黑龙江省牡丹江市第三高级中学2023-2024学年高三下学期高考前适应性演练数学试卷

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参考答案：
1．B
【详解】解：解不等式得，
所以，｝，故.
2．B
【详解】，∴虚部为－1．
3．D
【详解】向量在向量上的投影是 ,
4．A
【详解】解：若“是等腰三角形”，则当，则不一定成立，
若，则，
即，
即，，，
则，
则“是等腰三角形”成立，
即“”是“是等腰三角形”充分不必要条件，
5．A
【详解】已知，，，，
，
因此，.
6．A
【详解】由题意，得，即，
于是当时，（小时）.
7．B
【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有种，
再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，
所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种；
8．B
【详解】设，则PE的中点坐标为，代入，可得，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线，
由于，故在抛物线内部，
过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义），
故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以，
9．ABD
【详解】对于A，数据2，3，5，8，6的极差是，故正确；
对于B，因为，所以数据2，4，6，8，10，12，14，16的第25百分位数是，故正确；
对于C，1、2、3、4四个数的中位数为2.5，不在原始数据中，故错误；
对于D，数据的平均数为3，数据的平均数为11，则数据的平均数为，故正确；
10．ABC
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
11．BCD
【详解】对于A中，取的中点，的中点为，连接，
由为等边三角形，所以，
又由正三棱柱中，可得，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，
过作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面，
在矩形中，，所以，
如图所示，此时的延长线与线段无公共点，
所以不存在点，使得平面，所以A错误；
对于B中，因为，在直角中，可得，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，
又因为，所以动点的轨迹长度为，所以B正确；
对于C中，由点为中点， 取的中点，连接，
可得，，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可得平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面平面，
由平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，所以C正确；
对于D中，由，当点在内及其边界上运动时，
可得，因为，
所以存在点，使得三棱锥的体积为，所以D正确.
12．
【详解】在等差数列中，又，所以，
所以.
13．.
【详解】设，则由可得，化简得.
14．
【详解】因为双曲线的焦距为，所以．
双曲线渐近线方程为，即，
设，分别为点到和的距离，
则到两条渐近线的距离之积
，
又，
，
所以，
又
所以．
所以．
所以．
因为，所以，．
所以双曲线的方程为．
15．(1)；
(2)最小值为，最大值为8
【详解】（1）根据题意，，则，
因为，所以．
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得；
（2）由（1）可知，，．
故函数在区间上单调递增，
则函数最小值为最大值为.
16．(1)
(2)联表见解析，不能
【详解】（1）
所以，
所以线性回归方程
（2）列联表如下：
提出假设：学生线上学习满意度与学生性别无关，
计算得：
因为
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，连接，
四边形为正方形，，，
平面，平面，，；
，，平面，平面，
平面，平面，又为中点，，
平面，又平面，平面，
，；
，为中点，；
，平面，平面，
又平面，，
，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，即平面与平面夹角余弦值为，
平面与平面的夹角为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据已知条件得到之间的关系，再根据三角形的面积求得的值，进而得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程和的坐标，利用根与系数的关系求出两点坐标间的关系，接着根据得到直线过定点；当直线的斜率不存在时得直线也过点，最后根据圆的性质求得结果.
【详解】（1）在中，
令，得，令，得，
因为直线过的左顶点与上顶点，所以．
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以，
得，则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
由可得，
则，即，
，
则，
．
由可得，
故，
即，
即，
化简可得，
所以或．
若时，直线的方程为，直线过点，不符合题意；
若时，直线的方程为，直线过定点．
当直线的斜率不存在时，设其方程为，
则可令，，
由得，
即
，
解得或（直线过点，舍去），
此时直线的方程为，显然也过点．
由可得点在以为直径的圆上，
圆心为的中点，半径为，
故点在圆上，
则到直线的距离的最大值为．
19．(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得出的可能取值为，求出相应的概率，即可求出结果；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”，从而有，再利用全概率公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题知的可能取值为，
，，
所以小张答对的题数的分布列为
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”，
由题知，，，，
则.
满意人数
不满意人数
合计
男生
15
5
20
女生
20
5
25
合计
35
10
45