新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题40圆锥曲线中参数范围与最值问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题40圆锥曲线中参数范围与最值问题(原卷版+解析)，共63页。

1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
【题型归纳目录】
题型一：弦长最值问题
题型二：三角形面积最值问题
题型三：四边形面积最值问题
题型四：弦长的取值范围问题
题型五：三角形面积的取值范围问题
题型六：四边形面积的取值范围问题
题型七：向量数量积的取值范围问题
题型八：参数的取值范围
【典例例题】
题型一：弦长最值问题
例1．已知圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，．
（1）求圆半径的取值范围；
（2）是否存在圆，满足恒成立？若存在，求出圆的方程及的最大值；若不存在，说明理由．
例2．平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2），是抛物线上两点，且，处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于，两点，求弦的最大值．
例3．设椭圆经过点，且其左焦点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，，交椭圆于，，求的最小值．
变式1．已知点在椭圆上，且点到的两焦点的距离之和为．
（1）求的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交于点，，求的最小值．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，点在椭圆上．当线段的中垂线经过时，恰有．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点，且，是以为直径的圆上任意一点，为坐标原点，求的最大值．
题型二：三角形面积最值问题
例4．已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点．以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
例5．已知椭圆经过点，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同两点，，点是线段的中点，点为坐标原点，设射线交椭圆于点，且．
①证明：；
②求的面积的解析式，并计算的最大值．
例6．已知椭圆的短轴顶点分别为，，且短轴长为2，为椭圆上异于，的任意一点，直线，的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，圆的切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．
变式3．已知椭圆的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，求为原点）面积的最大值．
变式4．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，求的面积最大时的方程．
变式5．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．
变式6．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：
①椭圆过点；
②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆上（只能从①②中选择一个作为已知）
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于，两点，点关于轴的对称点为，且，，三点构成一个三角形，求证直线过定点，并求△面积的最大值．
变式7．已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点．
（1）若直线的倾斜角为，试求的中点坐标；
（2）求面积的最大值及此时直线的方程．
题型三：四边形面积最值问题
例7．在直角坐标系中，已知点，，动点满足：．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若分别过点、，作两条平行直线，，设，与轨迹的上半部分分别交于、两点，求四边形面积的最大值．
例8．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若，则．
（1）求抛物线的方程；
（2）分别过点，作抛物线的切线、，若，分别交轴于点，，求四边形面积的最小值．
例9．在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．
变式8．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．
变式9．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的一点，为△的内切圆圆心，，且△的周长为6．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点，若，求四边形面积的最大值．
题型四：弦长的取值范围问题
例10．设，分别是椭圆的左、右焦点，已知椭圆的长轴为，是椭圆上一动点，的最大值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足
，其中，求的取值范围．
例11．已知椭圆过点，且焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点，两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．
例12．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
求椭圆的方程．
（Ⅱ）直线是圆的任意一条切线，与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恒过原点，求圆的方程，并求出的取值范围．
变式10．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．
变式11．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．
变式12．已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于不同两点，，且满足为坐标原点），求线段长度的取值范围．
变式13．已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点，直线与椭圆交于，两点在的右侧且不同于点）
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；
（Ⅲ）求的取值范围．
题型五：三角形面积的取值范围问题
例13．设椭圆的离心率，左顶点到直线的距离．
（1）求的方程；
（2）设直线与相交于，两点，与轴，轴分别交于、两点，为坐标原点，若直线，的斜率之积为，求面积的取值范围．
例14．已知椭圆左，右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，过的直线与椭圆交于，两点．
（1）当轴时，求的最大值；
（2）点在线段上，且，点关于原点对称的点为点，求面积的取值范围．
例15．已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围．
题型六：四边形面积的取值范围问题
例16．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求由，，，四点构成的四边形的面积的取值范围．
例17．已知椭圆的左焦点为，其四个顶点围成的四边形面积为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，、两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围．
例18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
变式14．已知椭圆的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线的交点所在的直线经过．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于，两点，与抛物线无公共点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方，求四边形的面积的取值范围．
题型七：向量数量积的取值范围问题
例19．已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围．
例20．已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围．
题型八：参数的取值范围
例21．已知曲线表示焦点在轴上的椭圆．
（1）求的取值范围；
（2）设，过点的直线交椭圆于不同的两点，在，之间），且满足，求的取值范围．
例22．设椭圆的左顶点为，右顶点为．已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线的斜率大于，求直线的斜率的取值范围．
例23．已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足为坐标原点），求实数的取值范围．
变式15．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，且满足为坐标原点），试求实数的取值范围．
专题40 圆锥曲线中参数范围与最值问题
【方法技巧与总结】
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
【题型归纳目录】
题型一：弦长最值问题
题型二：三角形面积最值问题
题型三：四边形面积最值问题
题型四：弦长的取值范围问题
题型五：三角形面积的取值范围问题
题型六：四边形面积的取值范围问题
题型七：向量数量积的取值范围问题
题型八：参数的取值范围
【典例例题】
题型一：弦长最值问题
例1．已知圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，．
（1）求圆半径的取值范围；
（2）是否存在圆，满足恒成立？若存在，求出圆的方程及的最大值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）要使圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，
则圆必在椭圆的内部，．
（2）设圆的切线方程，由，得．
设，，，，，．
．
，，①
与圆相切，②
由①②得，此时圆的方程为：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为
，或，满足条件
圆的方程为：
，
当直线的斜率不存在或为0时，．
，，
的最大值．
例2．平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2），是抛物线上两点，且，处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于，两点，求弦的最大值．
【解析】解：（1）椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条相互垂直的弦，
当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，
，解得，，
椭圆方程为．
（2）设直线为：，，，，，，，，，
由，得，
则，，
由，得，
故切线，的斜率分别为，，
再由，得，
，
解得，这说明直线过抛物线的焦点，
由，得，
．
当且仅当时取等号，
弦的最大值为3．
例3．设椭圆经过点，且其左焦点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，，交椭圆于，，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）椭圆经过点，且其左焦点坐标为，
，，，
椭圆的方程为：．（4分）
（Ⅱ）①当直线，中有一条直线的斜率不存在时，．（5分）
②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，设，，，，
由，得，
，，
，
设直线的方程为，同理得：，
所以，（9分）
设，则，所以时，有最小值．
综上，的最小值是．（12分）
变式1．已知点在椭圆上，且点到的两焦点的距离之和为．
（1）求的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交于点，，求的最小值．
【解析】解：（1）由题意可得，且，
解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，可设切线方程为，
代入椭圆，可得，，，，
则，且；
当直线的斜率存在时，设切线的方程为，
由切线与圆相切，可得，
化为，
由与椭圆方程联立，
可得，
设，，，，则，，
，代入，可得，
即，由，
所以，
而
，
当时，上式取得等号．
所以的最小值为．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，点在椭圆上．当线段的中垂线经过时，恰有．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点，且，是以为直径的圆上任意一点，为坐标原点，求的最大值．
【解析】解：（1）由焦距为2知，连结，
线段的中垂线经过时，，
．．，
，，，
由所以椭圆方程为；
（2）①当的斜率不存在时，恰为短轴，此时；
②当的斜率存在时，设．联立，得到，
△，，．
，化简得．
又设是弦的中点，，，
，令，
则，（仅当时取等），
又（仅当时取等号）．
综上，．
题型二：三角形面积最值问题
例4．已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点．以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
【解析】解：（1）由题意可知，，，所以，，
所以，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）方法一：设点，，，，
由，消去，整理得：，
则△，所以，所以，
所以，，
所以，
到直线的距离为，
所以，
设，则，
所以，
令，，
则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当，即时，取得最大值，即取得最大值，
所以最大值为，
所以面积的最大值．
方法二：同方法一，，
由，
当且仅当，即时，取等号，
所以，
所以面积的最大值．
例5．已知椭圆经过点，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同两点，，点是线段的中点，点为坐标原点，设射线交椭圆于点，且．
①证明：；
②求的面积的解析式，并计算的最大值．
【解析】（1）解：椭圆经过点，两点，
，
解得，，
椭圆方程为．
（2）①证明：令，，，，
由，消去，得，
，即，
，
又由中点坐标公式，得，
根据，得，，
将其代入椭圆方程，有，
化简得：．
②解：由①得，，
，
在中，，
，，
令，，
则（当且仅当时，即时取“”
当时，取得最大值，其最大值为1．
例6．已知椭圆的短轴顶点分别为，，且短轴长为2，为椭圆上异于，的任意一点，直线，的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，圆的切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．
【解析】解：（1）由题意可知，，，，
设，，满足，
由，则，
所以椭圆的方程：；
（2）设直线的方程：，，，，，
由到直线的距离，即，
联立方程组，消去，整理得，
则△，
，，
则，
由，当且仅当，即，时取等号，
所以，
所以面积，
所以面积的最大值．
变式3．已知椭圆的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，求为原点）面积的最大值．
【解析】解：（1）由，①
由椭圆经过点，得，②，
联立①②，解得，，
椭圆的方程是．
（2）由题意可知直线一定存在斜率，设其方程为，
联立，消去，得，
则△，得，
设，，，，则，，
，
，
设，
则，
当且仅当，即时等号成立，
此时，符合题意，此时面积取得最大值．
变式4．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，求的面积最大时的方程．
【解析】解：（1）由题意可得，又，
点在椭圆上，可得，
解方程可得，，
即有椭圆的方程为；
（2）设过点的直线的方程为，
代入椭圆方程，可得，
判别式为，即有，
设，，，，则，，
，
由到直线的距离，
则的面积为，
令，，即有，
由的导数为，
当时，递增，时，递减，
当且仅当，即，面积取得最大值，
即有的面积最大时的方程为．
变式5．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．
【解析】解：（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为，，左焦点为，
则△是正三角形，所以，
则椭圆方程为，
将，代入椭圆方程，可得，解得，，
故椭圆的方程为：；
（2）由题意，设直线的方程为，联立，整理可得：，
设，，，，则，，
因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以
由，，，，则，
将，代入上式并整理得，
则，
化简可得，解得：，或，
因为直线不过点，
所以，故所以直线恒过点，．
故
设，
则在，上单调递增，
当时，，
所以的面积的最大值为．
变式6．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：
①椭圆过点；
②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆上（只能从①②中选择一个作为已知）
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于，两点，点关于轴的对称点为，且，，三点构成一个三角形，求证直线过定点，并求△面积的最大值．
【解析】解：（1）选①：由题意知，．
所以椭圆的方程为．选②：设圆与圆相交于点．
由题意知：．
又因为点在椭圆上，所以，．
又因为，，．所以椭圆的方程为．
（2）由题易知直线斜率存在且不为0，
因为，故设直线的方程为，
设，，，，，
，，，
因为点关于轴的对称点为，所以，，
所以直线的方程为，
令，．又，
．
所以直线过定点，
．
当且仅当，即时，取等号．
所以△面积的最大值为．
变式7．已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点．
（1）若直线的倾斜角为，试求的中点坐标；
（2）求面积的最大值及此时直线的方程．
【解析】解：（1）椭圆的左焦点，，
过且倾斜角为的直线为，设，，，，
联立方程组：，消去得：，
则，所以，
则的中点坐标为，；
（2）当直线垂直轴时，直线的方程为，
代入椭圆方程可得，此时，则；
当直线不垂直轴时，设直线方程为，
联立，得，
，，
，
令，则，则，
综上：面积的最大值为，此时直线的方程为．
题型三：四边形面积最值问题
例7．在直角坐标系中，已知点，，动点满足：．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若分别过点、，作两条平行直线，，设，与轨迹的上半部分分别交于、两点，求四边形面积的最大值．
【解析】解：（1）设点，由点，．动点满足：．
．
由椭圆定义可知点的轨迹是以点，为焦点，长轴长为4的椭圆，
其方程为：．
（2）设直线，它与轨迹的另一个交点为．
由椭圆的对称性知：
，
与联立，消去，得，
△，，
又到的距离为，
，令，
则，
在，上单调递增
当即时，取得最大值3，
所以四边形面积的最大值为3．
例8．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若，则．
（1）求抛物线的方程；
（2）分别过点，作抛物线的切线、，若，分别交轴于点，，求四边形面积的最小值．
【解析】解：（1）抛物线的焦点为，
设，，，，则方程与抛物线方程联立，
整理得，，，
若，，
，即抛物线的方程为．
（2）（方法一）
由（1）知且，，，，
所以切线的方程为即，①
同理切线的方程为，②
联立①②得，，
即切线与的交点为，
由切线，得，同理可得，
，
又，
点到直线的距离为，
，（10分）
四边形的面积，
令，则，时，成立，单调递增，
当，即时，四边形的面积的最小值为．
（方法二）由（1）知且，，，，
所以切线的方程为即，
同理切线的方程为，
由切线，得，同理可得，
记直线与轴交点，
，，同理，
四边形的面积，
记，则，
，单调递增，
当即时，四边形面积的最小值为．
例9．在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．
【解析】解：（1）由题意可知，抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点为，所以椭圆的半焦距，
又椭圆有一点满足，
所以椭圆的离心率，所以，，
则求得椭圆的方程是．
（2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；
当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点，
直线轴，，四边形的面积；
当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，，
联立直线与椭圆，消去可得，
则，．
则弦长
，
设，，，，联立直线与抛物线，
消去可得，则，
由抛物线的定义，弦长，
由于，则四边形的面积，
令，则，
即，令，则，
可知时，，则单调递增，则（3），
综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8．
变式8．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．
【解析】解：（1）由已知可得，
则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时的长即为椭圆长轴长，，
从而．
设直线的斜率为，则，直线的方程为：，
直线的方程为，
设，，，，，，，，
由，消去可得，
由抛物线定义可知：，
由，消去得，
从而，
，
令，
，则，
则，
所以，
所以四边形面积的最小值为8．
变式9．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的一点，为△的内切圆圆心，，且△的周长为6．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点，若，求四边形面积的最大值．
【解析】解：（1）因为，
所以，即①，
又因为△的周长为6，
所以，即②，
由①②可得，，则，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，，，
则由，联立消可得，，
，
因为，
所以，
所以，
令，
所以，
所以，
又因为在区间，上单调递增，
所以，
所以．
所以四边形的面积最大值为．
题型四：弦长的取值范围问题
例10．设，分别是椭圆的左、右焦点，已知椭圆的长轴为，是椭圆上一动点，的最大值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足
，其中，求的取值范围．
【解析】解：（1）由题意可得，即，设，，，
可得，，，
可看作与椭圆上的点的距离的平方，
当位于椭圆的长轴的端点处，取得最大值，即有，即，
可得椭圆的方程为；
（2）设过点的直线的方程为，
联立椭圆方程，可得，
则△，即，
设，，，，，
则，，
，
由，即，，，
可得，，
将代入椭圆方程可得，
解得，由，，解得，，结合△则，
则
，
设，，即，
，由在递增，可得，，
，，，，
，，可得，．
例11．已知椭圆过点，且焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点，两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．
【解析】解：（1）依题意椭圆过点，且焦距为2．
有，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意可知该直线存在斜率，设其直线方程为，
由，消去得，
所以△，即，
设，，，，，
则．
由，得，
代入椭圆的方程，
得，
由，得，
，
令，则，
所以．
例12．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
求椭圆的方程．
（Ⅱ）直线是圆的任意一条切线，与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恒过原点，求圆的方程，并求出的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）椭圆方程，，
，
，
，
设直线与椭圆交于，两点．不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点，
又弦长为，
，
，
又，
解得，，椭圆方程为．
（Ⅱ）当切线的斜率不存在时，设（或，代入椭圆方程得：
，，
以为直径的圆恒过原点，
，
，
，
圆的方程为，
此时（同理当时，上述结论仍然成立），
当切线的斜率存在时，设方程为：，
与圆相切
，即，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：，①
△，②
设，，，，则，是方程①的两个解，由韦达定理得：
，，，
以为直径的圆恒过原点，
，
，
，
，，
又，
，
，
此时，代入②式后成立，
圆的方程为，
此时，
，
，
，
，
，
；
若，则，
若，则，，
综上，圆的方程为，的取值范围是，．
变式10．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，
由题意可得①
由与关于轴对称，可得与的公共点为，，
可得②
由①②解得，，
即有椭圆的方程为；
（Ⅱ）设，，代入椭圆方程，可得，
设，，，，则，，
即有，
由为中点，可得，，又的斜率为，
即有，令，可得，
即有，，
可得，
又
，
即有，
由，可得，
即有，
则有的取值范围为．
变式11．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．
【解析】解：（1）由题意知，，，
所以，，分
因为点在椭圆上，
即，
解得．
所以椭圆的方程为．分
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知；分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，，，
且设直线的方程为，
则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程中，
并整理得，
所以，，
所以．分
同理，．
所以，分
令，则，，，
设，
因为，所以，
所以，
所以．
综合①与②可知，的取值范围是．分．
变式12．已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于不同两点，，且满足为坐标原点），求线段长度的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）设动点，，，
轴于点，，，
设圆的方程为，由题意得，
圆的方程为．
由题意，，得，
，即，
将代入，得动点的轨迹方程为；
（Ⅱ）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，
联立，可得．
△．
，
，，则，
化简可得，．
将代入可得．
又．
将代入，可得
．
当且仅当，即时等号成立．
又由，．
．
（2）若直线的斜率不存在，则所在直线方程为，
联立，解得，
同理求得，
求得．
综上，得．
变式13．已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点，直线与椭圆交于，两点在的右侧且不同于点）
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；
（Ⅲ）求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）设，，，，
因为，所以直线的方程为，即，
联立直线 与椭圆的方程：，整理可得，解得或（舍，所以，而在直线上，所以，
所以直线的方程为，
联立直线 与椭圆的方程，整理可得，解得或（舍，即，
所以直线的斜率为；
（Ⅲ）因为，
直线与椭圆联立整理可得：，△，即，
且，，①
将其代入可得：，
所以，
所以，
因为直线与椭圆有两个异于的交点，所以，即或，
当时，，由①可得，即，②
设，则代入②可得，
所以，解得，
当时，，
记，则，
代入②可得，
所以，解得，
综上所述．
题型五：三角形面积的取值范围问题
例13．设椭圆的离心率，左顶点到直线的距离．
（1）求的方程；
（2）设直线与相交于，两点，与轴，轴分别交于、两点，为坐标原点，若直线，的斜率之积为，求面积的取值范围．
【解析】解：（1）左顶点到直线的距离．．化为：．
又，，联立解得，．
椭圆的方程为：．
（2）设，，，．由题意．
联立，化为：，
△，化为：．
，．
直线，的斜率之积为，
，
，即，
化为：，
，
化为：．
，解得：．
由，时，可得，，．
，当且仅当时取等号．
面积的取值范围是．
例14．已知椭圆左，右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，过的直线与椭圆交于，两点．
（1）当轴时，求的最大值；
（2）点在线段上，且，点关于原点对称的点为点，求面积的取值范围．
【解析】解：（1）由椭圆的方程可得：，，
所以，所以，
当轴时，则可得，，
所以，
因为，
当且仅当在左顶点时，等号成立，
所以有最大值；
（2）由题意可得，设直线的方程为：，设，，，，
则，，
联立，整理可得：，
可得：，，
因为，所以可得，
所以
，
令，所以在，单调递增，所以，当且仅当时取等号，
则．
所以面积的取值范围，．
例15．已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以为半焦距），
因为直线与圆相切，所以，
又因为，所以，，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）因为为线段的中点，所以，
当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性，
不妨设所在直线方程为，得，
则，，所以，
当直线的斜率存在时，设直线，，，，，
由消去，得，
所以△，即，
所以，，
因为点在以为直径的圆上，所以，即，
所以，
所以，
化简得，经检验满足△成立，
所以线段的中点，，
当时，，此时，
当时，射线所在直线方程为，
由，消去，得，，
所以，
所以，
所以，．
综上，的取值范围为，．
题型六：四边形面积的取值范围问题
例16．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求由，，，四点构成的四边形的面积的取值范围．
【解析】解：（1）由题意知，，则，，
，
所以．所以椭圆的方程为．
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知；
②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，，，
且设直线的方程为，
则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，
所以，
同理．
所以
，
由，当且仅当时取等号．
，，
综合①与②可知，，．
例17．已知椭圆的左焦点为，其四个顶点围成的四边形面积为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，、两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意得，所以，又因为，解得，，
所以的方程为；
（Ⅱ）①当直线的斜率为0时，点与重合，不满足，故斜率不为0；
②当直线斜率不为0时，设，代入得，
整理得，
设，，，则，，
所以，
，
所以，，
因为，所以，，
又因为在曲线上，代入得，
整理得，
因为点到直线的距离，
设四边形面积为，的面积为，
则，
所以，
将代入得，
因为，所以当时取最小值为4，所以
故四边形的取值范围为，．
例18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
【解析】解：（1）已知，的最小值为，
又，
解得，，所以椭圆方程为．
（2）当与轴不垂直时，设的方程为，，，，．
由得．则．
所以．
过点且与垂直的直线，到的距离为，
所以．
故四边形的面积．
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为．
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12．
综上，四边形面积的取值范围为．
变式14．已知椭圆的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线的交点所在的直线经过．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于，两点，与抛物线无公共点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方，求四边形的面积的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）依题意得，则，；
椭圆与抛物线的交点与轴垂直，则椭圆与抛物线的一个交点为，
于是，从而．
又，解得
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线，
由，消去整理得，由△得．
由，消去整理得，
设，，，，则，，
所以，
与间的距离（即点到的距离），
由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，
故，
令，则，
所以四边形的面积的取值范围为．
题型七：向量数量积的取值范围问题
例19．已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围．
【解析】解：（1）椭圆经过点，一个焦点的坐标为．
，解得，，，（3分）
椭圆的方程为．（4分）
（2）设，，，，
（5分）
△，即（6分）
，，（7分）
，（8分）
，
，
，即，故，
解得（9分）
，（11分）
．（12分）
例20．已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围．
【解析】解：（1）椭圆经过点，一个焦点的坐标为．
，解得，，，
椭圆的方程为．
（2）设，，，，
由，消去，得
△，即（6分）
，，
，
，
，
，故，
解得，
，
故的取值范围为，．
题型八：参数的取值范围
例21．已知曲线表示焦点在轴上的椭圆．
（1）求的取值范围；
（2）设，过点的直线交椭圆于不同的两点，在，之间），且满足，求的取值范围．
【解析】解：（1）曲线表示焦点在轴上的椭圆，
则，即，
的取值范围是；
（2）当时，曲线方程为．
①当直线斜率不存在时，其方程为，此时，，
，，
，；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
则，，，，
由，得，整理得，
联立，得，即，
△，解得，
且，，代入，
得，
，，解得，
又在、之间，，
综上，，．
例22．设椭圆的左顶点为，右顶点为．已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线的斜率大于，求直线的斜率的取值范围．
【解析】解：（1）以线段为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，
圆被直线所截得的弦长为，解得，
又椭圆的离心率为，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，其中，，则，，
所以直线的斜率，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，，所以，
所以，
又因为，
所以，
令，，则，
所以，
因为，所以，，
所以，，即，．
例23．已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足为坐标原点），求实数的取值范围．
【解析】解：（1）依题意：椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点．所以，，则，所以，
所以椭圆方程为．
（2）由题意直线斜率不为0，设直线，
得．由△得，
设，，，，
由韦达定理，
因为，所以
因为点在椭圆上得，
直线与圆没有公共点，则，所以，
，令，，可知在上，是减函数，，，
即：，，
．
变式15．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，且满足为坐标原点），试求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，
过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，
，
又，
解得，
椭圆方程为．
（Ⅱ）设，，，，，
设，
联立得，
△，
解得，
，
，
，
，
由点在椭圆上得，
整理可得，
即，
，，
据此可得实数的取值范围是．