河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题

这是一份河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题，共15页。试卷主要包含了已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则右图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
2．若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4B．6C．7D．9
4．自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数．Tanh函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ）
A．B．3C．1D．或3
5．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（ ）
A．1B．C．D．2
6．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力．如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
7．《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法．若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意实数，都有，则
B．若，函数在上是单调递增函数，则
C．若，函数在上的最大值为．最小值为，则的最小值为
D．若，函数在上有最小值，则实数的取值可以为
11．已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
B．若直线的斜率之积为，则直线恒过定点
C．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
D．若直线的斜率之积为．则直线但过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的二项展开式中常数项为60，则______．
13．光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率．如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______．
14．若不等式，对于恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
16．（本小题满分15分）
双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值及年产量的第75百分位数；
（2）假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值．
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的左焦点为，经过点的直线交双曲线于点，，当直线轴时，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，直线与双曲线交于两点，且的面积为，证明：点在双曲线上．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若有两个极值点，证明：．
参考答案、提示及评分细则
1．【答案】 B
【解析】 或，，．故选B．
2．【答案】 D
【解析】 由题得，，．故选D．
3．【答案】 C
【解析】 ，，．故选C．
4．【答案】 A
【解析】 ，，，（舍）．
，．故选A．
5．【答案】 C
【解析】 联立直线与抛物线的方程，得消去，得．
，解得，．
，．故选C．
6．【答案】 B
【解析】 如图，过点作，交直线于点，
则，．
设，．则．
，．
由图可知，当与半圆相切时，最大，易求得，
即最大为．的最大值为．故选B．
7．【答案】 A
【解析】 如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心．在上取一点，满足，则为三棱锥的外接球球心．当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，此时点与点重合．作，垂足为，，为三棱锥的高．
由正四面体的棱长为，易知，，．
设，则，．由，得．
解得．．．故选A．
8．【答案】 D
【解析】 ，．
当时，；当时，．当时，取得最大值为．
函数的值域为．
令，则，要使函数的值域为，则．解得或，综上，．故选D．
9．【答案】 ABC（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】 依题意，事件，事件不能同时发生，．
，，，．
．．故选ABC．
10．【答案】 ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】 选项A，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程．
，．．，，正确；
选项B，令，解得．
在区间上是单调递增函数，则是的一个子区间．
当时，，则，错误；
选项C，当时，．
令，，则问题转化为在上的最大值为，最小值为．要使得最小，则的最大值或最小值点是区间的中点．
根据的图象特点，可知或，解得或．
当时，，，；当时，，，，正确；
选项D，，．根据正弦函数的图象可知，解得，正确．故选ACD．
11．【答案】 ABC（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】 易知，，设，．
依题意，设直线的方程为．，，，．
联立得．，．
，
．代入整理，得．，，．直线恒过定点；
，代入整理，得，解得或（舍去）．直线恒过定点；
．
代入整理，得，或，恒过定点（舍去）或；．代入整理，得，解得或，恒过定点或（舍去）．直线恒过定点．故选ABC．
12．【答案】
【解析】 展开式的通项为．令，得，则的常数项为．当常数项为60时，．
13．【答案】
【解析】 如图，入射角，，，．易知，．
该光线再次返回空气中时，其所在直线的斜率为．
直线的方程为，整理得．
14．【答案】
【解析】 令，则．
由，解得．
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值．
也是最小值为，
易知，．
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
即，即．
的最大值为．
15．【答案】 （1）（2）略
【解析】 （1）解：，，，
，两式相除，得，
当，时，，，即；
当，时，，，即，
综上所述，数列的通项公式为；
（2）证明：，
，
，
．
16．【答案】（1）0.010，180（2）6
【解析】 （1），
设产量的第75百分位数为，则，，解得，
年产量的第75百分位数为180；
（2）产量在中的工人有（人），
，，
若，则，解得，
故当时，；当时，，
故当时，取得最大值．
17．【答案】（1）略（2）1
【解析】 （1）证明：如图，依题意，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
令，得 ，
设平面的法向量为，
令，得 ，
，平面平面；
（2）解：假设线段上存在点满足条件，．，
设直线与平面所成的角为，
由题意可得，
化简得，解得或（舍去），
即存在点符合题意，此时．
18．【答案】（1）（2）略
【解析】 （1）解：依题意，双曲线过点，代入双曲线解析式，得，
解得，双曲线的标准方程为；
（2）证明：直线与双曲线方程联立得消去整理可得，
所以，则，
设，，则，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
令，则，，，，
则，所以，则点在双曲线上．
19．【答案】（1）（2）略
【解析】 （1）解：当时，．，，，
切线方程为，当时，；当时，，
切线与两坐标轴围成的三角形的面积为；
（2）证明：依题意，有两个不等正根，不妨设，
由得，设，则，
在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，可得，，
，，
令，，
当时，，，
当时，，，
在上单调递增，
，，，，
易知，，
令，，，在上单调递减，
，即，
，
，，
．