(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学第四章数列章末测试(基础)(原卷版+解析)

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A．98B．99C．100D．101
2．（2022·江苏盐城·高二期中）已知是等差数列，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．（2022·广西北海·一模（理））已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ）
A．1640B．1660C．1680D．1700
4．（2022·北京）若等差数列满足，则当的前项和的最大时，的值为（ ）
A．7B．8C．9D．8或9
5．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ）
A．13B．C．3或D．或13
6．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50
7．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））在数列中，，，则（ ）
A．958B．967C．977D．997
8．（2022·宁夏·银川一中）若正项等比数列的前项和为，，，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知等比数列 ，=1， ，则（ ）.
A．数列 是等比数列
B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列
D．数列 是递增数列
10．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·山西太原）已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．有最大值
12．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前项和为
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·福建）已知数列的前n和，则数列的通项公式为________．
14．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））已知3为，的等差中项，2为，的等比中项，则___________.
15．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在正项等比数列中，，则______．
16．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：,数列的前n项和
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和．
18．（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数列的前n项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
19．（2022·甘肃·敦煌中学高二期中）已知数列为等比数列，，，．
(1)求；
(2)若数列满足，，求．
20．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））已知是等差数列，，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若等比数列满足，，求的通项公式.
21．（2022·江苏无锡·高三期中）已知数列的首项为2，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前n项和．
22．（2022·江苏镇江·高三期中）已知数列首项为2，满足，求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前n项和.
第四章 数列 章末测试（基础）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·江苏盐城·高二期中）401是等差数列5，9，，的第项．（ ）
A．98B．99C．100D．101
答案：C
【解析】等差数列5，9，13，…中，
首项，公差，
，
，
故401是等差数列5，9，13…的第100项．
故选：C.
2．（2022·江苏盐城·高二期中）已知是等差数列，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
答案：B
【解析】设等差数列的公差为 ，由得，，
则故选：B.
3．（2022·广西北海·一模（理））已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ）
A．1640B．1660C．1680D．1700
答案：A
【解析】由，
有，有．
又由，可得，可得，
则数列的前81项的和为．
故选：A
4．（2022·北京）若等差数列满足，则当的前项和的最大时，的值为（ ）
A．7B．8C．9D．8或9
答案：B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以当的前项和的最大时，的值为8.
故选：B.
5．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ）
A．13B．C．3或D．或13
答案：D
【解析】a是4与6的等差中项，故，
b是与的等比中项，则，则，或.
故选：D
6．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50
答案：C
【解析】∵，∴，
由已知，得，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：C.
7．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））在数列中，，，则（ ）
A．958B．967C．977D．997
答案：C
【解析】，，则
上述式子累加得
，
，
故选：C.
8．（2022·宁夏·银川一中）若正项等比数列的前项和为，，，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：C
【解析】设公比为，由题意知，
，
，
，
化简得，
解得，
，
．
故选：C．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知等比数列 ，=1， ，则（ ）.
A．数列 是等比数列
B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列
D．数列 是递增数列
答案：ACD
【解析】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确； ，数列 是递增的等差数列，故C，D正确.故选：ACD.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【解析】因为，所以，即，解得或，
又，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
，所以C不正确；
由，得，，
所以，所以D正确．
故选:ABD
11．（2022·山西太原）已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．有最大值
答案：AB
【解析】当时，，
当时，
，符合，
故，
所以，，
所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；
，B正确；
因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；
，
易知当或时，有最大值，D错误.
故选：AB
12．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前项和为
答案：AD
【解析】由题意得，则，而，
故是首项为，公比为的等比数列，
，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，
对于D，，的前项和为，故D正确，
故选：AD
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·福建）已知数列的前n和，则数列的通项公式为________．
答案：
【解析】，整理得到：，故答案为：.
14．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））已知3为，的等差中项，2为，的等比中项，则___________.
答案：
【解析】由等差、等比中项可得，所以，故答案为：
15．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在正项等比数列中，，则______．
答案：2
【解析】在正项等比数列中，，
所以，
所以，，
．
故答案为：2
16．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.
答案：28
【解析】依题意，数列，的通项公式分别为，令，
即有，则，因此，即，有，
于是得数列的通项为，，由得：，
所以数列的第10项是数列的第28项.故答案为：28
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：,数列的前n项和
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和．
答案：(1)(2)
【解析】（1）解:由题知
,
是以2为公比的等比数列,
,
的前n项和,
时,
当时,,
故,
综上:;
（2）由(1)知,
,
,①
,②
②-①可得:
故.
18．（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数列的前n项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以，
又，则等差数列的公差
又，
所以数列的通项公式.
（2）因为，
所以.
19．（2022·甘肃·敦煌中学高二期中）已知数列为等比数列，，，．
(1)求；
(2)若数列满足，，求．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）解：数列为等比数列，设公比为，因为，，所以
又，所以，解得：或（舍）
所以.
（2）解：，所以，又
则
.
20．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））已知是等差数列，，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若等比数列满足，，求的通项公式.
答案：(1)，
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则.
∴，
.
（2）设等比数列的公比为，
由，，可得，
∴的通项公式为.
21．（2022·江苏无锡·高三期中）已知数列的首项为2，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
【解析】1）当时，，，
∴
且时，，∴也满足上式
∴．
（2）
∴
∴的前n项和．
22．（2022·江苏镇江·高三期中）已知数列首项为2，满足，求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前n项和.
答案：(1)；
(2).
【解析】（1）已知数列满足，则，
则是首项为，公比为2的等比数列，
故，即.
（2），①
②
①②可得：