新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题41定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题(原卷版+解析)

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题型一：定比点差法
题型二：齐次化
题型三：极点极线问题
题型四：蝴蝶问题
【典例例题】
题型一：定比点差法
例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求
例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．
例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．
题型二：齐次化
例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．
例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．
例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．
题型三：极点极线问题
例7．已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
例8．若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
例9．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
变式1．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
变式2．已知椭圆：的左焦点为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
变式3．设椭圆过点，且左焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上．
题型四：蝴蝶问题
例10．在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程；
(2)若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)
例11．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
例12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
变式4．如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．
变式5．已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.
变式6．椭圆（）的左、右焦点分别为，在椭圆上，的周长为，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于，连接，并延长交椭圆于，连接，探索与的斜率之比是否为定值并说明理由.
专题41 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题
【题型归纳目录】
题型一：定比点差法
题型二：齐次化
题型三：极点极线问题
题型四：蝴蝶问题
【典例例题】
题型一：定比点差法
例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求
【解析】由，可设椭圆为（），
设，，，由，
所以，．
又
由（1）-（3）得，
又．
又．
例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．
【解析】设，，，由，
所以．
由
由（1）-（3）得：
，又，
又，从而．
例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．
【解析】设，，，，由，得
①满足
满足
②由
③由（1）-（3）得：
，又
，同理可得
．
题型二：齐次化
例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．
【解析】直线
由，得
则由，得：，
整理得：，即：．
所以，
则，即：．
例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则．
由，
得：．
则，
故．
所以.
即.
例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．
【解析】设直线．．．．．．（1）
由，得
即：．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
则，
则，代入直线，得：
显然，直线过定点．
题型三：极点极线问题
例7．已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
【解析】（1）因为点，都在椭圆上，
所以，．
所以．
所以椭圆的离心率．
（2）由（1）知椭圆的方程为，．
由题意知：直线的方程为．
设（，），，．
因为三点共线，所以有，，
所以．
所以．
所以．
因为三点共线，
所以，即．
所以．
所以直线的方程为，
即．
又因为点在椭圆上，所以．
所以直线的方程为．
所以直线过定点．
例8．若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为；
由题意知，所以，．
所以椭圆的标准万程为．
（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：
，不满足，
故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为，
由，得：，
因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，
所以，
整理得：，
设、，则
，，，．
因为，
所以，
整理得：，
，
将，代入整理得：
要使上式恒成立，只需，此时满足，
因此，直线l恒过定点．
例9．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知，点在椭圆E上.
因此，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则，即.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.
则，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，
则Q点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线，均有.
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
A、B的坐标分别为.
联立得.
其判别式，
所以，.
因此.
易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.
又，
所以，即三点共线.
所以.
故存在与P不同的定点，使得恒成立.
变式1．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：，，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
变式2．已知椭圆：的左焦点为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
【解析】(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为,
由椭圆的定义知:，代入计算得．
又,所以椭圆的标准方程为．
(2)设，
则直线，与联立，解得
同理
所以直线的斜率为=
所以直线
所以直线恒过定点，且定点坐标为
变式3．设椭圆过点，且左焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，
所以，
设椭圆方程为，
又因为椭圆过点，
所以，
解得
所以椭圆方程为：；
（2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程，
得：．
由，
得，
即，
则，
点轨迹的参数方程是，
则，
所以点在定直线上
题型四：蝴蝶问题
例10．在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程；
(2)若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)
【解析】（1）∵在线段的垂直平分线上，∴
∴
由椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆
，∴
曲线的方程为：。
（2）点的坐标为
直线方程为：，即，
直线方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：.
当时，直线方程为：
令，解得：。此时必过点；
当时，直线方程为：，与轴交点为。
所以直线必过轴上的一定点。
例11．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
【解析】（1）因为，椭圆离心率为，
所以，解得，.
所以椭圆的方程是.
（2）①若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.
所以点的坐标是，点的坐标是.
所以直线的方程是，
直线的方程是.
所以直线，的交点的坐标是.
所以点在直线上.
②若直线的斜率存在时，如图.
设斜率为.所以直线的方程为.
联立方程组
消去，整理得.
显然.不妨设，，
所以，.
所以直线的方程是.
令，得.
直线的方程是.
令，得.
所以
分子
.
.
所以点在直线上.
例12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
【解析】(1)因为椭圆的离心率为，所以a＝2c.
又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
又因为点P为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c＝1.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程组
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.
即＝.①
又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
所以＝(4－)，＝(4－)．②
将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝.
变式4．如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．
【解析】（1）由题意可知：,，又，
有，故椭圆的方程为：．
（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值.
设（），
联立直线方程和椭圆方程得，消去得，
,，且有，
又，，
由得，
故，整理得到
，故
．
故点的纵坐标为3．
变式5．已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.
【解析】（Ⅰ）由题意，，
即①又②
联立①①解得
所以，椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设，，，由，
得，
所以，即，
又因为，所以，，
，，
解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.
∴
∴，∴.
解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.
直线与的方程分别为：
，，
分别令，得，
而，同解法一，可得
，即垂直平分.
所以，.
变式6．椭圆（）的左、右焦点分别为，在椭圆上，的周长为，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于，连接，并延长交椭圆于，连接，探索与的斜率之比是否为定值并说明理由.
【解析】，
，
得，
所以椭圆C的方程为：．
设，则
直线AD：，
代入C：得，
因为，代入化简得，
设，则，
所以，，
直线，
同理可得，．
所以
，
所以：．