(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学第四章数列章末测试(提升)(原卷版+解析)

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A．B．C．D．
2．（2022·广东）在递增的等差数列中，己知与是方程的两个根，则（ ）
A．19B．20C．21D．22
3．（2022山东省）若数列，，，，是等比数列，则的值是（ ）
A．12B．C．D．
4．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022·江西赣州）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
7．（2022·湖北黄冈）已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·陕西延安·高二期中（理））设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知公差大于0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·河南）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则必有B．若，则必有是中最大的项
C．若，则必有D．若，则必有
11．（2022·江苏南通 ）为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )
A．
B．
C．对于任意的正整数，总存在正整数，使得
D．一定存在三个正整数，，，当时，，，三个数依次成等差数列
12．（2022·福建龙岩）已知数列{}中，，，下列说法正确的是（ ）
A．若{}是正项等比数列，则B．若{}是正项等比数列，则
C．若{}是等差数列，则D．若{}是等差数列，则公差为
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·上海）已知数列的通项公式为，则该数列取得最大时，正整数____________．
14．（2022山东省）已知等差数列的公差为2，且，，是等比数列的前三项，则数列的前项和______.
15．（2022·河南）若各项均不为零的数列满足，，且，则______．
16．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）记，．若数列满足：，，则数列的前200项的和为_________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·吉林）已知是公差为1的等差数列，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18．（2022·福建）已知为正项数列的前n项和，，且（且）.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
20．（2022·安徽）设各项均为正数的数列满足．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，设，数列的前项和为，求证：．
21．（2022·福建龙岩·高二期中）已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．
22．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））设为数列的前项和，已知 ，若数列满足，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 求数列的前项的和.
第四章 数列 章末测试（提升）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·安徽）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意得，该马第天走的里程数构成公比为的等比数列，
则，解得，故该马第六天走里路．
故选：C．
2．（2022·广东）在递增的等差数列中，己知与是方程的两个根，则（ ）
A．19B．20C．21D．22
答案：B
【解析】与是方程的两个根，方程为
则或，由于递增的等差数列中，所以，则公差
所以.
故选：B.
3．（2022山东省）若数列，，，，是等比数列，则的值是（ ）
A．12B．C．D．
答案：C
【解析】数列，，，，是等比数列，则，故，
，故.
故选：C
4．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，解得．故选：C．
5．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】若，故，即，
故为单调递增数列，设公差为，
此时，，
令，对称轴为，当时，此时对称轴，
此时先增后减，
所以数列不是单调数列，
充分性不成立，
若数列为单增数列，设等差数列公差为，
若，不妨设，此时，满足数列为单增数列，
此时，，故必要性不成立，
故“”是“数列为单增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6．（2022·江西赣州）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
答案：B
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，
，
∴，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
7．（2022·湖北黄冈）已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】正项等比数列满足，所以，且，
解得，又因为是和的等差中项，
所以，得，
即，
，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
8．（2022·陕西延安·高二期中（理））设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，，解得：，
当时，，
整理得，
方程两边同除以，得，
又，故是等差数列，首项为6，公差为4，
所以，
故，经验证，满足要求，
所以为，
故，对任意恒成立，
，当时，，
故，
单调递减，当时，取得最大值，
故，解得：，
则的最小值为.
故选：D
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知公差大于0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】令等差数列的公差为，有，其前n项和为，由得：，
解得，有，A不正确，B正确；
，，即，C正确；
，，D不正确.
故选：BC
10．（2022·河南）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则必有B．若，则必有是中最大的项
C．若，则必有D．若，则必有
答案：AD
【解析】对于A，若，则，
即有，根据等比数列的性质，
则，即有，A正确；
对于B，若，则等比数列单调递减，
因为，所以，则是中最大的项；
若，则等比数列单调递增，
因为，所以，则是中最小的项，B错误；
对于C，若，则，而，所以数列单调递减，
若，则，所以；若，则，所以，C错误；
对于D，，而，所以数列单调递减，
所以，所以，即，D正确.
故选：AD
11．（2022·江苏南通 ）为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )
A．
B．
C．对于任意的正整数，总存在正整数，使得
D．一定存在三个正整数，，，当时，，，三个数依次成等差数列
答案：AC
【解析】由得，，故A正确；
，故B错误；
，，结合及可得：，，
故，，，则即为，
∵n是正整数，∴也是正整数，故对于任意的正整数，总存在正整数，使得，故C正确；
成等差数列，
∵均为偶数，∴等式左边为偶数，右边为奇数，左右不可能相等，故D错误；
故选：AC．
12．（2022·福建龙岩）已知数列{}中，，，下列说法正确的是（ ）
A．若{}是正项等比数列，则B．若{}是正项等比数列，则
C．若{}是等差数列，则D．若{}是等差数列，则公差为
答案：BD
【解析】设正项等比数列{}的公比为q，
则，
解得，
所以，
故A错误，B正确；
设等差数列{}的公差为d，
则，
解得，且，
故C错误，D正确．
故选：BD．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·上海）已知数列的通项公式为，则该数列取得最大时，正整数____________．
答案：6
【解析】
当取得最大时，须取得最小正数，
即满足的最小正整数
故答案为：6.
14．（2022山东省）已知等差数列的公差为2，且，，是等比数列的前三项，则数列的前项和______.
答案：
【解析】等差数列的公差为2，且，，是等比数列的前三项，
所以，，，
所以，，，即，，，
所以,
,
,
,
相减得，
所以．
故答案为：．
15．（2022·河南）若各项均不为零的数列满足，，且，则______．
答案：
【解析】由，得，
∴为等差数列．
又，，
所以，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
16．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）记，．若数列满足：，，则数列的前200项的和为_________．
答案：
【解析】根据可得，，，，又，则，故，又，则，故.故前项和.
故答案为：
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·吉林）已知是公差为1的等差数列，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)(2)
【解析】（1）由题意得，故，
所以的通项公式为．
（2）
18．（2022·福建）已知为正项数列的前n项和，，且（且）.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）依题意，，（且），
，
当时，，
，负根舍去.
当时，，
，
整理得，而，
所以，
所以数列从第项起是公差为的等差数列，
所以，
所以.
（2）当时，，
当时，，
所以①，
②，
①-②得
，
所以，
也符合上式，所以.
19．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
答案：(1)单调递减，证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）单调递减，理由如下：．
∵，结合递推式易得，
∴，故数列单调递减；
（2）∵，，，
∴，又，故，
∵，，
∴，则，
当，累加得，
则，故，
所以，
∴，
综上，有.
20．（2022·安徽）设各项均为正数的数列满足．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，设，数列的前项和为，求证：．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由得：
因为数列为正项数列，所以，
所以
因为，所以，
又当时，，
所以
（2）由（1）知，
当，时，因为，
所以，
所以
所以.
21．（2022·福建龙岩·高二期中）已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．
答案：(1)；
(2)
(3)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由得：，又，，
，.
（2）由（1）得：，
.
（3）由（2）得：对任意的，恒成立，
对任意的，恒成立；
令，则；
则当时，；当时，；
，，即实数的取值范围为.
22．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））设为数列的前项和，已知 ，若数列满足，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 求数列的前项的和.
答案：(1) ，，
(2)
【解析】（1）由 ①，得：
当时，，即，解得或（负值舍去），.
当时， ②，
得：，
即
所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
所以 .
因为数列满足
所以数列是等比数列，首项为，公比，所以.
故：，.
（2）因为，所以
所以， 其中为奇数时，
当为偶数时，
所以
当为奇数时，
因此.
故： .