于，
不在轴上，设，
所以直线化为，整理得，
同理方程为，设与的交点为，
所以有，
所以直线方程为，且过点，
，即点在直线上.
例43．（2023·江苏·高二课时练习）过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
【解析】(1)因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即；
(2)设，，直线l的方程为，代入点可得，
若选①：，当且仅当时等号成立，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即；
若选②：由，可得，当且仅当时等号成立，
所以，即面积最小为4，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即.
例44．（2023·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线过点.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若直线与x，y轴分别交于A，B两点且斜率为负，O为坐标原点，求的最小值.
【解析】(1)当直线过原点时，
则直线的方程为在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过原点时，设直线l的方程为，
将点代入得，解得，
所以直线的方程为，
综上所述直线的方程为或；
(2)设直线的方程为，
当时，，
当时，，
故，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
例45．（2023·全国·高二）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
【解析】(1)根据题意可设直线l的方程为,则,
直线l过点,,
又(当且仅当,即时取等号),
,即,
的最小值为8,此时直线l的截距式方程为.
(2)由（1）可知,,则,
(当且仅当,即时取等号).
的最小值为4,此时直线l的截距式方程为.
例46．（2023·浙江·绍兴一中高二期中）如图，过点的直线l交x轴，y轴正半轴于A､B两点，求使：
(1)面积最小时l的方程；
(2)最小时l的方程.
【解析】(1)设直线的方程为，
直线过点，
．
，
．．
当且仅当，即，时，取最小值4，
此时直线的方程为，即．
(2)由，得，
变形得，
．
当且仅当，，即，时，取最小值4．
此时直线的方程为．
例47．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
【解析】(1)设直线，且
∵直线过点
则
当且仅当即时取等号
所以的最小值为，
直线1即.
(2)由
∴，
当且仅当即时取等号，
∴此时直线,
故的最小值为9，此时直线l的方程.
例48．（2023·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
【方法技巧与总结】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
题型六：两直线的夹角问题
例49．（2023·全国·高三专题练习）直线与的夹角为________．
答案：
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，
所以，
又两直线夹角的范围为，
所以两直线夹角为，
故答案为：.
例50．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________.
答案：3
【解析】直线的斜率，直线的斜率，
设底边所在直线为，
由题意，与的夹角等于与的夹角，
于是有，即，
化简得，解得或，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以.
故答案为：3.
例51．（2023·上海·高三专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．
答案：
【解析】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且
由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
故答案为：．
例52．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．2
答案：A
【解析】根据题意，设直线的斜率为，
直线，，两直线相交于点，设，
点在直线上，直线与直线相交于点，
为等腰锐角三角形，
则，则，
故必为顶点，必有
则有，
必有，解可得：或，
则，
故选：．
例53．（2023·全国·高三专题练习（文））若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ）
A．或2B．或3C．或4D．或5
答案：C
【解析】因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，即，
设其倾斜角为，则，
因为斜边与直角边的倾斜角相差45°，则斜边的倾斜角为或，
所以，
，
所以斜边所在直线的斜率为或4．
故选：C．
【方法技巧与总结】
若直线与直线的夹角为，则.
题型七：直线过定点问题
例54．（2023·浙江·高三专题练习）直线经过的定点坐标是______．
答案：
【解析】把直线的方程改写成：，
由方程组，解得：，所以直线总过定点，
故答案为：
例55．（2023·上海市中国中学高三期中）动直线，恒过的定点是________
答案：
【解析】∵，
∴
∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直线恒过定点（2，2）．
故答案为：．
例56．（2023·浙江·高三专题练习）已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．
答案：
【解析】由已知得，
代入直线得，
即，
由，解得，
直线必过定点，
故答案为:.
例57．（2023·上海·高三专题练习）对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________．
答案：
【解析】由直线整理得
对任意的实数，，直线恒经过的一个定点.
所以，解得
由点代入直线，
满足
所以点在直线上，
即直线恒过定点
故答案为:
例58．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
答案：C
【解析】由，得．
∴直线恒过定点，即，
∵点A在直线上，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号．∴的最小值为：8．
故选:C．
例59．（2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为，故，整理得到：，
故定点为：.
故选：A.
【方法技巧与总结】
合并参数
题型八：轨迹方程
例60．（2023·全国·高三专题练习）已知，，动点M与A，B两点连线的斜率分别为、，若，求动点M的轨迹方程
【解析】设，则，，又，
∴，
当，且时，恒成立；当时，；
综上，M的轨迹方程为(且)或().
例61．（2023·全国·高三专题练习）过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形，
化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程.
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.
例62．（2023·全国·高三专题练习）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.
【解析】设，则，，
即，解得
即
例63．（2023·全国·高三专题练习）直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
【解析】
【详解】
直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0,2－a)，
设AB的中点为M(x，y)，
则x＝，y＝1－，
消去a，得x＋y＝1．
∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1．
例64．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
答案：
【解析】由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
例65．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，且λ+μ＝1，
得，
∴，即，则C、A、B三点共线．
设C（x，y），则C在AB所在的直线上，
∵A（2，1），B（4，5），
∴AB所在直线方程为 ，整理得：．
故的轨迹方程为：．
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
题型九：中点公式
例66．（2023·全国·高三专题练习（理））过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．
答案：x＋4y－4＝0
【解析】
设l1与l的交点为A(a,8－2a)，求得关于的对称点坐标，利用对称点在直线上求得，即得点坐标，从而得直线方程．
【详解】
设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
故答案为：x＋4y－4＝0.
例67．（2023·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
【解析】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
例68．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
【解析】
则直线过定点
设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点
在中令，则，即
所以，
即，将其代入直线中可得
解之得
【方法技巧与总结】
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
答案：D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
答案：A
【解析】直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，因为，
则.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
答案：B
【解析】由题，，直线的倾斜角为，故
故选：B
4．（2023·上海市实验学校模拟预测）已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①；
②当时，有最小值，无最大值；
③；
④当且时，的取值范围是.
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】将代入有，
而与在的两侧，则，①错误；
由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，
所以，故无最值，②错误；
由上图知：在直线左上方，则，③正确；
由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，
而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
答案：B
【解析】易知，则，整理得，由解得，
则，则，即，又，则，
则，
当且仅当即时取等，故的最小值为.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】根据题意，直线不与轴垂直，则其斜率存在，设为， 则，
因此，直线，
令则有，则，
令则有，则.
因此，
当且仅当即时取等（舍去），
故面积最小值为4，此时，即.
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且且
答案：C
【解析】集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，
在方程中，令可得，
集合表示过定点且斜率存在的直线，
由得两直线斜率不同，则，解得．
故选：C.
8．（2023·河南·高三阶段练习（理））已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．5D．10
答案：C
【解析】由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点，
又，所以，即在以为直径的圆上，
，由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径，即，
所以面积的最大值为．
故选：C．
二、多选题
9．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）设直线系：，则下面四个命题正确的是（ ）
A．直线系中包含倾斜角为和的直线
B．点到直线系中的所有直线的距离恒为定值
C．直线系中能构成三角形的任意三条直线所围成的三角形面积都相等
D．存在点不在直线系中的任意一条直线上
答案：ABD
【解析】当时，直线系：，倾斜角为；当时，直线系：，倾斜角为，故A正确；
点到直线系中的所有直线的距离为，故B正确；
因为点到直线系中的所有直线的距离恒为定值1，
所以直线系中的所有直线均为圆的切线，
取其中4条直线分别为，，，
如图所示，直线所围成的与的面积不相等，故C错；
存在点不在直线系中的任意一条直线上，D正确．
故选：ABD
10．（2023·江苏·高三阶段练习）已知两点，，曲线C上存在点P满足，则曲线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】
由，知点一定在AB的垂直平分线上，
，
因为线段AB的中点坐标为，
所以的方程为.
则满足条件的曲线要与有交点.
与平行，故无交点，选项A错误；
是圆心为，半径的圆，圆心到直线的距离为，故直线与圆相交，故B正确；
把直线与双曲线进行联立，，得，，
所以与双曲线存在交点.故选项C正确；
将直线的方程代入，得，方程无实数解.
故抛物线与直线无交点.故选项D错误；
故选：BC.
11．（2023·重庆·模拟预测）已知直线的方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．当变化时，直线始终经过第二、第三象限
B．当变化时，直线恒过一个定点
C．当变化时，直线始终与抛物线相切
D．当在内变化时，直线可取遍第一象限内所有点
答案：AC
【解析】由题斜率时，轴截距，此时直线经过第一、第二、第三象限；
斜率时，轴截距，此时直线经过第二、第三、第四象限；故A正确；
当变化时，直线显然不恒过一个定点，故B错误；
联立方程，可得，所以，所以直线与抛物线只有一个交点，
又，所以当变化时，直线始终与抛物线相切，故C正确；
当时，，当且仅当时取等号，所以当在内变化时，直线不可以取遍第一象限内所有点，故D错误．
故选：AC.
12．（2023·江苏·扬州中学高三阶段练习）以下命题正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则其斜率为
B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．若点在线段（）上运动，则的最大值为
答案：BD
【解析】对于A：因为倾斜角的取值范围为，当，斜率不存在，故A错误；
对于B：由，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，即，则，，，四点共面，故B正确；
对于C：平行于轴或轴的直线不能用方程表示，故C错误；
对于D：因为点在线段上运动，所以，因为，所以，，所以，故的最大值为，故D正确；
故选：BD
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．
答案：3
【解析】当坐标轴截距为0时，设方程为，
将代入得：，所以方程为；
当坐标轴截距不为0时，设方程为，
则有，解得：，或，
从而方程为或
所以满足题设的直线l的条数为3条.
故答案为：3
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
答案：
【解析】设直线l的斜率为，因为直线l过，
所以直线方程为，
由，
由，由题意可知：是截得的线段的中点，
所以，即，
故答案为：
15．（2023·上海市延安中学高三阶段练习）直线：与直线：夹角的正切值为______．
答案：．
【解析】直线：的斜率为，直线：的斜率为，
设直线：与直线：的夹角为，则，
故答案为：．
16．（2023·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________.
答案：
【解析】因为，所以，
而直线：即过定点，
：即过定点，
所以与的交点在以为直径的圆上，
圆方程为，即，
所以到的距离的最大值为．
故答案为：．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【解析】由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围.
【解析】
故直线过定点
如下图所示：
，
若直线与线段恒有公共点，则或
即
19．（2023·全国·高三专题练习（文））已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【解析】(1)设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
(2)设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
20．（2023·全国·高三专题练习）根据所给条件求直线的方程：
（1）过点P(－2，4)且斜率k＝3；
（2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
【解析】（1）由题设知，直线l的方程为y－4＝3(x＋2)，即3x－y＋10＝0.
（2）由题设知：横、纵截距均不为0，故可设直线方程为.
∵直线过点(－3，4)，
∴，解得a＝－4或9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与直线的交点为.
（1）若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线过点且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，的面积为，求直线的方程．
【解析】（1）由 得 即交点．
由直线过点，且点和点到直线的距离相等，
可知或过的中点．
当由得，
所以直线的方程为即.
当直线过的中点时，直线的方程为.
综上所述：直线的方程为或．
(2)由题可知直线的横、纵截距，都存在，且，，
则.又直线过点，的面积为，
所以，解得，
故直线的方程为，即.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，求的最大值.
【解析】将变形，得，
显见是直线（，）过定点.
如图.
设
显然有：，，
，，其中.
∴
故
，
当且仅当，即时，取得最大值.
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用