河南省洛阳市洛宁县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 设是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】解：∵，
∴或，故A不符合题意；
∵，
∴，故B符合题意；
∵，，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
2. 在解方程 时，去分母后正确是（ ）
A. 3（2x﹣1）＝1﹣2（3﹣x）B. 3（2x﹣1）＝1﹣（3﹣x）
C. 3（2x﹣1）＝6﹣2（3﹣x）D. 2（2x﹣1）＝6﹣3（3﹣x）
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：在解方程时，去分母得：3（2x﹣1）＝6﹣2（3﹣x），
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．
3. 方程中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是，那么墨水盖住的数字是（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】墨水盖住的部分用a表示，把x＝﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求解．
【详解】解：墨水盖住的部分用a表示，把x＝﹣1代入方程得：，
解得：a＝1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，理解定义是关键．
4. 已知，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接把两个方程左右两边分别相加求解即可．
【详解】解：，
①+②得
6a+6b=18
∴a+b=3．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
5. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50”和“甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50”两个等量关系，即可列出方程组.
【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y；
由甲得乙半而钱五十，可得：
由甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：
故答案为:A
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系.
6. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入中计算即可得到k的值．
【详解】解：，
①②得：，
，
将代入①得：，
，
，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
解得：．
故选：．
7. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示解集，解题关键是端点画空心和实心．不等式在的右边且在处画空心．
【详解】解：不等式的解集如下图：
，
故选：A．
8. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可.
【详解】解：不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为，

故选C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
9. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. ﹣1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
①-②得：x-y=3m+2，
∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-，
∴3m+2＞-，
解得：m＞，
∴m最小整数解为-1，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
10. 不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组有3个整数解，可得答案．
【详解】解：不等式组，
由﹣x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组有3个整数解，
得：7≤2﹣a＜8，
解得：﹣6＜a≤﹣5．
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 代数式与代数式的和为4，则_____．
【答案】﹣1.
【解析】
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】根据题意得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案为﹣1.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 对任意四个有理数a，b，c，d，定义：，已知，则x=_____．
【答案】3
【解析】
【分析】首先看清这种运算规则，将转化为一元一次方程2x－(﹣4x) ＝18，然后通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解方程即可．
【详解】由题意得，2x－(﹣4x) ＝18
6x＝18
解得：x＝3
故答案为：3
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
13. 当，满足关系____时，关于，的方程组的解互为相反数．
【答案】
【解析】
【分析】先将m、n看作已知数解方程组得，再根据方程组的解互为相反数，得出，整理可得．
详解】解：方程组得：，
∵方程组的解互为相反数，
∴，
即，
整理得，
∴当，满足时，关于，的方程组的解互为相反数．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是求出．
14. 已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．
【答案】x＞a．
【解析】
【分析】先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可．
【详解】∵由数轴可知，a＞b，
∴关于的不等式组的解集为x＞a，
故答案为：x＞a．
【点睛】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键．
15. 如果不等式组的解集是，那么的值为 ．
【答案】1
【解析】
【分析】先解不等式组，再根据条件得到a，b的值，然后可求出a+b的值.
【详解】解得，
因为，
所以，
，
．
考点：不等式组．
三、计算题：本大题共2小题，共17分．
16. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，
（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【小问1详解】
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
【小问2详解】
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
【答案】，见解析
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 解方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解方程组．
（1）把消去y，求出x，再利用代入法求出y即可；
（2）直接用，消去x，求出y，再利用代入法求出x即可．
【小问1详解】
解：
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解为：；
【小问2详解】
解：
由，，
解得，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
19. 解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
(1)8x－1≥6x＋3；
(2)2x－1＜.
【答案】（1）x≥2（2）x＜
【解析】
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤先移项，合并同类项，然后系数化1，即可得出答案并在数轴上表示即可；
（2）首先两边同时乘以6，去分母，再移项、合并同类项，然后系数化1，即可得出答案并在数轴上表示即可.
【详解】(1)移项，得8x－6x≥3＋1.
合并同类项，得2x≥4.
系数化为1，得x≥2.
其解集在数轴上表示为：
（2）解：去分母，得12x－6＜10x＋1.
移项，得12x－10x＜1＋6.
合并同类项，得2x＜7.
系数化1，得x＜.
其解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
20. 马虎同学在解方程时，不小心把等式左边m前面的“﹣”当作“+”进行求解，得到的结果为x=1，求代数式m2﹣2m+1的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】把x=1代入方程+m=得出方程，求出m，最后再代入求出即可．
【详解】解：把x=1代入方程+m=得：﹣1+m=，
解得：m=1，
当m=1时，m2﹣2m+1=1﹣2+1=0．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次方程的方法.
21. 某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元，如果直接由厂家门市部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元．
(1)求在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等；
(2)若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？
【答案】(1) 每月销售700件时，所得利润相同．(2) 采用直接由厂家门市部销售的利润较多．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设每个月销售x件，用x表示出两种销售方式分别得出获利情况，根据利润相等列出方程求解即可；（2）根据（1）用x表示出两种销售方式分别得出获利情况，把x=1000件代入分别求得利润比较即可.
试题解析：
（1）设每个月销售x件时，所得利润相等，依题意得
（35-28）x-2100=(32-28)x
解得x=700
经检验符合题意
答：每个月销售700件时，所得利润相等
(2)当销售量x=1000时，（35-28）x-2100=4900元
(32-28)x=4000元
故应由厂家门市部销售
点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两种销售利润是解题关键．
22. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，2本文学名著和4本动漫书共需156元，2本文学名著比2本动漫书多36元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，总费用不超过2100元，请问最多可以购买文学名著多少本？
【答案】（1）每本文学名著38元，每本动漫画20元
（2）29本
【解析】
【分析】（1）设每本文学名著x元，每本动漫书y元，由总价＝单价×数量，结合“2本文学名著和4本动漫书共需156元，2本文学名著比2本动漫书多36元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买文学名著m本，则购买动漫书（m+20）本，由总价＝单价×数量，结合“总费用不超过2100元”，列出一元一次不等式，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每本文学名著元，每本动漫画元
依题意可列方程组为：，解得
答：每本文学名著38元，每本动漫画20元．
【小问2详解】
解：设购买文学名著本．
依题意有：
解得：
是非负整数，最多为29
答：最多可以购买文学名著29本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23. 阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ．
（1）学以致用
运用上述方法解下列方程组：．
（2）拓展提升
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化，且解为则有，求解即可．
【小问1详解】
解：令，，
原方程组化为，
解得，
，
解得：，
∴原方程组的解为 ；
【小问2详解】
在中，
令，，
则可化为，
且解为，
则有，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组．