山东省临沂市沂南县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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注意事项：
1.本试卷共120分，考试时间90分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置，考试结束后，只将答题卡收回．
2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、开方开不尽，是无理数，符合题意；
故选：D．
2. 下列各点中，在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据第三象限点的坐标特征，结合选项找到横纵坐标均为负的点即可．
【详解】A. 在第三象限，符合题意，
B. 在第四象限，不符合题意，
C. 在第二象限，不符合题意，
D. 在第一象限，符合题意．
故选A
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记第三象限点的坐标特征为（−，−）．
3. 下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的平移，平移只会改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故选D．
4. 如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【详解】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根及立方根相关性质是解题关键．直接利用算术平方根及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，原式计算错误，故此选不项符合题意；
B．，原式计算错误，故此选不项符合题意；
C．无法化简，故此选项不合题意；
D．，计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
6. 给出如下四个命题：①如果，，那么；②同旁内角互补；③相等的角是对顶角；④如果，，那么，其中假命题的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定判断①②④，根据对顶角的定义判断③即可求解．
【详解】解：①如果，，那么；故①是真命题；
②两直线平行，同旁内角互补，故②是假命题；
③相等的角不一定是对顶角，故③是假命题；
④如果，，那么，故④是真命题，
故选：B．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质与判定，对顶角的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
7. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上、两颗棋子的坐标分别为，，则棋子的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标确定位置，解题关键是正确作出图形，属于中考常考题型．利用A、B点坐标画出对应直角坐标系，再根据点的位置写出点D坐标即可；
【详解】建立如图所示的直角坐标系；
则点D的坐标为，
故选：C
8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据计算程序图计算即可．
【详解】解：∵当x=64时，，，2是有理数，
∴当x=2时，算术平方根为是无理数，
∴y=，
故选：A．
【点睛】此题考查计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（ ）．
A. 或B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据第四象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．然后根据平行于轴且，得到点Q的坐标．
【详解】点P到x轴的距离是3，则点P的纵坐标为，
点P到y轴的距离是2，则点P的横坐标为，
由于点P在第四象限，故P坐标为，
∵平行于轴且，
∴点Q的坐标是或．
故选：A．
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
10. 如图，已知，，，点E是线段延长线上一点，且．以下四个结论：
①；②；③平分；④．
其中结论正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判断，先由平行线的性质得到，进而得到，则，即可推出，进而得到，则，进一步得到，则，根据现有条件无法证明平分，由此可得答案．
详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∴，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明平分，故③错误；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 比较大小：_________5（填“”，“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】先把5化成，再与比较大小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，注意无理数和有理数比较大小，常把有理数化成根式的形式，再进行比较．
12. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在y轴上得到求解即可得到答案；
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查坐标轴上点的特征：y轴上点x为0．
13. 如图，直线相交于点平分，若，则__________．

【答案】##度
【解析】
【分析】先根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线定义以及对顶角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义以及对顶角相等这一性质．
14. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质分析得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：
15. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同旁内角互补成为解题的关键．
先根据平角的定义求得，然后再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16. 给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1．已知点，，．若点O，A，B的“最佳间距”是2，则t的值为_____．

【答案】2或
【解析】
【分析】分别计算出的长度，由于斜边大于直角边，故，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为2，而，故，即可求解t的值．
【详解】解：①∵点，，，
∴轴，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∵点O，A，B的“最佳间距”是2，
∴，
∴；
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共72分．）
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）0；（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，平方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据立方根定义，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可；
（2）根据平方根定义进行求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
开平方得：，
解得：或．
18. 如图，直线相交于点O．
（1）在的内部，画射线，使，垂足为O（用三角尺画图）；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在（1）的条件下，与有何关系，为什么？
【答案】（1）画图见解析；
（2）；
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）使用三角尺即可作图；
（2）先算出，根据即可得到答案；
（3）根据，，即可推算出．
【小问1详解】
解：射线如下图所示；
小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：与互余，理由如下，
∵，，
∴，
∴与互余．
【点睛】解：本题考查直角、余角和补角的性质，解题的关键是熟练掌握余角和补角的相关知识．
19. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据：
如图，，，求证：．

证朋：∵（已知）
（__________）
∴
∴（__________）
∴（__________）
∵（已知）
∴______（等量代换）
∴____________（__________）
∴（__________）
【答案】对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得，由两直线平行，同位角相等得到，即，再根据内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，内错角相等得到结论即可．
【详解】证朋：∵（已知）
（对顶角相等）
∴
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20. 已知：的立方根是3，25的算术平方根是，求：
（1）x，y的值；
（2）的平方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根的定义求得x的值，再根据算术平方根的定义求得y值；
（2）先计算的值，再根据平方根的定义求解即可．
【小问1详解】
∵的立方根是3，
∴，
解得：，
∵25的算术平方根是，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
21. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立了平面直角坐标系，请解答下列问题：
（1）写出三个顶点的坐标；
（2）画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形；
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据直角坐标系可直接得到答案；
（2）根据平移的性质可直接画出，
（3）的面积为直角梯形减去两个小三角形．
【小问1详解】
解：根据题意可以得：；
【小问2详解】
解：如下图所示：
【小问3详解】
解：．
【点睛】本题考查直角坐标系和图形的平移，解题的关键是熟练掌握直角坐标系的相关知识．
22. 小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为137的正方形的边长是、且，
∴设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又∵，
∴．
当时，可忽略，得，得到，即．
（1）写出的整数部分的值；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算：
（1）估算出即可得到答案；
（2）仿照题意画出示意图进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分的值为；
【小问2详解】
解：∵面积为249的正方形的边长是、且，
∴设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中最大正方形的面积，
又∵，
∴．
当时，可忽略，得，得到，即．
23. 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．
（1）李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，求的度数；
（2）如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点在直线上，顶点在直线上，若，请直接写出与之间的关系式．
【答案】（1）
（2），理由见解答过程
（3），理由见解答过程
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出；
（3）过点作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【小问1详解】
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，理由如下：
如图2，过点作，
则，
，
，
，
，
又，
；
小问3详解】
，理由如下：
如图3，过点作直线，
，
，
，，
，
．