江苏省无锡市新吴区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 为了考察某校八年级800名学生的视力情况，从中抽取80名学生进行视力检查，在这个问题中的样本是（ ）
A. 抽取的80名学生B. 800名学生的视力
C. 抽取的80名学生的视力D. 每名学生的视力
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．据此即可判断．
【详解】解：为了考察某校八年级800名学生的视力情况，从中抽取80名学生进行视力检查，在这个问题中的样本是抽取的80名学生的视力．
故选：C．
3. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. “a是实数，”是必然事件
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次
C. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率
D. 不可能事件发生的概率为0
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式分别判断．
【详解】解：A．“a是实数，|a|≥0”是必然事件，题干正确，故该项不符合题意；
B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，题干错误，故该项符合题意；
C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，题干正确，故该项不符合题意；
D．不可能事件发生的概率为0，题干正确，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式，熟练掌握教材中各部分的知识是解题的关键．
4. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
5. 一个口袋中装有黑球、白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到黑球，请估计口袋中黑球的个数大约有（ ）
A. 3个B. 5个C. 6个D. 9个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，根据实验得到摸到黑球的频率，用频率乘以15即可解题．
【详解】解：共摸了100次，其中40次摸到黑球，
摸到黑球的频率为，
口袋中有黑球、白球共15个，
口袋中有黑球（个）．
故选：C．
6. 下列式子从左边至右边变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A.当c＝0时，此时没有意义，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
7. 如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点在边上.若，,则的度数为（ ）
A. 55ºB. 60ºC. 65ºD. 75º
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据,结合已知可得的度数,进而计算的度数.
【详解】解：根据平角的性质可得

又四边形为正方形


在三角形DEC中



四边形平行四边形

故选D.
【点睛】本题主要考查平角的性质和三角形的内角定理，这些是基本知识，必须熟练掌握.
8. 给出下列判断：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有 ( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
③对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故错误；
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．正确．
所以不正确的共有3个，
故选C．
9. 如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接、、．根据三边关系，P，求出，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接、、．
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，点O、P分别是边、的中点，
∴，，
在中，
由勾股定理，得，
在中，
由勾股定理，得，
∵，，
∴的最小值为
故选：C．
10. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为边上的动点（不与端点重合），连接分别交对角线于点P，Q． 点E，F在运动过程中，始终保持，连接． 下列结论：①；的周长为4；③；④若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
①正确．证明，可得结论；
②正确．全等于，全等于，所以 ，，所以三角形的周长等于，
③错误．可以证明；
④正确．求出，，根据，可得结论．
【详解】解：如图，∵四边形正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确，
∵全等于，全等于，
∴，，
∴三角形的周长等于，
故②正确，
将绕点B顺时针旋转90°得到，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误，
连接，，
∵，，
∴，
∴的最小值为，故④正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共9小题，每空3分，共30分）
11. 为了解全班同学每周体育锻炼的时间，宜采用的调查方式是______________．（填“普查”或“抽样调查”）
【答案】普查
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据抽样调查和全面调查的定义判断．
【详解】解：为了解全班同学每周体育锻炼的时间，宜采用的调查方式是普查，
故答案为：普查．
12. 当________时，分式的值为零．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，即可求出的值．
【详解】解：分式的值为零，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零．
13. 已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是_______．
【答案】110°##110度
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，即可求∠B的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，且∠A＋∠C＝140°，
∴∠A＝70°，
∴∠B＝110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
14. 在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______．
【答案】5
【解析】
【详解】解：一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数是50-6-8-9-10-12=5．
考点：频数与频率
15. 若，则__________，__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】此题考查了解分式的加减法计算，根据异分母分式加法法则计算，再根据得到，即可求出A和B的值．
【详解】解：，
∵
∴
∴
解得，
故答案为：2；．
16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于点H，若，，则菱形的面积为____________．
【答案】24
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等角对等边，利用菱形的性质得到，根据平行线的性质推出，由此证得，根据余角的性质推出，得到，勾股定理求出，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】∵菱形的对角线相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为24．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是AD的中点.若AB=10，则EF=____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝AB＝5，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
∵点F、E分别是AD、AC的中点，
∴EF＝CD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
18. 如图，P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个矩形面积相等，解题的关键是证明两个矩形相等．
【详解】解：作于点M，交于点N，如图所示：
，
则四边形都是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：12．
19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___．
【答案】或10．
【解析】
【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再由勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD矩形，
∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，
∴AM＝BN，
∵AM∥BN，
∴四边形ABNM的矩形，
∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，
∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，
∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，
∵AM＝2，
∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，
如图1，
在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，
NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（4﹣CE）2+22＝CE2，
解得：CE＝．
如图2，
在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，
NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（CE﹣4）2+82＝CE2，
解答：CE＝10，
故答案为或10．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（共70分）
20. 约分：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分子分母同时约去公因式即可得到答案；
（2）分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键．
21. 计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，正确计算是解题的关键：
（1）根据同分母分式的减法计算即可；
（2）根据异分母分式的加法计算即可；
（3）先通分，再计算即可
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：


【小问3详解】
解：

22. 我市八年级有3000名学生参加网上“爱我中华知识竞赛”活动，为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计．

请根据不完整的表格，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若将得分转化为等级，规定评为“D”，评为“C”，评为“B”，评为“A”，并按等级“A”、“B”、“C”、“D”将这次调查的结果绘制成扇形统计图，求等级为“B”的扇形所对应的圆心角度数．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）等级为“B”的扇形所对应的圆心角度数为
【解析】
【分析】本题考查频数与频率，频数分布直方图，条形统计图，扇形的圆心角：
（1）先求出调查的总人数，再根据频数与频率的关系求解即可；
（2）根据频数补全频数分布直方图即可；
（3）用360度乘以“B”所占的百分比即可．
【小问1详解】
调查总人数为 （人），
，
故答案为： ，，；
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
答：等级为“B”的扇形所对应的圆心角度数为．
23. 如图，在中，点在上，点在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的角平分线，且，，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）32
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的周长，
（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
24. 按要求作图，不要求写做法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF=BE．
（2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺（不带刻度）作出菱形ABCD的边AB上的高DF．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形是中心对称图形，找到对称中心——即对角线的交点，连接并延长交边于点即可得；
（2）根据菱形是关于对角线对称的轴对称图形，根据轴对称的性质作出线段BF关于AC对称的DF即可．
【详解】解：（1）如图所示：①连接AC、BD交于O，②连接EO并延长交AD于F点，
（2）如图所示：①连接AC、BD交于点G；②连接DG并延长交AB于点F，由轴对称可知，DF⊥AB，
【点睛】本题考查了作图复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形的对角线所在直线是菱形的对称轴．
25. 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：
（1）BE⊥AC；
（2）EG=EF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由已知条件易证△OBC是等腰三角形，E是OC的中点，根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知BE⊥AC．
（2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证EG=EF．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，BD=2BO．
由已知BD="2AD，"
∴BO=BC．
又E是OC中点，
∴BE⊥AC．
（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点，
∴EG是Rt△ABE斜边上的中线．
∴EG=AB
又∵EF是△OCD的中位线，
∴EF=CD．
又AB="CD，"
∴EG=EF．
【点睛】本题考查1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．直角三角形斜边上的中线；4．平行四边形的性质．
26. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，定点A的坐标为．

（1）求正方形顶点C的坐标为（ ， ）顶点B的坐标为（ ， ）；
（2）现有一动点P从C点出发，沿线段向终点B运动，P的速度为每秒1个单位长度，同时另一动点Q从点A出发沿A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度．设运动时间为2秒时，将三角形沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，求k的值．
【答案】（1），4，1，7
（2）的值为2或4
【解析】
【分析】（1）过点A作轴于D，过点B作交的延长线于E，过点C作轴于点F，证出，求出，，即可求出点C，点B的坐标；
（2）分两种情况：①当点Q在上时；②当点Q在上时．分别计算即可．
【小问1详解】
过点A作轴于D，过点B作交延长线于E，过点C作轴于点F，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵点A的坐标为，
∴，，
∴点C的坐标为；
∴，点B到y轴的距离为，
∴点B的坐标为；
故答案为：，4，1，7；
【小问2详解】
由题意，得，
当 时，．
将三角形沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，
只需三角形是等腰三角形即可．
①当点Q在上时，
∵，
∴只存在一点Q，使．
过点Q作于点D，如图，
则，
∵，
∴，
∴；
②当点Q在上时，
∵，
∴只存在一点Q，使C，
∴，
∴．
综上所述，k的值为2或4．
【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，深入理解题意，熟练应用分类讨论思想是解决问题的关键．
27. 如图①，在矩形中，，点E在边上且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或于点Q，连接，当Q与点C重合时点P停止运动，设点P的运动时间为t秒（）．
（1）当点P与点B重合时，线段的长为 ；
（2）当点Q与点D重合时，求的长；
（3）如图②，当点P在上运动时，证明始终是等腰直角三角形；
（4）作点E关于直线的对称点F，连接，当四边形和矩形的重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）1 （3）见解析
（4）或或
【解析】
【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解；
（2）设，则，在中，，在中，，在中，，再根据，进而作答即可；
（3）过点P作于点H，证明，得出，即可得出结论；
（4）分三种情况讨论，①当点P在上时，②当P点在上时，当F，A重合时符合题意，③当点P在上，当F，D重合时，此时Q与点C重合，则是正方形，即可求解．
【小问1详解】
解：（1）如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
当点P和点B重合时，
，，
在中，；
【小问2详解】
如图，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故，
即长为1；
【小问3详解】
证明：如图2，过点P作于点H，
则，
同理可得，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问4详解】
①如图所示，当点P在上时，
∵，，
在中，，
则，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
时，点F在矩形内部，
∴，符合题意，
②当P点在上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，，
∴，
解得，
③当点P在上，当F，D重合时，此时点Q与点C重合，
则是正方形，此时，
∴或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，解题的关键是分类讨论，分别画出图形，数形结合．
成绩x（分）
频数
频率
10
a
16
0.08
b
0.20
62
c
72
0.36