2024年山东省枣庄市部分中学中考数学一模试题(含解析)
展开本试卷共6页.满分120分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.
不按以上要求作答的答案无效.
愿你放松心情,认真审题,缜密思考,细心演算,交一份满意的答卷.
一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的选项中,选出符合题目要求的一项.
1.下列运算正确的是( )
A.B.C.D.
2.如图,在中,、两个顶点在轴的上方,点的坐标是,以点为位似中心,在轴的下方作的位似图形,使它与的相似比为,设点的横坐标是,则点的对应点的横坐标是( )
A.B.C.D.
3.如图,在中,以点A为圆心,的长为半径作圆弧交于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接交于点E.若的周长为15,,则的长为( )
A.4B.8C.9D.10
4.年技术正式开始商用,它的数据下载的最高速率从初期的提升到,给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为( )
A.B.C.D.
5.定义:不大于实数x的最大整数称为x的整数部分,记作,例如,按此规定,若,则x的取值范围为( )
A.B.C.D.
6.世乒赛颁奖台如图所示,它的左视图是( )
A.B.
C.D.
7.若3个正数的平均数是a,且,则数据的平均数和中位数是( )
A.B.C.D.
8.如图,内接于,,是的直径,连结,平分交于,若,则的半径为( )
A.B.C.D.5
9.如图,在长为30米,宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为480平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A.B.
C.D.
10.如图,已知二次函数(a,b,c是常数)的图象关于直线对称,则下列五个结论:;②;③;(m为任意实数);.其中正确的是( )
A.①②③B.②③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分.
11.在同一平面内,将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(∠C=60°,∠F=45°),其中直角顶点D是BC的中点,点A在DE上,则∠CGF= °.
12.已知实数,满足,,则 .
13.已知关于的方程的解为正数,则的取值范围为 .
14.如图,在正方形中,为对角线、的交点,、分别为边、上一点,且,连接.若,,则的长为 .
15.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象与半径为10的交于两点,若,则k的值是 .
16.已知一列均不为1的数满足如下关系:,,,⋯,,若,则的值是 .
三、解答题:本题共8小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(1)计算:;
(2)先化简,再求值:,其中.
18.某学校对校内社团活动进行了调查,分别从A足球,B音乐,C舞蹈,D美术,E书法五个项目了解学生的参与情况,对部分学生参与的社团活动类别进行了随机抽样调查,并绘制如下不完整的统计图,请根据图1,图2中所给的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查的样本容量是_________;
(2)将图1中的条形统计图补充完整;
(3)图2中,“E”所占圆心角的度数是_________;
(4)若该学校共有学生1200人,请估算该校参与足球社团的学生人数.
19.某商场购进了,两种商品,若销售件商品和件商品,则可获利元;若销售件商品和件商品,则可获利元.
(1)求,两种商品每件的利润;
(2)已知商品的进价为元件,目前每星期可卖出件商品,市场调查反映:如调整商品价格,每降价元,每星期可多卖出件,如何定价才能使商品的利润最大?最大利润是多少?
20.如图,某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪,经测量,,,已知米,米.求两栋楼楼顶A,C之间的距离.(参考数据:,,,测角仪的高度忽略不计).
21.如图,一次函数与反比例函数的图象相交于、两点,过点作轴,垂足为,连接,已知点的坐标是,.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出不等式的解集;
(3)点为反比例函数在第一象限内的图象上一点,若,求点的坐标.
22.如图,内接于,,是的直径,点是延长线上的一点,且.
(1)求证:是的切线;
(2)若与交于点,,且,求阴影部分的面积.
23.综合与实践
问题情境:
如图①,点为正方形内一点,,将绕点按顺时针方向旋转,得到(点的对应点为点),延长交于点,连接.
猜想证明:
(1)试判断四边形的形状,并说明理由;
(2)如图②,若,请猜想线段与的数量关系并加以证明;
解决问题:
(3)如图①,若,,请直接写出的长.
24.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴分别相交于,两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点是第一象限内该抛物线上的动点,过点作轴的垂线交于点,交轴于点.
①求的最大值;
②若是的中点,以点,,为顶点的三角形与相似,求点的坐标.
1.D
【分析】本题主要考查了积的乘方,同底数幂乘除法和合并同类项等计算,熟知相关计算法则是解题的关键.
【详解】解:A、,原式计算错误,不符合题意;
B、,原式计算错误,不符合题意;
C、,原式计算错误,不符合题意;
D、,原式计算正确,符合题意;
故选:D.
2.A
【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质,根据位似比的定义,利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.
设点的横坐标为,根据数轴表示出、的水平的距离,再根据位似比列式计算即可.
【详解】解:设点的横坐标为,
则、间的水平距离为、间的水平距离为,
∵放大到原来的2倍得到,
,
解得:,
故选:A.
3.B
【分析】此题考查了尺规作图,线段垂直平分线的性质,首先根据尺规作图得到,是的垂直平分线,进而得到,然后根据的周长为15,求解即可.
【详解】解:由题意得,,是的垂直平分线,
∴,
∵的周长为,
∴,
∴,即,
∴.
故选:.
4.B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法:,,n是整数,大于10的数的整数位数减去1即是n的值,据此解答.
【详解】,
故选:B.
5.A
【分析】根据所给的定义可知,解不等式组即可得到答案.
【详解】解:由题意得,,
解得,
故选A.
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算,解一元一次不等式组,正确理解题意得到不等式组是解题的关键.
6.C
【分析】本题考查了三视图,根据左视图是从左边看到的图形,据此即可作答.
【详解】解:∵世乒赛颁奖台如图所示,
∴它的左视图是
故选:C
7.B
【分析】根据平均数和中位数的定义计算即可.
【详解】∵3个正数的平均数是a,
∴,
∴的平均数为,
∵3个正数,且
∴把数据从大到小排列为,
∴中位数为,
故选:B.
【点睛】此题主要考查了中位数和算术平均数,正确掌握定义是解题关键.
8.B
【分析】过点作垂直于点,交于点,交于点,连接,易得为的直径,根据圆周角定理,推出,求出的长,圆周角定理结合角平分线的性质,推出,设半径为,在中,利用勾股定理,列出方程进行求解即可.
【详解】解:过点作垂直于点,交于点,交于点,连接,
∵,
∴为线段的中垂线,,
∵内接于,
∴三点共线,,
∴为的直径,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
即:,
∴,
∵是的直径,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
设半径为,则:,
∴,
在中,,
∴,
解得:(舍去)或;
∴的半径为;
故选B.
【点睛】本题考查圆周角定理,三角形的外接圆,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识点,综合性强,难度较大,属于选择题中的压轴题,解题的关键是添加辅助线,构造特殊三角形和相似三角形.
9.B
【分析】先将图形利用平移进行转化,可得空白长方形的面积=长×宽,列方程即可.
【详解】利用图形平移可将原图转化为下图,道路的宽为x米.
根据题意可得:.
故选:B.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用,找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.
10.D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键;
由图象可知:,,根据对称轴及a与b的符号关系可得,则可判断①②,由对称轴是直线,且与x轴交点到对称轴距离大于1,小于2,当时,可判断③;由当时,函数有最大值,可判断④;由及,可判断⑤.
【详解】解:抛物线开口往下,
,
抛物线与y轴交于正半轴,
抛物线的对称轴在负半轴,
,
,
,故①正确.
即,故②正确.
抛物线的对称轴为直线,且时,函数值小于零,
与x轴交点到对称轴距离大于1,小于2,
当时,函数值小于零,
即,故③正确.
抛物线的对称轴为直线,且开口向下,
当时,函数值最大,
当时,,
当时,,
,
所以,故④正确.
由函数图象可知,
当时,函数值小于零,
则,
,
所以,故⑤正确.
综上所述:正确的有
故选:D.
11.15°
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明△ADC是等边三角形,得∠EAG=120°,在△AEG中求出∠AGE=15°即可解题.
【详解】解:由题得:AD是直角三角形斜边中点,
∴AD=BC=CD=BD
∵∠C=60°,∠F=45°,
∴△ADC是等边三角形,
∴∠DAC=60°,
∴∠EAG=125°,
∴∠CGF=∠AGE=15°.
【点睛】本题考查了特殊的直角三角形,斜边中线的性质,属于简单题,证明△ADC是等边三角形是解题关键.
12.或2
【分析】由已知可得,是方程的根,当时,可直接化简,当时,由根与系数关系可得,,,整理后代入即可求解.本题考查了根与系数关系以及分式的化简求值,解题的关键是根据情况熟练应用知识点.
【详解】解:实数,满足,,
可将,看作是方程的根,
当时,
,
当时,
由根与系数关系可得,,整理代入,
,
故答案为:或2.
13.且
【分析】本题主要考查分式方程,根据分式方程的解,可知且,从而得解.
【详解】解关于的分式方程,得:,
根据题意,得∶,且,
解得∶ 且,
故答案为:且.
14.
【分析】本题主要考查正方形的性质,等腰直角三角形的性质与判定,含的直角三角形的三边关系,全等三角形的性质与判定等相关知识;由题意证明,所以,则是等腰直角三角形,即可得到;过点F作,求出,得到,推出是等腰直角三角形,则,进而即可求解.
【详解】解:在正方形中,和为对角线,
∴,,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
过点F作,如图,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
又,
∴,
∴
∴
故答案为:.
15.25
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质,圆的性质,两点间的距离公式,判断出是等边三角形是解本题的关键.先设点,根据对称性质得,再证是等边三角形,用两点间的距离公式列出等式,再求解即可得出结论.
【详解】解:设点,
反比例函数的图象与半径为10的交于两点,
所以两点关于直线对称,
,
的半径为10,
,
,即,
,
是等边三角形,
,
,即,
化简得:,
,
,
在反比例函数的图象上,
,
故答案为:25
16.
【分析】本题考查数字变化的规律,分别求出,根据发现的规律即可解决问题.
【详解】解:由题知,因为,
则,
,
,
,
…,
由此可见,这一列数按2,,,循环出现,
且,
所以.
故答案为:.
17.(1)3;(2).
【分析】本题考查了分式的化简求值以及实数的混合运算:
(1)本题涉及了负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂以及特殊角的三角函数值,计算时针对每个考点依次计算;
(2)先把原式化简,化为最简后,再把x的值代入,注意计算出x的值.
【详解】解:(1)
;
(2)
;
当时,原式.
18.(1)200
(2)见详解
(3)36
(4)240
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
(1)根据B的人数和所占的百分比,得出本次调查的学生人数;
(2)再用总人数减去其它四类的人数可得C的人数,据此补充完整条形统计图;
(3)用乘“E”类学生人数的百分比得出“E”所在扇形的圆心角的度数;
(4)利用总人数1200乘“A足球”的学生人数对应的比例即可求得.
【详解】(1)解:(名),
即此次共调查了200名学生.
故答案为:200;
(2)“C舞蹈”的人数为:(名),
补全条形统计图如下:
(3)“E”所在扇形的圆心角为:.
故答案为:36;
(4)(人),
答:估计该校参与足球社团的学生人数约240人.
19.(1)12元,8元
(2)定价为元时,利润最大,最大为元.
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用,二次函数的实际应用;
(1)等量关系式:销售件商品的利润销售件商品的利润元;销售件商品的利润销售件商品的利润元;据此列出方程组,即可求解;
(2)等量关系式:总利润销售商品的单件利润销售总量,据此列出二次函数,化成顶点式,即可求解;
找出等量关系式是解题的关键.
【详解】(1)解:设商品每件的利润为元,商品每件的利润为元,
根据题意,得,
解得:,
答:商品每件的利润为元,商品每件的利润为元.
(2)解:设降价元利润为元根据题意得:
=2400+240a−200a−20a
;
,
当时,有最大值,最大值为,
此时定价元.
答:定价为元时,利润最大,最大为元.
20.A,C之间的距离为100米.
【分析】本题考查了解直角三角形的应用.过点C作,交于点F.在中,利用正切函数的定义求得米.再在中,利用勾股定理即可求解.
【详解】解:如图,过点C作,交于点F.
在中,,
∴是等腰直角三角形,∴米,
在中,,
∴,
∴,∴米.
由题意,得(米),(米),
∴(米),
在中,(米).
∴A,C之间的距离为100米.
21.(1),;
(2)或;
(3).
【分析】()利用待定系数法解答即可求解;
()根据图象即可求解;
()先求出的面积,设点的坐标为,表示出的面积,根据,列出方程即可求解;
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.
【详解】(1)解:点在上,
,
∴反比例函数解析式为,
,轴,
∴点的纵坐标为,
把代入得,,
∴,
,
点、在一次函数图象上,
,
解得,
∴直线的解析式为;
(2)解:根据图象可得,不等式的解集为或;
(3)解:,
设点的坐标为,
∵,轴,
∴,
∴,
∵,
,
,
.
22.(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定及性质,等边三角形的性质,直角三角形的性质,扇形公式,熟练掌握切线的性质是解题的关键.
(1)分别求出,即可得,从而证明是的切线;
(2)连接,根据等腰三角形的性质得到,得到,求得,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
【详解】(1)证明:连接,,
是圆的直径,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
,
点在圆上,
是的切线;
(2)解:连接,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
阴影部分的面积的面积扇形的面积.
23.(1)四边形是正方形,理由详见解析;(2),证明详见解析;(3).
【分析】(1)由旋转可知:,,再说明可得四边形是矩形,再结合即可证明;
(2)过点作,垂足为,先根据等腰三角形的性质得到,再证可得,再结合、即可解答;
(3)过E作EG⊥AD,先说明∠1=∠2,再设EF=x、则BE=FE'=EF=BE'=x、CE'=AE=3+x,再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x,进一步求得BE和AE的长,然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长,最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可.
【详解】解:(1)四边形是正方形
理由:由旋转可知:,,
又,
四边形是矩形.
∵.
四边形是正方形;
(2).
证明:如图,过点作,垂足为,
则,
.
四边形是正方形,
,.
,
.
.
∵,
;
(3)如图:过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x,则BE=FE'=EF=BE'=x,CE'=AE=3+x
在Rt△AEB中,BE=x,AE=x+3,AB=15
∴AB2=BE2+AE2,即152=x2+(x+3)2,解得x=-12(舍),x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cs∠1=
∴sin∠2= ,cs∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE=.
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识,综合应用所学知识是解答本题的关键.
24.(1)
(2)①9;②或
【分析】(1)运用待定系数法求出函数解析式;
(2)①设点的坐标为,则求出直线的解析式,得到,求出,并根据二次函数的最大值得到答案;
②根据点的坐标得到,根据勾股定理求出长,由①知,,分两种情况:和,建立方程求出m,得到点D的坐标.
【详解】(1)将,代入抛物线,
得,
解得,
该抛物线的解析式为.
(2)①由抛物线的解析式为,得.
设直线的解析式为,将,代入,
得解得
直线的解析式为.
设第一象限内的点的坐标为,则,
,,
.
,
当时,有最大值,为9.
②,,,
,,,,
,,,
,
,
.
轴于点,
,
.
以点,,为顶点的三角形与相似,只需或.
是的中点,,,
,,.
由①知,,
.
当时,,
解得或(舍去),
.
当时,,
解得或(舍去),
.
综上所述,以点,,为顶点的三角形与相似,点的坐标为或.
【点睛】此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式,二次函数的最值问题,勾股定理,相似三角形的性质,等腰三角形的性质,熟练掌握各知识点是解题的关键.
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