2024年高考数学考前冲刺试卷（15-16）（学生版+教师版）

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一、单选题
1、（2024·辽宁丹东·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为1，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用抛物线的标准方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可化为，
因为抛物线的焦点到准线的距离为1，可得，解得.
故选：D.
2、（2024·湖北·模拟预测）以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ）
A．90B．89C．88D．88.5
【答案】A
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，
因为，所以这10个成绩的第75百分位数是第8个数90.
故选：A.
3、（2024·江西·二模）已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．120B．40C．48D．60
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出方程求解、，验证，利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】因为数列为等比数列，设数列的公比为，
若，则，
此时，由已知，即，
解得，不成立，所以；
因为，，
则有：，解得，，
所以.
故选：B
4、（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，
故选：D．
5、（2024·福建漳州·三模）已知函数是函数的导函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】计算的导数，得到，代值即可.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，
所以.
故选：D.
6、（2024·山东威海·二模）在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用线面平行判定定理和性质定理可证，再由直线平行的传递性可得，可知即为所求，可得答案.
【详解】因为E，F分别为棱BC，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，，所以，
又，所以，所以l与直线所成角的大小等于.
故选：C

二、多选题
7、（2024·江西·二模）设为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则最大值为3
C．若，则
D．若，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】BD
【分析】通过举反例判断A和C；由复数的几何意义判断B和D．
【详解】对于A，令，满足，但不成立，故A错误；
对于B，设，，
因为，则复数的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为到的距离，其最大值为，故B正确；
对于C，令，则，，
满足，但，故C错误；
对于D，因为，设对应的点为，
若，则在复平面内对应点到和的距离相等，即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上，所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确；
故选：BD．
8、（2024·山东威海·二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减
B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称
C．在上有两个零点
D．
【答案】BCD
【分析】由可知的图象关于对称，可判断AB；整体代入法求出函数零点即可判断C；求出，结合周期可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；
对于B，由上知，的图象关于对称，
所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确；
对于C，由得函数的零点为，
令，解得，
所以，即在上有两个零点，C正确；
对于D，因为，
，，
所以
因为的最小值周期，
所以，D正确.
故选：BCD
三、填空题
9、（2024·辽宁丹东·一模）已知集合，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，则有，即可得解.
【详解】因为，，
所以，
则不等式无解，
所以，解得.
故答案为：.
10、（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 .
【答案】30
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.
【详解】展开式的通项表达式为，
当时，，
.
故答案为:30.
四、解答题
11、（2024·湖南常德·三模）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望；
(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
（参考数据：
，
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解；
（2）利用平均数的定义结合参考数据求得新的样本点，结合的计算公式进行转化整理求得其值，从而得解.
【详解】（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则的所有可能取值为，
，，
，，
故的分布列为
.
（2）设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为
，，
，
故
，
，
所以.
12、（2023·湖北咸宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.
(1)证明：外接圆的半径为；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可；
（2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围.
【详解】（1）由，得，
由正弦定理得:
，
化简得.
因为，所以.
又，所以，
所以外接圆的半径为.
（2）要使恒成立，
即恒成立，
即求的最大值.
由余弦定理得，
所以
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为.
13、（2024·四川成都·模拟预测）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②当点在的延长线上，且使时，平面.
【分析】（1）过射线上一点作交于点，作交于点，连接，，可得是二面角的平面角．在中和中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论；
（2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结，延长至，使，连结，由线面平行的判定定理证明平面．
【详解】（1）证明：如图，过射线上一点作交于点，
作交于点，连接，
则是二面角的平面角．
在中和中分别用余弦定理，得
，
，
两式相减得，
∴，
两边同除以，得．
（2）①由平面平面，知，
∴由（1）得，
∵，，
∴．
②在直线上存在点，使平面．
连结，延长至，使，连结，
在棱柱中，，，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴．
在四边形中，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
∴当点在的延长线上，且使时，平面．
（十六）
一、单选题
1、（2024·辽宁丹东·一模）已知i为虚数单位，复数，则对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数的定义和复数的几何意义即可得解.
【详解】，
所以，其对应的点在第三象限.
故选：C.
2、（2023·山东潍坊·二模）在中，，点是的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用、表示出即可.
【详解】由题设，
所以.
故选：B
3、（2024·山东济南·一模）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ）
A．3B．6C．4或5D．6或7
【答案】C
【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案.
【详解】，
故，
因为，所以或5时，取得最大值.
故选：C
4、（2024·山东威海·二模）已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则=（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【分析】由等差中项的性质可得，再由等比数列的性质可得，即可得出答案.
【详解】因为，，成等差数列，
所以，因为是正项等比数列，且，
，所以，解得：或（舍去），
所以.
故选：A.
5、（2024·福建漳州·三模）设，且，则的（ ）
A．最小值为-3B．最小值为3
C．最大值为-3D．最大值为3
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式先求的范围，然后结合对数的运算性质即可求解.
【详解】因为，且，
所以，即，
当且仅当时取等号，
所以，
即.
故选：C.
6、（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆得出焦点坐标，根据椭圆与直线相切联立方程组，得出，根据离心率公式计算即可．
【详解】由椭圆得，焦点，
因为椭圆与有相同的焦点，所以椭圆的焦点，则，
又因为与直线相切，则椭圆与直线只有1个交点，
联立方程组得，，
则，化简得，，解得或（不合题意舍），
则，又，所以，
故选：A．
二、多选题
7、（2024·山东威海·二模）下列命题为真命题的是（ ）
A．是纯虚数
B．对任意的复数z，
C．对任意的复数z，为实数
D．
【答案】AC
【分析】对于A，根据复数运算化简后，结合纯虚数概念可判断；对于B，设，根据复数乘法运算和复数模公式计算即可判断；对于C，设出复数z，根据共轭复数概念和复数乘法运算即可判断；对于D，根据复数除法运算与和差公式化简即可判断.
【详解】对于A，是纯虚数，A正确；
对于B，对任意复数，
，，
所以和不一定相等，B错误；
对于C，设，则，
则，C正确；
对于D，
，D错误.
故选：AC
8、（2024·江西·二模）已知中，为的角平分线，交于点为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．在的外接圆上，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】对每一个选项逐一判断，由余弦定理求出，再由角平分线定理可知，利用三角形面积公式求出，再设，将表示为的三角函数求最值即可判断.
【详解】在中，由余弦定理得，
由角平分线定理得：，所以A正确；
由得，解得，所以B错误；
，所以C正确；
在中，
设，则，由正弦定理得：
，其中，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9、（2024·上海静安·模拟预测）若集合，，且，则 .
【答案】
【分析】依题意可得且，即可求出、的值，从而求出集合、，再根据并集的定义计算可得.
【详解】因为，，且，
所以且，显然，所以且，所以，
所以，，
所以.
故答案为：
10、（2024·山东威海·二模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为 ．
【答案】/
【分析】将圆锥侧面积用圆锥底面半径与母线长的表达式表示出来，再利用外接球半径为3，建立圆锥底面半径与母线长的关系，从而将圆锥侧面积表示为母线长函数，利用换元，导数法求出函数取最大值时的母线长，底面半径长，从而求出此时的圆锥体积.
【详解】
如图，圆锥顶点为P，底面圆心为C，底面圆周与顶点均在球心为O的球面上，
，记
则圆锥侧面积为，
若相同时，较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时两点位于球心两侧，
此时，
，而,又，
故
令，
，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
故当时，最大，圆锥侧面积最大，此时，
此时圆锥体积，
故答案为：.
四、解答题
11、（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；
（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.
【详解】（1）
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
（2），，即成立，
则得在有解，
故有时，.
令，，，
令得；令得，
故在单调递减，单调递增，
所以，
则，故的最小值为.
12、（2024·湖北·模拟预测）某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
(1)若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
(2)若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，96
【分析】（1）利用正难则反的原则即可得到答案；
（2）按步骤得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【详解】（1）设事件“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，
因为每次摸出的球不放回袋中，所以.
（2）由已知得，，
因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为，，，
所以，，
，
，，
所以得分布列为
所以.
13、（2024·湖北·模拟预测）如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.
(1)求证：；
(2)若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面，证得；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，所以，
底面圆，而底面圆，则，
，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为，圆锥的体积为，所以，所以，
因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
即平面的法向量为，
显然，
又底面圆，底面圆，
所以，
所以，，两两垂直，
以为原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
由题意，
点在圆上，则，如图所示，
在中，，则，
过作轴的垂线，垂足为，
有，，则，
得，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
0
1
2
3
80
90
100
110
120