四川省达州外国语学校2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题

这是一份四川省达州外国语学校2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题，共8页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则复数在复平面内所对应的点Z位于第( )象限
A．一B．二C．三D．四
2．已知集合，，则=( )
A．B．C．D．
3．某超市集团共有4家超市，2023年4家超市的年利润最小值和最大值分别为200万元和240万元，若4家超市2023年年利润的平均数与中位数相等，则2023年该超市集团的总利润为( )
A．840万元B．880万元C．920万元D．980万元
4．已知直线与圆交于两点，若，则( )
A．B．C．D．
5.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
6．已知数列满足，（），则( )
A. B. C. D. 2
7．某校甲、乙、丙、丁4个小组到A，B，C这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为( )
A. B. C. D.
8．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．具体为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为( )
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量，，则下列结论中正确的是( )
A．B．C．D．
10．若函数的图像关于直线对称，则的零点可以是( )
A．B．C．D．
11． 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为( )
A．在中点时，平面平面
B．异面直线所成角的余弦值为
C．在同一个球面上
D．，则点轨迹长度为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的展开式中，的系数为________.
13．已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为________.
14．若不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．
（1）求的面积；
（2）若直线交于两点，求．
16．（15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若的面积等于，求的周长的最小值．
17．（15分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，为中点．求：
（1）与平面所成角的正弦值；
（2）点到平面的距离．
18．（17分）某公司有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为、、，员工隶属于甲部门.在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立.
（1）现采用分层抽样的方法从中抽取人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率；
（2）将甲部门的名员工随机平均分成组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验.记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望.
19．（17分）已知函数.
（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值并求函数的极值；
（2）若恒成立，求证：对任意正整数，都有.
达州外国语学校高二下学期半期质量监测
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
DBBAAACC
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
ABC AC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．1013．14．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
15．解：【1】椭圆的方程为，所以，，
则，，所以椭圆的面积；
【2】联立，得，
，，，
.
16．解：【1】因为，所以，
因为，所以，所以，
∵，所以，所以，∴；
【2】依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
17.解：【1】由题意可知两两垂直，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，
则，
故，
设平面法向量为，
则有，可取，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为；
【2】，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则点到平面的距离为．
18.解：【1】由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人，人，人.
记事件：“员工被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，
所以员工被抽到的概率为.
【2】甲部门的名员工随机平均分成组，每组人，记“小组血样化验结果呈阴性”为事件，由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以，
所以的可能取值为、、，
所以﹔
，
所以分布列为下表：
则的期望为．
19.解：【1】因为，所以，
依题意可得，即，
所以，定义域为，
所以，
令可得，
所以当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，无极小值.
【2】函数的定义域为，
因为恒成立，即对任意的恒成立，
即，其中，
令，则，即，
构造函数，，则，令，得，列表如下：
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，，
即时，恒成立，
取，则对任意的恒成立，
令，则，
所以，
所以.2
5
8
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减