福建省莆田二中、仙游一中、仙游金石中学、哲理中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷

这是一份福建省莆田二中、仙游一中、仙游金石中学、哲理中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；试卷总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“λ=-1”是“直线与平行”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．1B．C．D．
5．在数列中，，，，则的前20项和（ ）
A．621B．622C．1133D．1134
6．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知抛物线，直线交抛物线于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于，若，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
8．若关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．有两个极值点
C．，都能使方程有三个实数根
D．曲线是中心对称图形
10．如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．异面直线、所成的角为
C．几何体的体积为
D．平面与平面间的距离为
11．已知圆下列说法正确的是（ ）
A．过点作直线与圆交于两点，则范围为
B．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为则直线必过定点
C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D．圆上有4个点到直线的距离等于1
12．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，短轴的上、下两个端点分别为，点是椭圆上异于顶点的动点，则（ ）
A．存在点使得
B．若，则
C．过且垂直于的直线与交于两点，则的周长为8
D．的角平分线与轴相交于点，的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为 .
14．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，，则S2 023＝ .
15．双曲线的左，右焦点，过点F2的直线l1交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的渐近线为 .
16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式．
(2)记，数列的前项和．若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（本题满分12分）已知，它们的图象在处有相同的切线．
(1)求与的解析式；
(2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围．
19．（本题满分12分）如图1，是边长为6的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求.
20．（本题满分12分）已知正项数列的前n项和为，且满足 .
(1)求的通项公式；
(2)已知 设数列的前n项和为当n∈时，，求实数 λ 的范围.
条件：①，且 等差数列；②； ③请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答.
21．（本题满分12分）在椭圆：（a>b>0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．
22．（本题满分12分）函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，若，求证：．莆田二中、仙游一中、仙游金石中学、哲理中学2023-2024学年上学期
高二期末联考数学试卷参考答案
1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．B
9．BCD 10．ABD 11．ABD 12．BCD
13． 14．1013. 15． 16．
17．(1)，
(2)
【详解】（1）因为①，
当时，，
当时，有②，
①②得：，所以，
经检验符合上式，所以，，
（2），
所以，
因为，
所以不等式恒成立，则，
解得：或.
故实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
【详解】（1），
由题意可得，
代入可得，解得，
所以；
（2），
则，
因为在区间上存在单调递增，
所以不等式在上有解，
即在上有解，
令，则即可，
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，解得.
19．(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）证明：在中，，，，
由余弦定理得，
因为，所以，
在中，，，，
所以，所以
又因为、平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设，则，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
设直线与平面的所成角为，
则，即，
解得：，即.
20．(1)选项见解析，
(2)
【详解】（1）若选①， 因为数列中， ， 所以数列{}为等比数列.
设{}的公比为q， 则， 由题意得，
又 ， 可得 ，即 ，
则有 ，
因为 ，解得， 故 ；
若选②，因为，所以 .
所以 .
当时， 有 ，且 ，.
所以数列{}是首项,公比的等比数列， 所以；
若选③， 由 ，
所以 ，所以.
当时， ，所以
所以， 数列{}为以首项，公比的等比数列， 所以 ；
（2）由（1）可知: 数列满足，
数列的前 n项和，则，
两式相减可得: ，所以 .
不等式 ,
注意到数列为递增数列，当n为偶数时，， 取，可得；
当n为奇数时， ，取，可得.
综上，实数λ的取值范围是.
21．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）将，，代入到，
可得，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：．
（i）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或．
不妨取，代入中，则，
不妨取，，，，
∴．
（ii）若直线斜率存在，设直线的方程为：，
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：，
设（），（），
联立，化简整理得：，
，
，，
则
，
∵，所以．
综上可知，为定值.
22．（1）函数的定义域是.
由已知得，.
①当时，
由得，或，
∴的单调增区间为，，
②当时，
当时，，所以单调增区间为.
③当时，
由得：或，
∴的单调增区间为，
综上，①当时，函数单调递增区间为，；
②当时，函数单调递增区间为；
③当时，函数单调递增区间为，.
（2）当时，.
由（1）知，函数在上单调递增且；
令
，，
令，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
令，则，则，
故，
所以恒成立，
不妨设，则，
所以，所以，
因为，，而在单调递增，
所以，所以.