内蒙古自治区内蒙古师范大学附属学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分100分，考试时间90分钟．
2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，考生只需将答题卡交回，试题请自行保留．
一、选择题（本题共8小题，1-6题，每题2分；7-8题，每题3分，共18分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方因数或因式，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 满足下列条件的三角形中，不能判断三角形为直角三角形的是（ ）
A. 三角形三边长为7，24，25B. 三角形的三内角度数之比为
C. 在中，D. 三角形的三边之比为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理是解此题的关键．
【详解】解：，
该三角形为直角三角形，故A不符合题意；
三角形的三内角度数之比为，
这个三角形三个角的度数为：，，，
该三角形不是直角三角形，故B符合题意；
，，
，
该三角形为直角三角形，故C不符合题意；
三角形的三边之比为，
设三角形的三边长为，，，
，
该三角形为直角三角形，故D不符合题意；
故选：B．
3. 下列不能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断即可．
【详解】解：根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断，
A：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；
B：观察x与y的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；
C：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；
D：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．
4. 若，则可以表示为（ ）
A. B. C. D. ab
【答案】C
【解析】
【详解】∵ ，
∴.
故选C.
5. 已知一次函数，则下列说法正确的是（ ）
A. y随x的增大而增大
B. 图象经过第一、二、四象限
C. 该函数图象一定过点，
D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而减小，故此选项错误，不符合题意；
B、一次函数的图象经过第二、三、四象限，故此选项错误，不符合题意；
C、当时，，当时，，即该函数图象不过点，，故此选项错误，不符合题意；
D、当时，，又y随x的增大而减小，
∴当时，，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
6. 甲、乙二人约好同时出发，沿同一路线去自贡恐龙博物馆参加科普活动．下图是甲、乙二人走的图象，表示的是行走时间（单位：分），表示的是与学校的距离（单位：米），最后两人都到达了目的地；根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达目的地；
③甲停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确的推断的序号是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和图象的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；
②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；
③甲在前10分钟，走了750米，前10分钟的速度为米/分钟,甲在停留10分钟之后走了分钟，走了米，所以20~35分钟的速度为米/分钟，所以甲在停留10分钟之后减慢了速度，故说法错误；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，掌握数形结合的思想是解题的关键．
7. 下列说法：
四边相等的四边形一定是菱形
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
对角线相等的四边形一定是矩形
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有 个．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有2个，
故选：C．
8. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．
在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．
∵正方形的边长为4，∴BD=．∴BE=BD－DE=．
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．
∴EF=BE==．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
9. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
10. 已知直线与直线平行，且过点（8，2），则一次函数的表达式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线平行，则k值相等可求得k，再由直线过已知点，把此点坐标代入即可求得b，从而可得所求函数解析式．
【详解】∵直线与直线平行
∴
∴
∵直线过点(8，2)
∴
∴
∴所求的函数解析式为
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两直线平行k值相等的性质．
11. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．
【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，
是的中线，
，
，
，
在中，，点E是的中点，，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12. 平面直角坐标系中，点A，B，C，D的位置如图所示，当且时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数图象上的点为___________．
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的图象和性质即可进行判断
【详解】解：∵且，
∴一次函数的图象过一、三、四象限，
∴点D一定不在一次函数的图象上
故答案为：D
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13. 如图，将长，宽的矩形纸片折叠，使点A与C重合，则的长等_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、折叠性质等知识点．熟练掌握折叠的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
由折叠性质可知：，，设，用含x的式子表示，在中，由勾股定理得出方程，即可求出．
【详解】解∶由折叠性质可知：，，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得∶，
∴．
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有__________．
①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集是；④．

【答案】①②④
【解析】
【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
【详解】解：由知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线与轴所夹锐角等于，故①的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此故②的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故③的结论不正确；
由图知：，，因此，故④的结论正确；
答案为：①②④．
15. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升/分钟，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
16. 如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形性质，轴对称性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键．
作点F关于对称点，根据正方形是轴对称图形，是一条对称轴，可得点F关于的对称点在线段上，连接，P为上的一个动点，，则，的最小值为的长即可．
【详解】解：作点F关于对称点，
∵正方形是轴对称图形，是一条对称轴，
∴点F关于的对称点在线段上，连接，
∵P为上的一个动点，
∴，
则，
的最小值为的长，
∵，，
∴，
过点E作于点G，
则，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
17. 计算：
（1）．
（2）．
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的化简，计算每一项，再加减，即可解答；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再加减，即可解答；
（3）先利用分式的化简法则化简，再代入求值，即可解答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：
，
当时，原式．
18. 若实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．
【详解】因为实数x，y满足，
所以，解得∶，，
因为x，y的值是等腰三角形的两边长，
所以等腰三角形的三边可能是：3，3，6或3，6，6，
又因为3+3=6， 所以等腰三角形三边是：3，6，6，
所以等腰三角形周长是15，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查绝对值和二次根式的非负性和三角形三边关系，等腰三角形的性质．
19. 如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）只要证明即可得到结果；
（2）先判断四边形AECF平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论；
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴，OA=OC，
又∵，
∴，
在△AOE和△COF中，
，
∴．
∴FO=EO，
又∵，
∴．
故EF的长为3．
（2）由（1）可得，，四边形ABCD是平行四边形，
∴，FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又，OE=OF，OA=OC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．
20. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米， 千米， 千米．

（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）是，见解析
（2）千米
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设，则AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
∵
，
∴
∴
∴是从村庄C到河边的最近路
【小问2详解】
，则
在中
∴
解得：
∴原来的路线的长为千米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．
21. 郑州外国语中学为迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作、两种纪念章，已知制作3个种纪念章比制作2个种纪念章多花140元，制作4个种纪念章与制作5个种纪念章所需钱数相同．
（1）求，两种纪念章每个的价格；
（2）设计公司也给出了优惠方案，种纪念章打九折．若学校打算制作，两种纪念章共300个，且种纪念章的个数不多于种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？
【答案】（1）每个种纪念章的价格为100元，每个种纪念章的价格为80元
（2）最少花费26000元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用：
（1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可；
（2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品个，根据B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，即可列出关于a的一元一次不等式，从而可求出a的取值范围．设购买奖品的总花费为w元，根据题意可求出w与a的关系式，最后由一次函数的性质即得出答案．
【小问1详解】
解：设每个种纪念章的价格为元，每个种纪念章价格为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每个种纪念章的价格为100元，每个种纪念章的价格为80元；
【小问2详解】
解：设购买种奖品个，则购买种奖品个，
根据题意，得：，解得：．
设购买奖品的总花费为元，
根据题意，得：，
，
随着的增大而增大．
当时，取得最小值，．
答：该公司最少花费26000元．
22. 如图，四边形为矩形，，分别与，交于点，，为的中点．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）证明是三角形的中位线，即可得到，即可解答；
（2）连接，证明，得到，再证明四边形为平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即可解答．
【小问1详解】
解：设与交于点．
由矩形，得．
为的中点，
，
，
，
四边形为正方形；
【小问2详解】
解：连接，
，
，．
，，
，
，
．
，
四边形为平行四边形，
．
，为的中点，
，
，
．
23. 直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于．
（1）点坐标为 ；点坐标为 ．
（2）求直线的函数解析式．
（3）是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）
（4）在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）
【答案】（1） ，；
（2）；
（3）；
（4）的值为或．
【解析】
【分析】()分别把代入，代入即可求解；
()利用待定系散法可求得直线的函数解析式；
()用可分别表示出的坐标，则可表示出与之间的关系式；
()由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由()的关系式可得到关于的方程，解方程即可求得的值；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，平行四边形的性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：当时，，
解得，
点，
过作轴于，
把代入中可得，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵直线与轴相交于，
可设直线解析式为，
把点坐标代入中可得，，
解得，
直线的函数解析式为；
【小问3详解】
解：由题意可知，
把代入中可得，
，
把代入，可得，
，
∴，
点在线段上，且，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可得，；
【小问4详解】
解：由题意可知，，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
解得或，
即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．