江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年高一下学期期中调研数学试卷

这是一份江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年高一下学期期中调研数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）++等于（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）cs50°cs160°﹣cs40°sin160°＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
3．（5分）若向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝（ ）
A．B．2C．D．
5．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．6C．D．14
6．（5分）已知向量，的夹角为，且，，则＝（ ）
A．19B．7C．D．
7．（5分）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如果满足∠ABC＝45°，AB＝6，AC＝b的△ABC有且只有一个，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（0，6]B．[6，+∞）C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列命题正确的是（ ）
A．||＝||⇔＝B．||＞||⇔＞C．||＝0⇔＝D．＝⇔
（多选）10．（6分）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．（6分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B，C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若acsB＝bcsA，则△ABC为等腰三角形
B．若atanA＝btanB，则△ABC为等腰三角形
C．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为锐角三角形
D．若cs2A+cs2B+cs2C＞﹣1，则△ABC为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若cs（α﹣）＝，则sin2α＝ ．
13．（5分）已知为一个单位向量，若在上的投影向量为，，则与的夹角为 ．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，且a＝4，则A＝ ，△ABC面积的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）化简与求值：
（1）；
（2）．
16．（15分）已知在△ABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且．
记．
（1）用，表示向量；
（2）若，且AM⊥CN，求∠BAC的大小．
17．（15分）电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记∠ACB＝α，∠ADB＝β（图1），测得CD＝225米，tanα＝2，．
（1）请据此算出电视塔AB的高度；
（2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知AE＝50米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图2），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角θ最大？
18．（17分）已知ΔABC中，AB＝4，AC＝2，M为BC边上的点．
（1）若BC＝3，求BC边上的高；
（2）若M为BC的中点，且∠BAC＝60°，求线段AM的长；
（3）若AM平分∠BAC，求线段AM长的取值范围．
19．（17分）给出定义：对于函数f（x）＝msinx+ncsx，则称向量为函数f（x）的特征向量，同时称函数f（x）为向量的特征函数．
（1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求；
（2）设向量的特征函数为h（x），且，，求sinθ的值；
（3）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，设函数φ（x）＝bsinx+2ccsx的特征向量为，且，M，N分别是边AB，AC的中点，求的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）++等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平面向量的加法运算法则，进行化简即可．
【解答】解：根据平面向量的加法运算，得；
++＝（+）+
＝+
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的加法运算法则问题，解题时应利用平面向量的加法运算法则进行化简，是容易题．
2．（5分）cs50°cs160°﹣cs40°sin160°＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，化简所给的式子为sin（﹣120°），从而求得结果．
【解答】解：cs50°cs160°﹣cs40°sin160°
＝sin40°cs160°﹣cs40°sin160°
＝sin（40°﹣160°）
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．
3．（5分）若向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用向量的夹角运算和向量的模的运算的应用求出结果．
【解答】解：对于向量，
所以，
由于θ∈[0，π]，
所以：．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（5分）在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据题意和三角形的内角和定理求出角C，再由正弦定理求出边c．
【解答】解：由A＝75°，B＝45°得，C＝180°﹣A﹣B＝60°，
由正弦定理得，，
则c＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查利用正弦定理解三角形，以及三角形的内角和定理，属于基础题．
5．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．6C．D．14
【分析】直接利用海伦公式求出三角形的面积．
【解答】解：由于a＝7，b＝3，c＝8，
所以p＝
所以利用海伦公式，S＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，海伦公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6．（5分）已知向量，的夹角为，且，，则＝（ ）
A．19B．7C．D．
【分析】根据平面向量的数量积与模长公式求解即可．
【解答】解：由题意可得||＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合两角和与差的正切公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以tan2α＝tan[（α+β）+（α﹣β）]＝＝＝，
tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]＝＝＝，
则＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了和差角公式在三角求值中的应用，属于基础题．
8．（5分）如果满足∠ABC＝45°，AB＝6，AC＝b的△ABC有且只有一个，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（0，6]B．[6，+∞）C．D．
【分析】由正弦定理列式，得出sinC＝＝，根据符合条件的△ABC有且只有一个，列式算出b的取值范围．
【解答】解：根据正弦定理，得，即＝，解得sinC＝，
若满足条件的△ABC有且只有一个，则C＝90°或C≤B＝45°，
所以sinC＝＝1或sinC＝≤，结合b＞0，解得b＝或b≥6，
即实数b的取值范围是[6，+∞）∪{}．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用正弦定理解三角形、三角函数的性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列命题正确的是（ ）
A．||＝||⇔＝B．||＞||⇔＞C．||＝0⇔＝D．＝⇔
【分析】由题意利用共线向量，向量的模的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：由||＝||，不能推出＝，故排除A；
由||＞||，不能推出＞，故排除B；
||＝0⇔＝，正确；
＝，不等于∥，故排除D，
故选：C．
【点评】本题主要考查共线向量，向量的模的定义，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知结合和差角公式，二倍角公式，辅助角公式检验各选项即可判断．
【解答】解：cs15°＝cs（60°﹣45°）＝cs60°cs45°+sin60°sin45°＝＝，A正确；
因为tan（10°+50°）＝＝，B正确；
sin15°﹣cs15°＝2（cs60°sin15°﹣sin60°cs15°）＝2sin（﹣45°）＝﹣，C错误；
sin15°sin30°sin75°＝sin15°cs15°＝＝，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B，C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若acsB＝bcsA，则△ABC为等腰三角形
B．若atanA＝btanB，则△ABC为等腰三角形
C．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为锐角三角形
D．若cs2A+cs2B+cs2C＞﹣1，则△ABC为钝角三角形
【分析】选项A，利用正弦定理化边为角，再由两角差的正弦公式，即可判断；选项B，结合同角三角函数的商数关系，正弦定理与余弦定理，化简推出a＝b，从而作出判断；选项C，利用同角三角函数的平方关系与正弦定理，化简运算，即可作出判断；选项D，结合二倍角公式，运用两次和差化积，推出csCcsAcsB＜0，从而作出判断．
【解答】解：选项A，由acsB＝bcsA及正弦定理得，sinAcsB＝sinBcsA，
所以sin（A﹣B）＝0，即A＝B，
所以△ABC为等腰三角形，即选项A正确；
选项B，因为atanA＝btanB，
所以a•＝b•，
由正弦定理知，，
由余弦定理知，＝，
整理得，（a3﹣b3）+（a﹣b）c2﹣ab（a﹣b）＝0，
所以（a﹣b）（a2+ab+b2+c2﹣ab）＝0，即（a﹣b）（a2+b2+c2）＝0，
因为a2+b2+c2＞0，所以a﹣b＝0，即a＝b，
所以△ABC为等腰三角形，即选项B正确；
选项C，因为sin2A+sin2B+cs2C＜1，
所以sin2A+sin2B＜1﹣cs2C＝sin2C，
由正弦定理知，a2+b2＜c2，
所以△ABC为钝角三角形，即选项C正确；
选项D，由cs2A+cs2B+cs2C＞﹣1知，cs2A+cs2B＞﹣（1+cs2C），
所以2cs（A+B）cs（A﹣B）＞﹣2cs2C，
因为A+B＝C，所以cs（A+B）＝﹣csC，
所以﹣2csCcs（A﹣B）＞﹣2cs2C，即csC[cs（A﹣B）﹣csC]＜0，
所以csC[cs（A﹣B）+cs（A+B）]＜0，
所以csCcsAcsB＜0，
又A+B+C＝π，
所以A，B，C中有且仅有一个是钝角，
所以△ABC是钝角三角形，即选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正余弦定理，和差化积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若cs（α﹣）＝，则sin2α＝ ．
【分析】由已知结合两角差的余弦公式及同角平方关系，二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为cs（α﹣）＝＝，
所以csα+sinα＝，
两边平方得1+2sinαcsα＝
则sin2α＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式，同角平方关系及二倍角公式，属于基础题．
13．（5分）已知为一个单位向量，若在上的投影向量为，，则与的夹角为 ．
【分析】结合投影向量的定义，即可求解．
【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]
在上的投影向量为，为一个单位向量，
则，即csθ＝，解得θ＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，且a＝4，则A＝ ，△ABC面积的值为 ．
【分析】由余弦定理可得3a2﹣3b2+c2＝0，且a2+5b2﹣5c2＝0，2a2+b2﹣2c2＝0，可得b，c的值，再由余弦定理可得csA的值，进而求出角A的大小，再求出△ABC的面积．
【解答】解：因为，由余弦定理可得＝＝，
所以3a2﹣3b2+c2＝0，且a2+5b2﹣5c2＝0，2a2+b2﹣2c2＝0，
又因为a＝4，
所以b2＝，c2＝，
由余弦定理可得csA＝＝＝，而A∈（0，π），
可得A＝，
S△ABC＝bcsinA＝sinA＝•a•＝＝．
故答案为：；．
【点评】本题考查余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）化简与求值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）由同角三角函数关系及两个差的正切公式求解即可；
（2）由余弦的二倍角公式及两角和差的余弦公式求解即可．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）由倍角公式cs2α＝1﹣2sin2α，得，
所以sin2（α﹣）+sin2（α+）﹣sin2α
＝．
【点评】本题考查了两角和差的正切、余弦公式及二倍角公式的应用，属于中档题．
16．（15分）已知在△ABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且．
记．
（1）用，表示向量；
（2）若，且AM⊥CN，求∠BAC的大小．
【分析】（1）由平面向量的线性运算计算即可；
（2）由平面向量的线性运算将用表示出来，再由向量垂直的性质建立方程求得，从而即可求得．
【解答】解：（1）因为M是边BC的中点，N是边AB上的点，且，
所以＝；
（2）因为M是边BC的中点，N是边AB上的点，且，
所以，
因为AM⊥CN，所以，即，
所以，化简得：，
因为，所以，
所以＝，
即，所以，即．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
17．（15分）电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记∠ACB＝α，∠ADB＝β（图1），测得CD＝225米，tanα＝2，．
（1）请据此算出电视塔AB的高度；
（2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知AE＝50米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图2），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角θ最大？
【分析】（1）由锐角的正切函数的定义，解方程可得所求值；
（2）运用两角差的正切公式，结合基本不等式可得所求．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，得，
在Rt△ABD中，得BD＝2AB，
因为CD＝BD﹣BC，所以，解得AB＝150米．
（2）由图可知θ＝∠AFB﹣∠EFB，设BF＝x米，
则
＝，
当且仅当，即时等号成立．
显然且y＝tanθ在单调递增，即tanθ最大时，θ最大．
【点评】本题考查解直角三角形，以及两角差的正切公式和基本不等式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（17分）已知ΔABC中，AB＝4，AC＝2，M为BC边上的点．
（1）若BC＝3，求BC边上的高；
（2）若M为BC的中点，且∠BAC＝60°，求线段AM的长；
（3）若AM平分∠BAC，求线段AM长的取值范围．
【分析】（1）根据余弦定理求得csB＝，进而可得sinB＝，然后根据锐角三角函数的定义，算出BC边上的高的值；
（2）根据三角形中线的性质，可得，两边平方并利用数量积的运算法则化简，算出||＝，可得答案；
（3）设，利用三角形的面积公式列式，化简出用α表示AM长的表达式，然后根据余弦函数的性质算出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得＞0，
可知B为锐角，所以，
设△ABC中，BC边上的高为AD，则在Rt△ABD中，AD＝．
（2）根据题意，可得＝||•||cs60°＝4，
因为M是BC的中点，所以，
两边平方得＝（16+4+8）＝7，
所以||＝，即线段AM的长等于；
（3）设，因为AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝α，
由S△BAC＝S△BAM+S△CAM，得，
即，整理得，即线段AM的长范围是．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算性质、利用余弦定理解三角形、三角恒等变换公式与三角形的面积公式及其应用，属于中档题．
19．（17分）给出定义：对于函数f（x）＝msinx+ncsx，则称向量为函数f（x）的特征向量，同时称函数f（x）为向量的特征函数．
（1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求；
（2）设向量的特征函数为h（x），且，，求sinθ的值；
（3）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，设函数φ（x）＝bsinx+2ccsx的特征向量为，且，M，N分别是边AB，AC的中点，求的取值范围．
【分析】（1）利用平面向量数量积公式即可求解；
（2）利用三角函数的恒等变换和两角差的正弦公式即可求解；
（3）利用两向量的平行公式和余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）给出定义：对于函数f（x）＝msinx+ncsx，则称向量为函数f（x）的特征向量，
因为向量分别为函数与函数的特征向量，
根据定义得，
所以；
（2）对于函数f（x）＝msinx+ncsx，则称向量为函数f（x）的特征向量，同时称函数f（x）为向量的特征函数，
因为且h（x）是其特征函数，
所以，
由得，即，
所以，
因为，所以，
又因为，
所以，即，
故
＝，
则sinθ的值是；
（3），由得b＝2c，
设c＝2t，则b＝4t，因为M，N分别是AB，AC中点，所以AM＝t，AN＝2t，
在△BAN中，由余弦定理得：
BN2＝4t2+4t2﹣2×2t×2tanA＝8t2﹣8t2csA，
在△CAM中，由余弦定理得：
CM2＝t2+16t2﹣2×t×4t×csA＝17t2﹣8t2csA，
所以
＝，即．
【点评】本题考查了平面向量数量积、三角函数的恒等变换和正、余弦定理的综合应用，属于中档题．