湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．设集合,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量a,b不共线, 向量,,,则( )
A.B.-12C.D.12
4．如图,表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图,在轴上,与轴垂直,且,则 中边上的高为( )
A.2B.4C.D.
5．已知函数 的最小正周期为,则图象的一个对称中心的坐标为( )
A.B.C.D.
6．若,,,则( )
A.B.C.D.
7．永丰文塔位于湖南省双峰县城永丰镇,修建于清朝同治年间,巍巍七层文塔,塔形呈六角形,塔底用高达五尺八寸的青条石奠基,永丰文塔与双峰书院遥相呼应,象征双峰文运昌隆.如图,某测绘小组为了测量永丰文塔的实际高度 AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C, D,现测得,,在点C测得塔顶 A的仰角为,则塔高(取,)( )
A.B.C.D.
8．已知圆锥的轴截面为,P为该圆锥的顶点,该圆雉内切球的表面积为,若,则该圆雉的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在高为3的正三棱台中,,且上底面的面积为,则( )
A.直线与异面
B.直线与异面
C.正三棱台的体积为
D.正三棱台的体积为
10．已知复数,则( )
A.的虚部为B.
C.为实数D.为纯虚数
11．如图,在梯形中,,,,,,E,F分别在线段,上,且线段与线段的长度相等,则( )
A.的最小值为-4B.的最大值为18
C.的最大值为-1D.的面积的最大值为
三、填空题
12．在复数范围内,方程的解集为_________________.
13．若函数 恰有4个零点,则m的取值范围为____________.
四、双空题
14．已知向量,,若, 则____________；若,则_____________.
五、解答题
15．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）证明：为钝角三角形.
（2）若的面积为,,求a,b.
16．已知函数.
(1)证明:的定义域与值域相同.
(2)若,,求m的取值范围.
17．如图,在高为2的正三棱柱中,,D是棱.
(1)求该正三棱柱的体积；
(2)求三棱锥的体积；
(3)设E为棱的中点,F为棱上一点,求的最小值.
18．如图,在梯形中,,,,,E在线段上.
(1)若,用向量,表示,;
(2)若与交于点F,,,,求x的值.
19．在中,.
(1)证明:G为的重心.
(2)若,求的最大值,并求此时的长.
参考答案
1．答案：A
解析：因为 ,所以其在复平面内对应的点位于第一象限.
2．答案：D
解析：因为,,所以.
3．答案：B
解析：因为a,b不共线,,,所以,解得.
4．答案：B
解析：还原的原图,如图所示, 直观图中的点,,分别对应原图中的点O,A,B,直观图中的轴、轴分别对应原图中的x轴、y轴,因为,
所以,则,即 中边上的高为4.
5．答案：D
解析：由, 得,所以.令,,
则,,当时,,
所以图像的一个对称中心的坐标为.
6．答案：A
解析：因为,所以,又,所以.
7．答案：D
解析：在中,由正弦定理得,
则,
因为在点C测得塔顶A的仰角为,所以.
8．答案：C
解析：如图,设内切球O与相切于点E,
因为, 所以.
由内切球的表面积为,可得球的半径,
圆锥的高为,圆锥的底面半径为3,所以该圆锥的体积.
9．答案：BC
解析：直与 相交,A错误. 直线与异面,B正确.因为正三棱台下底面的面积为,
所以正三棱台的体积,C正确,D错误.
10．答案：ABD
解析：,,
的虚部为,A正确., B正确.不是实数, C错误.为纯虚数,D正确.
11．答案：BCD
解析：
12．答案：
解析：由,得或,即 或.
13．答案：
解析：
,
令,得.若, 则,
依题意可得,解得.
14．答案：；
解析：若, 则,所以,
若, 则,
得,所以(舍去)或,
故.
15．答案：(1)见解析
(2)2
解析：(1)证明:因为 ,所以 ,
所以,
所以C为钝角,
故为钝角三角形.
(2)因为的面积,所以.
由(1)知 ,所以,
由余弦定理,得,
结合,解得.
16．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明: 由得,
所以的定义域为.,
因为在上单调递增,
所以,所以的值域为,
所以的定义域与值域相同.
(2)由 (1) 知 在上单调递增,
所以当 时,.
设 ,
当, 即时,取得最小值, 且最小值为-4 .
因为,,
所以, 即m的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为,
所以.
(2)因为,
,
所以.
(3)将侧面绕旋转至与侧面共面,如图所示.
当A, F, E三点共线时,取得最小值,
且最小值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1),
.
(2)因为,
所以,
所以.
因为,所以,
所以, 即, 解得或.
连接交于G.因为, 所以, 所以,
则.因为E在线段上,所以,故.
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明:设的中点为E, 则,
因为,所以.
设的中点为F, A,B的中点为H, 同理可得,,
所以A, G, E三点共线,B, G, F三点共线, C, G, H三点共线,
从而G为三条中线的交点, 即G为的重心.
(2)由(1)知,因为, 所以.
因为,所以,
设,则,,
由余弦定理,得,
,
则.
设,,
所以,当,
即时,取得最大值, 且最大值为,
此时,解得,
此时.