新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题49两点分布、二项分布与超几何分布(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题49两点分布、二项分布与超几何分布(原卷版+解析)，共72页。

知识点一．两点分布
1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
（2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
知识点二．次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点三．二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点四．超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
【方法技巧与总结】
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
【题型归纳目录】
题型一：两点分布
题型二：次独立重复试验
题型三：二项分布
题型四：超几何分布
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
【典例例题】
题型一：两点分布
例1．（2023·全国·高三专题练习）.若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.
(1)若，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为.
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；
（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
例3．（2023·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
（参考数据：，）
变式1．（2023·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．
A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．
(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．
变式2．（2023·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？
变式3．（2023·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．
题型二：次独立重复试验
例4．（2023·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936
变式4．（2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.
(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：
(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下个球，则求的分布列与数学期望.
变式5．（2023·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为.
(1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.
变式6．（2023·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成两组，组3人，服用甲种中药，组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为.
(1)设事件表示组中恰好有1人康复，事件表示组中恰好有1人康复，求；
(2)求组康复人数比组康复人数多的概率.
变式7．（2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，甲得6分的概率；
(2)设比赛结束，乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
【方法技巧与总结】
（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．
（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好和的值，再准确利用公式求概率．
（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．
题型三：二项分布
例7．（2023·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( )
A．2B．3C．4D．5
变式9．（2023·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立．设为该工厂生产的件商品中合格的数量，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
变式11．（2023·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的（）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.
（1）当取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补种的坑的个数，求的分布列.
变式12．（2023·江苏常州·高三阶段练习）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．
(1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；
(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用表示，问：的数学期望能否超过3？
变式13．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
变式14．（2023·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.
【方法技巧与总结】
1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数，；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将值代入求解概率．
题型四：超几何分布
例10．（2023·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2B．1C．3D．4
例12．（2023·北京·高三专题练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（）班（）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测.经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
变式15．（2023·上海·高三开学考试）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数.
(1)若，求X的分布列与数学期望；
(2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少?
变式18．（2023·山西大附中高三阶段练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）中国科研团队在研发“新冠疫苗”的过程中，为了测试疫苗的效果，科研人员以小白鼠为实验对象，进行了一些实验．
(1)实验一：选取10只健康小白鼠，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中．实验结果发现，除2号、3号和7号小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．现从这10只小白鼠中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的小白鼠只数记作X，求X的分布列和数学期望．
(2)科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对小白鼠是否有效互相不影响，相互独立．若将实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率当做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
【方法技巧与总结】
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
例13．（2023·江苏南通·高三开学考试）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.
(1)若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；
(2)当为何值时，概率最大？并说明理由.
例14．（2023·全国·高三专题练习）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
变式22．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．
(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以表示这2人中使用AI作业的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）
变式23．（2023·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元（含300元） 可抽奖一次， 抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案一: 从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个， 黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.
方案二: 从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中， 不放回地摸出3个球，中多规则为:若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折;其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望;
(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理?
【方法技巧与总结】
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( )
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·浙江邵外高三阶段练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·广东广州·一模）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
6．（2023·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））将10个不同的数字分成4组，第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，第4组4个数，记是第i组中最大的数，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为，则为（ ）
A．B．2C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
10．（2023·全国·高三专题练习）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布
C．D．
12．（2023·湖北·高三阶段练习）一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）如果随机变量服从二项分布，服从二项分布，那么当变化时，关于成立的的个数为______．
14．（2023·全国·高三专题练习）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是______.
15．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时，______．
16．（2023·全国·高三专题练习）把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．
17．（2023·全国·高三专题练习）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
四、解答题
18．（2023·陕西·模拟预测（理））疫情过后，某商场为了应对销售窘境，清明节前后特对1000台笔记本电脑推出促销活动，其中高配400台，低配600台.
(1)若高配笔记本4月1日到4月6日的销量分别为：9､m､12､10､n､10（单位：台），把这些数据看作一个总体，其均值为10，方差为3，求的值；
(2)现欲从这批笔记本电脑中分层抽取一个容量为25的样本，将此部分样本看成一个总体，再从中任取3台笔记本电脑，求至少有1台为高配的概率（用最简分数表示）.
19．（2023·北京东城·二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示．
(1)从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
(2)从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：
(3)由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
20．（2023·北京市第二十二中学高三开学考试）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚､王亚平､叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空”知识竞赛，竞赛分为理论､操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为100分､200分､300分.现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表：
例如，表中理论成绩为200分且操作成绩为100分的学生有2人.
(1)若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为300分的学生概率为.求的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人操作的成绩为300分的概率；
(3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值.（直接写出答案）
21．（2023·福建·福州市第十中学高三开学考试）盒中装有6个零件，其中2个是使用过的，另外4个未经使用，
(1)从盒中随机一次抽取3个零件，求抽取到的3个零件中恰有1个是使用过的概率；
(2)从盒中每次随机抽取1个零件，观察后都将零件放回盒中，记3次抽取中抽到使用过的零件的次数为，求的分布列和数学期望.
22．（2023·全国·高三专题练习）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．
方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；
方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：
(1)求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；
(2)若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？
23．（2023·山西·高三阶段练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．
0
1
…
…
…
…
0
1
…
…
工种类别
A
B
C
赔付频率
用时/秒
[5，10]
(10，15]
(15，20]
(20，25]
男性人数
15
22
14
9
女性人数
5
11
17
7
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
理论
操作
100分
200分
300分
100分
0
2
1
200分
3
b
1
300分
2
3
a
获得代金券金额（万元）
0
“顾客胜利”次数
0
1
2
3
时间（小时/周）
0
人数
20
40
30
10
专题49 两点分布、二项分布与超几何分布
【考点预测】
知识点一．两点分布
1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
（2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
知识点二．次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点三．二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点四．超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
【方法技巧与总结】
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
【题型归纳目录】
题型一：两点分布
题型二：次独立重复试验
题型三：二项分布
题型四：超几何分布
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
【典例例题】
题型一：两点分布
例1．（2023·全国·高三专题练习）.若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是
A．
B．
C．
D．
答案：C
【解析】由离散型随机变量的概率关系可知：.则.
例2．（2023·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.
(1)若，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为.
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；
（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
【解析】（1）①根据题意可得：；
②根据题意可得：；
（2）（i）根据题意：X的取值为1，，
，，
所以；
（ii）当时，方案一：检验的次数为5次，
方案二：检查的次数期望为，
，
记，
因为，所以单调递增，
当时，，
所以当时，，则，
当时，，则，
故当时，选择方案二；
当时，选择方案一；
当时，选择两种方案检查次数一样.
例3．（2023·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
（参考数据：，）
【解析】（1）设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，
∴，，
∴的分布列为：
．
设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9，
，，
∴的分布列为：
∴．
（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，
方案一的化验总次数的期望值为：次．
根据方案二，该社区化验分组数为250，
方案二的化验总次数的期望为次．
∵，∴方案一工作量更少．故选择方案一．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．
A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．
(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．
【解析】(1)设工种为职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，则随机变量的分布列如下：
，
，
，
由题意
，
化简得．
所以每张保单的保费需要满足；
(2)若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
由，得，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．
变式2．（2023·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？
【解析】(1)设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件，
则，
，；
(2)设每篇文章的评审费用为元，则的可能取值为，，
则，；
.
令，，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
的最大值为，每篇论文平均评审费用的最大值是元.
变式3．（2023·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．
【解析】（1）由题，的可能取值为 和
，故的分布列为
由记，因为，
所以 在上单调递增 ，
故越小，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
记
当且取最小值时，该方案最合理，
因为，，
所以时平均检验次数最少，约为次．
题型二：次独立重复试验
例4．（2023·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，解得，则四名大学生至少有两名创业成功的概率
故选：B．
例5．（2023·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】该同学随机掷一枚骰子，得到1点或5点的概率为，则该同学掷一枚骰子4次，得到1点或5点的次数超过2次的概率.
故选：A.
例6．（2023·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936
答案：D
【解析】该同学通过测试的概率为，
故选：D
变式4．（2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.
(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：
(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下个球，则求的分布列与数学期望.
【解析】（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，
前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，
所以
（2）由题意知：的可能取值为，
当时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，
若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球，
所以，
当时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，
若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，
若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的球，
故
当时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，
所以，
当时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，
故.
即的分布列为：
计算可得：
变式5．（2023·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为.
(1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.
【解析】（1）由题意可知，可能取值为，，， ，
当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则，
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则；
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则，
当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则，
故的概率分布列如下：
（2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件，
则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为.
变式6．（2023·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成两组，组3人，服用甲种中药，组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为.
(1)设事件表示组中恰好有1人康复，事件表示组中恰好有1人康复，求；
(2)求组康复人数比组康复人数多的概率.
【解析】（1）依题意有，，
，
又事件与相互独立，
则；
（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
，
，
，
设组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为，
，
，
A组康复人数比B组康复人数多的概率
变式7．（2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，甲得6分的概率；
(2)设比赛结束，乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望．
【解析】（1）记事件：“比赛结束，甲得6分”，
则事件即为乙以败给甲或乙以败给甲，
所以．
（2）由题意得，可取，
则，
，
，
即的分布列为
的数学期望为．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
【解析】（1）设“选手甲被淘汰”为事件A，
因为甲答对每个题的概率均为，所以甲答错每个题的概率均为.
则甲答了3题都错，被淘汰的概率为；
甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为；
甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为.
所以选手甲被海的概率.
（2）易知X的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，
则，
，
.
X的分布列为
则.
【方法技巧与总结】
（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．
（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好和的值，再准确利用公式求概率．
（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．
题型三：二项分布
例7．（2023·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】小球落到第⑤个格子的概率是.
故选：A
例8．（2023·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
例9．（2023·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( )
A．2B．3C．4D．5
答案：C
【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，其中，，
当时，由，
得，化简得，
解得，又，∴，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.
故选：C.
变式9．（2023·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，
所以，，
，
故，
，
故选：B．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立．设为该工厂生产的件商品中合格的数量，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知X服从与参数为5，p的二项分布，
∴ ，，，
又，，
∴ ，，
∴ ，
故选：B.
变式11．（2023·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的（）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.
（1）当取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补种的坑的个数，求的分布列.
【解析】（1）由题意可知每个坑要补种的概率，则个坑中有3个坑要补种的概率为.
欲使最大，只需
解得.因为，所以，6.
当时，，
当时，，
所以当或时，有3个坑要补种的概率最大，最大概率.
（2）易知的取值范围为，且，
因此，
，
，
，
，
所以的分布列为
变式12．（2023·江苏常州·高三阶段练习）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．
(1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；
(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用表示，问：的数学期望能否超过3？
【解析】（1）∵抽取一辆电动车为绿色的概率为
∴4辆电动车至少有3辆是绿色的概率．
（2）的所有可能取值为0，1，2…，n
，，
∴的分布列如下：
记①
∴②
①-②得：
∴，
∴的数学期望不能超过3．
变式13．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
【解析】（1）记事件为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，
则；
（2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以的分布列为：
所以.
变式14．（2023·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.
【解析】（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，
若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，
∴理论上，小球落入4号容器的概率.
（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，
∴，，
，，
∴的分布列为：
∴.
【方法技巧与总结】
1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数，；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将值代入求解概率．
题型四：超几何分布
例10．（2023·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】至少有1件是次品的概率是.
故选：C.
例11．（2023·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2B．1C．3D．4
答案：C
【解析】的可能取值为.
，，.
∴的分布列为：
于是，
故.
故选：C.
例12．（2023·北京·高三专题练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（）班（）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测.经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
【解析】（1）抽取的人中，身体素质监测成绩达到优秀有人，
从高一年级学生中任意抽测人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率.
（2）由散点图可知：高一（）班的名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的人数为人，
所有可能的取值为，
；；；
则的分布列为：
数学期望.
（3）由散点图知：，，；
，，；
，，；
，，；
.
变式15．（2023·上海·高三开学考试）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，
则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．
（2）由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表：
新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，
则随机变量X可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
所以．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
答案：(1)；
(2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；
②.
分析：
⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；
⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；
②利用条件概率求概率的方法求概率即可.
（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，
其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，
解得（负值舍去）.
（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
相应的概率分别记为，
，，
，，
.
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；
若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，
所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数.
(1)若，求X的分布列与数学期望；
(2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少?
【解析】（1）当时，X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为
.
（2）的概率为，，且.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的概率取最大值，最大值是.
变式18．（2023·山西大附中高三阶段练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【解析】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.
（2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
故X的分布列为
所以.
所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，
整理得到即，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，，
故的分布列为：
数学期望为．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）中国科研团队在研发“新冠疫苗”的过程中，为了测试疫苗的效果，科研人员以小白鼠为实验对象，进行了一些实验．
(1)实验一：选取10只健康小白鼠，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中．实验结果发现，除2号、3号和7号小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．现从这10只小白鼠中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的小白鼠只数记作X，求X的分布列和数学期望．
(2)科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对小白鼠是否有效互相不影响，相互独立．若将实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率当做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
【解析】（1）因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从的超几何分布，
所以，，
，，
X的分布列如下：
（或）．
（2）因为实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率为0.7，所以注射一次疫苗的有效率为0.7．
又每次注射的疫苗对小白鼠是否有效相互独立，所以一只小白鼠注射两次疫苗的有效率为，
所以注射两次疫苗无法保证有效率达到96%，
设每支疫苗有效率至少达到t才能满足要求，则，解得，
所以每支疫苗的有效率至少要达到0.8才能满足以上要求．
【方法技巧与总结】
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
例13．（2023·江苏南通·高三开学考试）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.
(1)若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；
(2)当为何值时，概率最大？并说明理由.
【解析】（1）由题意可知的可能取值有、、、，
，，，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
因为，故当时，最大.
例14．（2023·全国·高三专题练习）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，
所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；
（2）由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），
所以随机变量的取值可能为，，，
所以，，，
所以可得分布列
期望；
方差；
（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，
设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，
可知随机变量满足，
所以.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
【解析】若选①，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列为
期望；
若选②，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列为：
期望.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，
所以，，，
所以的分布列为：
由题意可得，
所以，，
，，
所以的分布列为：
（2），.
，
，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．
(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以表示这2人中使用AI作业的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）
【解析】（1）在两所学校被调查的200名学生中，
对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人．
该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为
（2）依题意，，1，2，且，
，，
所以的分布列为：
故
（3）由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
变式23．（2023·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元（含300元） 可抽奖一次， 抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案一: 从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个， 黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.
方案二: 从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中， 不放回地摸出3个球，中多规则为:若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折;其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望;
(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理?
【解析】（1）设实付金额为元， 可能的取值为0，100，200，300，
则 ，
，
故的分布列为
所以（元）.
（2）若选择方案一， 设摸到红球的个数为，实付金额为， 则，
由题意可得 ， 故，
所以（元）；
若选择方案二， 设实付金额为元，可能的取值为0，250，375，500，
则，
故的分布列为
所以（元）.
因为，
故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理.
【方法技巧与总结】
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（ ）
A．0B．C．D．
答案：D
【解析】由已知得的所有可能取值为0，1，且，
代入，得，
所以，
故选:D．
2．（2023·全国·高三专题练习）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）.
A．B．C．D．
答案：D
【解析】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为.
故选：D.
3．（2023·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( )
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3．
；
；
．
∴．
故选：B．
另设小王正确完成的面试题数为，则，∴．
故选：B．
4．（2023·浙江邵外高三阶段练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，，
所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是.
故选：A.
5．（2023·广东广州·一模）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
答案：B
【解析】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得，
故选：B
6．（2023·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））将10个不同的数字分成4组，第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，第4组4个数，记是第i组中最大的数，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】最大的数在第4组的概率，
在前3组中，最大的数在第3组的概率，
在前2组中，最大的数在第2组的概率，
的概率.
故选：A.
7．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为，则为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
【解析】可能的取值有1，2，3
.
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件，
由题意可知有4人休假的概率为，
有3人休假的概率为，
所以两家店铺都不能正常营业的概率
，
所以两家店铺该节假日能正常营业的概率为.
故选：D
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
答案：BCD
【解析】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.
故选:BCD
10．（2023·全国·高三专题练习）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；
的取值为，
，，
，，，可知A错；
的取值为，且，，，，，
则，，所以，故C错；
的取值为，且，，，，，
所以，故D正确；
故选：BD.
11．（2023·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布
C．D．
答案：ABD
【解析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
12．（2023·湖北·高三阶段练习）一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
答案：ABD
【解析】对选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；
对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，
则取到白球的个数，
故恰好有两个白球的概率为；
对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，
B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误。
对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，
至少有一次取到红球的概率为，故D正确。
故选：ABD
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）如果随机变量服从二项分布，服从二项分布，那么当变化时，关于成立的的个数为______．
答案：
【解析】由得：，
即，，
又，，，则的个数有个.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是______.
答案：
【解析】根据题意，该实验为独立重复实验，记6点向上的次数为，则，，故，
因此至少出现一次6点向上的概率为.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时，______．
答案：3或4
【解析】依题意，
依题意，
，
，，
所以、不是的最大项，
当时，由，
整理得，即，
整理得，，
所以当为3或4时，取得最大值.
故答案为：3或4
16．（2023·全国·高三专题练习）把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．
答案：
【解析】如下图所示，设为半圆弧的直径，、、为半圆弧另外的三个四等分点，
从、、、、这个点任取个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为.
其中直角三角形有：、、，共个，钝角三角形的个数为，
由题意可知，，，
因此，所求概率为.
故答案为：.
17．（2023·全国·高三专题练习）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
答案：①②④
【解析】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.
又X的分布列
∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
η的分布列为
∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
四、解答题
18．（2023·陕西·模拟预测（理））疫情过后，某商场为了应对销售窘境，清明节前后特对1000台笔记本电脑推出促销活动，其中高配400台，低配600台.
(1)若高配笔记本4月1日到4月6日的销量分别为：9､m､12､10､n､10（单位：台），把这些数据看作一个总体，其均值为10，方差为3，求的值；
(2)现欲从这批笔记本电脑中分层抽取一个容量为25的样本，将此部分样本看成一个总体，再从中任取3台笔记本电脑，求至少有1台为高配的概率（用最简分数表示）.
【解析】(1)由题知：，即，
，即，
所以
所以
(2)因为1000台笔记本电脑中，高配400台，低配600台，
所以，按照分层抽样得容量为25的样本，高配电脑有台，低配电脑有台.
所以，从中任取3台笔记本电脑，没有高配电脑的概率为，
所以，从中任取3台笔记本电脑，求至少有1台为高配的概率.
19．（2023·北京东城·二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示．
(1)从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
(2)从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：
(3)由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
【解析】（1）由折线图可知：从年到年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个；
所求概率.
（2）从年到年这年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个；
所有可能的取值为，
；；；
则的分布列为：
的数学期望.
（3）由折线图知：自年开始的连续三年视力平均值接近且连续三年数据相差不大，
自年开始的连续三年，名学生的视力平均值波动幅度最小，
则自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小.
20．（2023·北京市第二十二中学高三开学考试）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚､王亚平､叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空”知识竞赛，竞赛分为理论､操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为100分､200分､300分.现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表：
例如，表中理论成绩为200分且操作成绩为100分的学生有2人.
(1)若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为300分的学生概率为.求的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人操作的成绩为300分的概率；
(3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值.（直接写出答案）
【解析】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为300分的学生
共有人，则，
得，又，
得
（2）由（1）知，从20位理论成绩为300分的学生中抽取1人，
操作成绩也为300分的概率为，所以从全市理论成绩为300分的学生中，
随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为300分的概率为
（3）由题意，，
设理论竞赛的分数为，则取值为，
对应的人数分别为，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，
所以参赛学生理论成绩的方差为
因为，所以当时，最小.
21．（2023·福建·福州市第十中学高三开学考试）盒中装有6个零件，其中2个是使用过的，另外4个未经使用，
(1)从盒中随机一次抽取3个零件，求抽取到的3个零件中恰有1个是使用过的概率；
(2)从盒中每次随机抽取1个零件，观察后都将零件放回盒中，记3次抽取中抽到使用过的零件的次数为，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）记事件A为“抽取到3个零件中恰有一个是使用过的”，
则.
（2）依题有，
所以X的分布列如下
所以X的期望是
22．（2023·全国·高三专题练习）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．
方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；
方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：
(1)求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；
(2)若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？
【解析】（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A，
则．
所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为．
（2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X，获得代金券数目为Y，
则，，．
方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为，
则，
，
，
，
∵
∴统计的角度来分析，小翁该采取方案二．
23．（2023·山西·高三阶段练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．
【解析】（1）抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为
（2）周阅读时间在小时的频率为，故概率为，
则，所以，
由得：，化简得
解得，又，故，
0
1
…
…
…
…
0
1
…
…
1
11
0.970
0.030
1
9
0.976
0.024
工种类别
A
B
C
赔付频率
1
2
3
4
0
1
2
3
X
3
4
5
P(X)
用时/秒
[5，10]
(10，15]
(15，20]
(20，25]
男性人数
15
22
14
9
女性人数
5
11
17
7
0
1
2
3
4
0
1
2
…
n
P
…
0
1
2
3
0
1
2
3
ξ
0
1
2
P
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽年销量
0.0625
0.112
0.168
0.275
0.456
0.54
1.16
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P

0
1
2
3

X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
0
100
200
300
0
250
375
500
X
0
1
2
P
η
1
2
3
P
理论
操作
100分
200分
300分
100分
0
2
1
200分
3
b
1
300分
2
3
a
X
0
1
2
3
P
获得代金券金额（万元）
0
“顾客胜利”次数
0
1
2
3
时间（小时/周）
0
人数
20
40
30
10