广东省清远市四校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

这是一份广东省清远市四校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z＝3﹣4i，则（ ）
A．z的虚部为﹣4i
B．|z|＝3+4i
C．
D．z在复平面内对应的点在第三象限
2．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若，，均为非零向量，则
B．若，为相反向量，则
C．为相等向量
D．若均为单位向量，则
3．（5分）边长为1的正方形O'A'B'C'，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ）
A．2B．C．D．
4．（5分）若向量，满足，，，则＝（ ）
A．B．C．D．3
5．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（ ）
A．1B．C．D．3
6．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20+12B．28C．D．
7．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN为（ ）m．
A．100B．150C．200D．250
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有
（多选）9．（6分）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则t的值为﹣2
B．若，则t的值为
C．若t＝0，则在上的投影向量为﹣2
D．若（+）⊥（﹣），则
（多选）10．（6分）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数g（x）的图象的是（ ）
A．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
B．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
C．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．A＝ω＝2
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数y＝f（x）的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知A（1，2），B（2，3），C（﹣1，﹣1），则＝ ．
13．（5分）如图为2017年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，φ＞0，＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度为 ．
14．（5分）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心O的距离等于球半径的，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则该球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）在复数范围内解关于x的方程：x2+3x+4＝0．
（2）设i是虚数单位，求复数为纯虚数的充要条件；
（3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，求点D对应的复数．
16．（15分）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
（1）求∠EMF的余弦值；
（2）设，求λ的值．
17．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）csB＝bcsC．
（1）求B的大小；
（2）若点D满足，且，当a＝4时，求b的值．
18．（17分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．
（1）当时，求函数f（x）的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；
（2）设ω＝2，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a＝2，求△ABC面积的最大值．
19．（17分）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的取值范围；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，记方程在上的根从小到大依次为x1，x2，x3…xn﹣1，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z＝3﹣4i，则（ ）
A．z的虚部为﹣4i
B．|z|＝3+4i
C．
D．z在复平面内对应的点在第三象限
【分析】根据复数的有关定义和复数的意义分别判断即可．
【解答】解：∵复数z＝3﹣4i，
∴z的虚部是﹣4，故A错误；
∴|z|＝，故B错误；
∴；故C正确；
∴z在复平面上对应点是（3，﹣4），在第四象限，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若，，均为非零向量，则
B．若，为相反向量，则
C．为相等向量
D．若均为单位向量，则
【分析】根据平面向量数量积的定义与运算性质与向量相等的概念，判断出A项的正误；根据相反向量的定义，判断出B项的正误；根据两个向量平行的充要条件，判断出C项的正误；根据向量的模的公式与单位向量的定义，判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，由于向量的数量积是一个实数，
所以＝表示与共线的向量，其中；＝表示与共线的向量，其中．
因此，等式不一定成立，故A项不正确；
对于B，若、互为相反向量，则＝，而不是＝0，故B项不正确；
对于C，若、是相等向量，则、方向相同且大小相等，
而表示向量、的方向相同或相反，因此＝与∥不等价，故C项不正确；
对于D，若均为单位向量，则||2＝||2+||2+2，
因为||＝||＝1，所以＝||•||cs＜＞＝cs＜＞≤1，
由此可得||2＝2+2≤4，所以||≤2，结合||+||＝2，可知||≤||+||，故D项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的基本概念、两个向量平行的条件、向量的数量积及其性质等知识，属于中档题．
3．（5分）边长为1的正方形O'A'B'C'，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】根据斜二测画法的规则，还原出原来的图形，求出它的面积即可．
【解答】解：如图所示，
由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y'轴上，
可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形是平行四边形，
所以它的面积是1×2＝2cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了斜二测画法的规则与应用问题，解题时应还原出原来的图形，是基础题．
4．（5分）若向量，满足，，，则＝（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据向量数量积公式，化简求值．
【解答】解：，得，即．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
5．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．
【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
结合余弦定理，可得19＝a2+4﹣2×a×2×cs120°，
即a2+2a﹣15＝0，解得a＝3 （a＝﹣5 舍去），
所以BC＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．
6．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20+12B．28C．D．
【分析】法一：过A作AE⊥A1B1，得A1E＝＝1，AE＝＝．连接AC，A1C1，过A作AG⊥A1C1，求出A1G＝，从而AG＝＝，由此能求出正四棱台的体积．
法二：由四棱台的几何特征算出几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式能求出结果．
【解答】解法一：如图ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2．
在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A1E＝＝1，
AE＝＝＝．
连接AC，A1C1，
AC＝，A1C1＝＝4，
过A作AG⊥A1C1，A1G＝＝，
AG＝＝＝，
∴正四棱台的体积为：
V＝
＝
＝．
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
∵该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
∴该棱台的高h＝＝，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
则该棱台的体积为：
V＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
7．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由DC＝2BD 可得，利用向量的加法的三角形法则可求＝，，利用向量的数量积的定义代入可求
【解答】解：由DC＝2BD 可得，
∴＝＝＝
∵
∴＝＝
＝＝
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义的应用，解题中要注意向量加法、减法的三角形法则及向量共线定理的应用．
8．（5分）如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN为（ ）m．
A．100B．150C．200D．250
【分析】根据C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝100m，利用勾股定理求解出AC，正弦定理求解出AM，在△MAN中即可求解山高MN．
【解答】解：由题意：C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝100m，
勾股定理，可得AC＝．
在△MCA中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，那么∠AMC＝45°
AC＝．
正弦定理：AM×sin∠AMC＝AC×sin∠MCA
即AM×sin45°＝AC×sin60°
可得：AM＝100．
在Rt△MAN中，∠MAN＝60°，
可得：MN＝×sin60°＝150．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理在三角形的实际应用，考查计算能力．属于基础题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有
（多选）9．（6分）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则t的值为﹣2
B．若，则t的值为
C．若t＝0，则在上的投影向量为﹣2
D．若（+）⊥（﹣），则
【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法可得A正确，由向量平行的坐标表示方法可得B正确，由投影向量的计算公式分析C，由向量数量积的性质分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量，，若⊥，则•＝2+t＝0，解可得t＝﹣2，A正确；
对于B，向量，，若∥，则（﹣2）×t＝1×（﹣1），解可得t＝，B正确；
对于C，若t＝0，则＝（﹣1，0），则在上的投影向量为＝，C错误；
对于D，若（+）⊥（﹣），则（+）•（﹣）＝2﹣2＝0，则有||＝||，则不一定成立，D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数g（x）的图象的是（ ）
A．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
B．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
C．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
【分析】先利用诱导公式将函数变为正弦型三角函数；再利用三角函数图象间的变换规律即可得出答案．
【解答】解：，
由三角函数图象间的变换规律知：
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数g（x）＝的图象；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角函数图象的变换，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．A＝ω＝2
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数y＝f（x）的图象
【分析】由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω＝2，将代入函数f（x），结合|φ|＜，可求，即可得解函数解析式即可判断A；根据正弦函数的对称性，即可判断B；根据正弦函数的单调性，即可判断C；利用三角函数图象变换即可判断D．
【解答】解：由图可知A＝2，函数f（x）的周期，
由，解得ω＝2，
因为f（）＝2，可得，
解得，
由|φ|＜，
则，
所以，故A正确；
对于B，由f（﹣）＝2sin（﹣）＝2sin（﹣）＝﹣2，
根据正弦函数的对称性，可知直线是函数f（x）的对称轴，故B正确；
对于C，由，
则，
根据正弦函数的单调性，函数f（x）在上单调递增，故C正确；
对于D，由，
该函数图象向左平移个单位可得新函数的解析式为，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及正弦函数的性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知A（1，2），B（2，3），C（﹣1，﹣1），则＝ ﹣5 ．
【分析】先求出，的坐标，再利用向量的数量积运算求解．
【解答】解：∵A（1，2），B（2，3），C（﹣1，﹣1），
∴＝（1，1），＝（﹣2，﹣3），
∴＝1×（﹣2）+1×（﹣3）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
13．（5分）如图为2017年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，φ＞0，＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度为 20﹣5 ．
【分析】根据函数y的图象求出函数解析式，再计算x＝8时y的值．
【解答】解：根据函数y＝Asin（ωx+φ）+b的半个周期图象知，
，解得A＝10，b＝20；
又＝14﹣6＝8，
所以T＝16，所以ω＝＝；
又x＝6时，y＝10，即10sin（×6+φ）+20＝10，
解得φ＝2kπ﹣，k∈Z；
又＜φ＜π，
所以φ＝；
所以y＝10sin（x+）+20，
x＝8时，y＝10sin（×8+）+20＝﹣5+20；
即该天8h的温度为20﹣5．
故答案为：20﹣5．
【点评】本题考查了根据函数的部分图象求解析式的应用问题，是基础题．
14．（5分）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心O的距离等于球半径的，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则该球的表面积为 676π ．
【分析】求出△ABC的外接圆半径，根据勾股定理可得出关于R的等式，即可解得R的值，再利用球体的表面积公式可求得球O的表面积．
【解答】解：因为AB＝6，BC＝8，AC＝10，则AB2+BC2＝AC2，
所以，AB⊥BC，
所以，△ABC的外接圆半径为，
设球O的半径为R，由题意可知，，
即，解得R＝13，
因此，球O的表面积为S＝4πR2＝4π×132＝676π．
故答案为：676π．
【点评】本题考查球的表面积问题，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）在复数范围内解关于x的方程：x2+3x+4＝0．
（2）设i是虚数单位，求复数为纯虚数的充要条件；
（3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，求点D对应的复数．
【分析】（1）利用求根公式和复数的性质求解．
（2）利用复数的运算法则和纯虚数的定义求解．
（3）设点D对应的复数为a+bi，（a，b∈R），则A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（a，b），由平行四边形的性质得＝，由此能求出点D对应的复数．
【解答】解：（1）∵x2+3x+4＝0，
∴x＝，
∴x2+3x+4＝0的解为x1＝﹣﹣i，x2＝﹣+i．
（2）＝＝＝+i，
∵复数为纯虚数，
∴，解得a＝2，
∴复数为纯虚数的充要条件是a＝2．
（3）设点D对应的复数为a+bi，（a，b∈R），
∵在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，
∴A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（a，b），
∴＝（﹣1，2），＝（a﹣2，b﹣1），
由平行四边形的性质得＝，
∴（﹣1，2）＝（a﹣2，b﹣1），
∴，解得a＝1，b＝3，
∴点D对应的复数为1+3i．
【点评】本题考查复数运算法则、纯虚数的定义、求根公式、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（15分）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
（1）求∠EMF的余弦值；
（2）设，求λ的值．
【分析】（1）建立平面坐标系，利用夹角的坐标表示计算即可；
（2）利用向量共线的充要条件待定系数计算即可．
【解答】解：（1）以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则D（0，6），E（3，0），A（0，0），F（6，2），
所以，，
因为∠EMF是与的夹角，
所以，
所以∠EMF的余弦值为．
（2）因为，所以，则M（6λ，2λ），
又D，M，E三点共线，所以设，0＜t＜1，
即（6λ，2λ﹣6）＝t（3，﹣6），则，解得λ＝．
【点评】本题主要考查向量夹角的余弦公式，平面向量共线定理，考查运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）csB＝bcsC．
（1）求B的大小；
（2）若点D满足，且，当a＝4时，求b的值．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理化简已知等式可得csB＝，结合B∈（0，π），即可求解B的值；
（2）由题意可求BD＝CD＝2，在△ABD中，由余弦定理可得BA2﹣2BA+1＝0，解得BA＝c＝1，在△ABC中，由余弦定理可得b的值．
【解答】解：（1）因为（2a﹣c）csB＝bcsC，即2acsB＝bcsC+ccsB，
所以由正弦定理可得2sinAcsB＝sinBcsC+sinCcsB＝sin（B+C）＝sinA，
又A为三角形内角，sinA＞0，
所以可得csB＝，
因为B∈（0，π），
所以B＝；
（2）因为点D满足，且，a＝4，B＝，
所以BD＝CD＝2，
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝BA2+BD2﹣2BA•BD•csB，可得3＝BA2+4﹣2×，整理可得BA2﹣2BA+1＝0，
解得BA＝c＝1，
所以在△ABC中，由余弦定理可得b＝＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（17分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．
（1）当时，求函数f（x）的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；
（2）设ω＝2，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a＝2，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，再求它的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据A为钝角求出A的取值范围，由此求得A的值，
再利用余弦定理和基本不等式，即可求出△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）时，所以函数y＝f（x）的最小正周期为T＝＝3π，
图象相邻两条对称轴的距离：＝．
（2）ω＝2，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a＝2，
所以sin（2A）＝＝2sinAcsA，
解得csA＝；
由a＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2﹣bc≥2bcbc＝bc，
即bc≤a2＝4，当且仅当b＝c时取“＝”；
所以bc≤3，
所以△ABC面积的最大值为S△max＝bcsinA＝×3×＝．
【点评】本题考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．
19．（17分）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的取值范围；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，记方程在上的根从小到大依次为x1，x2，x3…xn﹣1，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．
【分析】（1）利用二倍角公式将f（x）化简确定函数f（x）的解析式，进一步求出函数的值域；
（2）先根据三角函数变换得到g（x）解析式，从而根据方程g（x）＝根据三角函数的对称性，找到x1，x2，x3，…，xn的数量关系．
【解答】解：（1）＝＝2sin2x，
由于，
所以2x∈[﹣π，π]，
故f（x）∈[﹣2，2]．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得 的图象，再把横坐标缩小为原来的，
得到函数的图象，
由方程，即，即，
因为，可得 ，
其中，
即，而 结合正弦函数y＝sinθ的图象，
，
可得方程 在区 有5个解，
即n＝5，其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，
即 ，．
解得． ，，，
所以．
【点评】本题考查二倍角公式，三角函数周期，奇偶性，平移变换，对称的性质，方程的零点问题，属于中档题．