北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了05等内容，欢迎下载使用。
第一部分（填空题 共65分）
一、填空题共15小题，其中1-10题，每小题4分，11-15题，每小题5分，共65分，把答案填在答题卡相应位置上．
1．复数在复平面内对应的点的坐标为______．
2．已知平面向量与共线，则______．
3．设z为复数，且（为虚数单位），则______．
4．已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，，将绕O点逆时针旋转弧度得到，则点B的坐标为______．
5．若函数的部分图像如图所示，，则的最小值为______．
6．已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则______，______（答案用含，的式子表示）．
7．已知非零向量，，满足：，，，，则______．
8．已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为______．
9．已知平面向量，，满足，，则与的夹角为______．
10．若方程在闭区间上恰有三个不同解，，，则常数______．
11．写出一组使得不等式成立的，，其中______，______．
12．若函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则函数的最小正周期为______．
13．从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为______．
14．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形，如图1，在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖（如图2），我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究，推导出了球体体积公式．设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，则平面截牟合方盖所得截面的形状为______（填“正方形”或“圆形”），设半径为r的球体体积为，图2所示牟合方盖体积为，则______．
15．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，．记，为的两个三元子集，则的最大值为______；的最小值为______．
第二部分（简答题 共85分）
二、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）
已知三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求证：角B为钝角；
（Ⅱ）若，，求三角形ABC的面积．
17．（本小题13分）
设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若在上的值域为，
①若，求m值；
②若，求m的取值范围．（①②两问直接写出答案）
18．（本小题14分）
已知复数，，其中．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值并说明取得最大值时的取值集合．
19．（本小题15分）
已知实数x，y满足方程．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设与是方程组两组不同的解，其中．求证：．
20．（本小题15分）
已知，其中．
（Ⅰ）当，时，
①任意写出的一条对称轴；
②求证：；
（Ⅱ）若对任意，，求所能取到的最小值和最大值，并说明理由．
21．（本题15分）
已知G为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果G连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
（Ⅰ）令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
（Ⅱ）已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
（Ⅲ）已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．