广东省深圳中学2024届高三下学期二轮三阶段测数学试题

这是一份广东省深圳中学2024届高三下学期二轮三阶段测数学试题，共13页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知数列各项为正数，满足，，则等内容，欢迎下载使用。
数学
2024年4月20日
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的虚部是（ ）
A．1B．iC．D．
2．命题“，”的否定形式是（ ）
A．，或B．，且
C．，或D．，且
3．展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（ ）
A．8B．9C．10D．11
4．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点为．若，则的面积为（ ）
A．2B．C．3D．4
6．已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
7．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A．在单调递减B．在单调递减
C．在单调递减D．在单调递减
8．在一个抽奖游戏中共有扇关闭的门，其中扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后．参赛者先选择一扇门，但不立即打开．主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门．参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知为坐标原点，点，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能为（ ）
A．椭圆或双曲线B．抛物线
C．圆D．一个点
11．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、（、不重合），设直线、分别与轴交于点、，则（ ）
A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值
C．线段的长度为定值D．面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某同学高三以来成绩依次为110，93，92，93，88，86，则这组数据的第40百分位数为______．
13．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正切值为______．
14．如图，棱长为2的正方体容器，在顶点和棱的中点处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一：投资股市：
方案二：购买基金：
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）若要将10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
16．（本小题满分15分）已知抛物线，过点的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
（Ⅰ）证明：坐标原点在圆上；
（Ⅱ）设圆过点，求直线的方程．
17．（本小题满分15分）如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体．已知，且二面角的平面角的正切值为．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）请指出图2中哪个角是二面角的平面角，并计算线段的长度；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
18．（本小题满分17分）已知函数．
（Ⅰ）当，时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）记．对数列和的子集，若，定义；若，定义．
例如：时，．
现设是公比为3的等比数列，且当时，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数，若，求证：；
（Ⅲ）设，，，求证：．
深圳中学2024届高三二轮三阶测试数学答案
一、选择题
二、填空题
12．9213．14．6
3．【答案】A 【详解】当时，是最大的二项式系数，符合要求，
当时，是最大的二项式系数，符合要求，当时，是最大的二项式系数，符合要求，当时，显然，不满足，故选：A．
4．【答案】B 【详解】正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为．故选：B．
5．【答案】D 【详解】设与渐近线交于，则，，，所以，，由，分别是与的中点，知且，即，由得，，所以，故选：D．
6．【答案】C 【详解】因为数列各项为正数，满足，，故对任意的，，则，所以，数列的每一项都是正数，所以，，可得，由等差中项法可知，数列是等差数列，故选：C．
7．【答案】D 【详解】不妨设，，满足题意，
此时在单调递增，故A选项错误；
在单调递增，故B选项错误；
在单调递增，故C选项错误；
对于D选项，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，所以有，，又，在单调递减，且当时，有，所以由复合函数单调性可知，，在上分别单调递增、单调递减，不失一般性，不妨设，则，，所以在单调递减，故D选项正确．故选：D．
8．【答案】C 【详解】不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为；换门：若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为；若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概率为．所以换门的中奖概率为．故选：C．
9．【答案】ABD 【详解】对于A，，A正确；对于B，，，，因此，B正确；对于C，由选项B知，C错误；
对于D，如图，与线段交于点，由三角形全等易得垂直平分，，而在方向上的投影向量即为，则，故D正确．
【本题从投影向量或者和差化积公式的角度，都可以证明D选项正确．】
10．【答案】ACD 【详解】当点在圆外时，连接，因点在线段的中垂线上，如图，
则，有，
因此点的轨迹是以点，为两焦点，实轴长为4的双曲线；
当点在圆内（除圆心外）时，连接，因点在线段的中垂线上，如图，则，有，因此的轨迹是以点，为两焦点，长轴长为4的椭圆；
当点与圆心重合时，有与重合，则线段的中垂线与交点是线段中点，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆；
当点在圆上时，圆上点与不重合，弦的中垂线过圆心，即线段的中垂线与交点是点，因此点的轨迹是点，
所以所有可能的结果有4个：椭圆、双曲线、圆、点．
11．【答案】BCD 【详解】由函数，则，设，，当，时，由题意可得，，化简得，符合题意；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
对于A，，故A错误；
对于B，直线的斜率，故B正确；
对于C，易知直线，直线，
令，则，即，同理可得，
，故C正确；
对于D，联立，整理可得，解得，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则当时，，所以，，故D正确．故选：BCD．
12．【答案】92 【解析】因为，所以取从小到大排列后的第三个数，即第40百分位数为92．
13．【答案】 【详解】设，根据题意可得，且，即，又，则，，解得．
14．【答案】6 【详解】棱长为2的正方体的体积为，
在，上分别取，，使得，
又为棱的中点，故由勾股定理得，
故四边形为菱形，故，，，四点共面，
取，，的中点，，，连接，，，，
则平面将长方体的体积平分，故以为轴转动正方体，则用此容器装水，则最多能装入的体积为长方体的体积加上长方体的体积的一半，故最多能装水的体积．
三、解答题
15．【解析】（Ⅰ）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以，又因为，所以．
（Ⅱ）假设选择“投资股票”方案进行投资，且记为投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：
则．
假设选择“购买基金”方案进行投资，且记为购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量的分布列为：
则．
因为，所以选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
16．【解析】（Ⅰ）显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，，，联立：得，
恒大于0，，．
，即在圆上．
（Ⅱ）若圆过点，则，，
，
化简得解得或1．
①当时，．②当时，．
17．【解析】（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，
又，所以平面．因为平面，所以．
又因为折叠前后均有，，所以平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，所以二面角的平面角为．
又平面，平面，所以．
依题意．因为，所以．
设，则．
依题意，所以，即．
解得，故，，．
（Ⅲ）法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，．
由（Ⅰ）知平面的法向量．
设平面的法向量
由得
令，得，，所以．
所以．
由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
法2：因为平面，过点作交于，则平面．
因为平面，所以．
过点作于，连接，所以平面，因此．
所以二面角的平面角为．
由平面几何知识求得，，
所以．所以．
所以二面角的余弦值为．
18．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为．
当，时，，所以．
令，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）因为对任意，有成立，
因为，所以．
因为，则．
所以，所以．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，，
因为与，所以．
设，
则．
所以在上单调递增，故，所以．
从而．所以即，
设，则．
当时，，所以在上单调递增．
又，所以，即为，解得．
因为，所以的取值范围为．
19．【解析】
（Ⅰ）由已知得，．
于是当时，．又，故，即．
所以数列的通项公式为，．
（Ⅱ）因为，，，
所以，因此，．
（Ⅲ）下面分三种情况说明．
①若是的子集，则．
②若是的子集，则．
③若不是的子集，且不是的子集．
令，，则，，．
于是，，进而由得．
设为中的最大数，为中的最大数，则，，．
由（Ⅱ）知，．于是，所以，即．
又，故．从而
，
故，所以，即．
综合①②③得，．投资结果
获利
不赔不赚
亏损
概率
投资结果
获利
不赔不赚
亏损
概率
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
D
A
B
D
C
D
C
ABD
ACD
BCD
4
0
2
0