山东省聊城市阳谷县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：
1．试题由选择题与非选择题两部分组成．共150分．考试时间130分钟．
2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置．
3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡．
愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）
1. 在数轴上表示不等式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解题的关键．
把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵，
∴在数轴上表示为：
故选：C．
2. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：，两边同时乘以一个小于0的值，可得，故A错误，不符合要求；
，两边同时除以一个小于0的值，可得，故B正确，符合要求；
，两边同时加上，可得，故C错误，不符合要求；
，两边同时乘以一个大于0的值，可得，故D错误，不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
3. 在下列结论中，正确的是（ ）
A. B. x2的算术平方根是x
C. ﹣x2一定没有平方根D. 的平方根是
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项进行判断．
【详解】A选项：，故错误；
B选项：当x为负数时，它的算术平方根为-x，故错误；
C选项：-x2，当x=0时，平方根为0，故错误；
D选项：的平方根是，正确；
故选：D.
【点睛】考查了平方根与算术平方根，解题的关键正确理解平方根和算术平方根的定义．
4. 下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 7，24，25B. 9，12，15C. 1，，3D. 5，12，13
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
5. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 四条边相等，四个角相等B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形、矩形及正方形的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
B、不正确，菱形的对角线不相等；
C、不正确，矩形的对角线不垂直；
D、正确，三者均具有此性质；
故选D．
【点睛】本题主要考查菱形、矩形及正方形的性质，熟练掌握菱形、矩形及正方形的性质是解题的关键．
6. 已知，，且，则的值为（ ）
A. 2或12B. 2或C. 或12D. 或
【答案】D
【解析】
【详解】根据=5，=7，得，因为，则，则=5-7=-2或-5-7=-12.
故选D.
7. 若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】找到90左右两边相邻的两个平方数，即可估算的值.
【详解】本题考查二次根式的估值．∵，∴，∴．
一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：
【点睛】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.
8. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=，∠BCD=90°．
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
9. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A. 66°B. 104°C. 114°D. 124°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
10. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）

A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减少
【答案】C
【解析】
【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．
【详解】如图，连接．

∵
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
二、填空题（本题共6．小题，每小题4分，共24分）
11. 在实数，，，，，中，无理数的个数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】解：在实数，，，，，中，是无理数的有：，，，
∴是无理数的有个，
故答案为：．
12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为_____．

【答案】4
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案．
【详解】∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．
13. 如图，如果要测量池塘两端，的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是、的中点，测得的长为米，则的长为_______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线，解题的关键是直接根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）计算即可．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，的长为米，
∴（米），
∴的长为米．
故答案为：．
14. 定义一种新运算：对于任意实数x和y，规定，如：．若，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了定义新运算，解不等式，先根据新定义确定不等式，再求出解集．
【详解】根据题意，得，
解得．
故答案为：．
15. 在平行四边形ABCD中，AE平分交边BC于E，DF平分交边BC于F．若AD＝11，EF＝5，则AB＝_________．
【答案】8或3
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，得出AB＝BE＝CF＝CD，分两种情况，即可得到结论．
【详解】解：①如图1，
在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝2AB－5＝11，
∴AB＝8；
②如图2，
在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE＋CF＝2AB＋EF＝2AB＋5＝11，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为8或3.
故答案为：8或3.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE＝CF＝CD．
16. 不等式组无解，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
【详解】不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义，即可得到，然后即可求得a的值；同理可以得到，即可得到b的值，进而求得答案．
【详解】解：∵的平方根为，
∴，
∴，
∵的算术平方根为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的立方根是2．
18. （1）解不等式：．
（2）解不等式组并写出它的整数解：
【答案】（1），（2），整数解为：，，
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式、一元一次不等式组的知识，
（1）先去分母，移项合并同类项，系数化1，即可作答；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，问题随之得解．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
则整数解为：，，．
19. 如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】通过证明△AEN，△DNM，△MCF，△FBE全等，先得出四边形ENMF是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA．
∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
20. 为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）足球的单价60元、篮球的单价为90元；
（2）40个．
【解析】
【分析】（1）设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，根据“2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元”列方程组即可解决；
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买个足球，由“足球和篮球的总费用不超过7200元”得不等式即可解决．
【小问1详解】
设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，
根据题意可得：，
解得：，
答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元；
【小问2详解】
设学校最多可以购买m个篮球，则买个足球，
解得：，
∴学校最多可以购买40个篮球．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理解题意找准数量关系是解决问题的关键．
21. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
【答案】14.5尺
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设尺，
∵尺，尺，
∴尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
答：秋千绳索的长度为尺．
22 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可；
（2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【小问1详解】
如图，∵四边形为菱形，
∴；而，，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23. 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法，根据新定义运算的含义把二次不等式化为一次不等式组是解本题的关键；
（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得①或②，解不等式组即可；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得①或②，再解不等式组即可．
【小问1详解】
解：，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以一元二次不等式解集是或；
【小问2详解】
，
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②无解，
所以不等式的解集是．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
【答案】（1）当t=8s时，四边形ABQP为矩形；（2）当t=6s时，四边形AQCP为菱形
【解析】
【分析】（1）当BQ=AP时，四边形ABQP是矩形，据此求得t的值；
（2）当AQ=QC时，四边形AQCP是菱形，列方程求得运动的时间t．
【详解】（1）∵在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，∴BC=AD=16cm，AB=CD=8cm，由已知可得：BQ=DP=tcm，AP=CQ=（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，∴t=16﹣t，解得：t=8，故当t=8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ=QC时，四边形AQCP为菱形，即16﹣t，解得：t=6，故当t=6s时，四边形AQCP为菱形．
【点睛】本题考查了菱形判定、矩形的判定与性质．解答此题注意结合方程的思想解题．选项
逐项分析
正误
A
若
×
B
若
×
C
若
×
D
若
√