2024年陕西省渭南市潼关县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省渭南市潼关县中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数1，0，−23，−2中最小的是( )
A. −2B. 0C. −23D. 1
2.一个几何体如图水平放置，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，已知直线l1//l2，若∠1=∠2=35°，则∠3的度数为( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
4.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. −6a2÷3a=−2a
C. (−3pq)2=−6p2q2D. (b−a)2=b2−a2
5.在平面直角坐标系中，将直线y=−12x+2沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是( )
A. (12,0)B. (0,−3)C. (0,−12)D. (0,7)
6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，延长CB到点E，使得BC=2BE，若点D是AB的中点，则DE的长为( )
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD.则BE的长为( )
A. 12
B. 32
C. 2
D. 52
8.如表是部分二次函数y=ax2+bx−5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程ax2+bx−5=0的一个根在范围之间．( )
A. 1～1.1B. 1.1～1.2C. 1.2～1.3D. 1.3～1.4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了170万年误差不超过1秒.数据170万用科学记数法表示______．
10.如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC= °.
11.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连.用钉子钉成四边形ABCD，若AB=2，∠A=120°.则B，D两点间的距离为______．
12.已知点A(−3,m)，B(−2,n)都在反比例函数y=k−1x上，且m>n，则k的取值范围是______．
13.如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：(2024−π)0−|3− 12|+2−2．
15.(本小题8分)
解不等式组：3(x+2)≥2x+52x−3x+12<1．
16.(本小题8分)
化简：32a−a−4÷(a+2−5a−2)．
17.(本小题8分)
在三角形ABC中，∠C=90°，请用尺规作图的方法，以AB为对角线作一个矩形(保留作图痕迹，不写作法)．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是AB延长线上一点，BC=DB，BC/​/DE，AB=ED，求证：AC=EB．
19.(本小题8分)
《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？
20.(本小题8分)
小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致．
(1)请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为______；
(2)若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
21.(本小题8分)
2023年我省继续推进实施教育数字化战略行动，随着信息化教学的普及，越来越多的教学场景都引入了投影仪，用以辅助教学.如图，是某教室投影仪安装的截面图.D为天花板上投影仪吊臂的安装点，点A为投影仪(投影仪大小忽略不计)，投影仪的光线夹角∠BAC=30°，∠ACB=45°，吊臂AD=0.5m，投影屏幕的高BC=1.6m，AD⊥DE，DE⊥EF.求屏幕下边沿C点离教室顶部DE的高度.(结果保留一位小数，参考数据 3=1.73)
22.(本小题8分)
2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长40.5%，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象，根据图象回答下列问题：
(1)当0≤x≤150时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
(2)求当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量．
23.(本小题8分)
某学校七年级体育期末测试已经结束，现从七年级随机抽取部分学生的体育期末测试成绩进行统计分析(成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：60≥x≥54为优秀，B：53.9≥x≥45为良好，C：44.9≥x≥30为合格，D：x≤29.9为不合格)，绘制了如下所示的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；本次共调查了______名学生；
(2)在扇形统计图中，m= ______，本次调查的学生体育成绩中位数位于等级______；
(3)若该校共有800名七年级学生，请估计体育期末成绩为合格及以上的学生人数．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O直径，直线l经过⊙O上一点C，过点A作直线l的垂线.垂足为D.连接AC.已知AC平分∠DAB．
(1)求证：直线l与⊙O相切；
(2)若∠DAB=70°，CD=3，求⊙O的半径.(参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈°≈0.7)
25.(本小题8分)
许多数学问题源于生活.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图①)、可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点.点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称.OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)直接写出点A点和C的坐标，并求抛物线的表达式；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
26.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别为BC，AB边上一动点，已知AB=2，且∠EDF=60°．
(1)如图1，当CE=AF时，则有DE ______DF(选填“>”，“<”或“=”)；
(2)如图2，移动∠EDF，当CE≠AF时，(1)中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
(3)某校开辟了一块菱形“校园农场”ABCD，已知该农场的一条边AB长2米，且∠C=60°，为了方便同学们随时观测农场内所种植物的生长情况，学校在“校园农场”的点D处设立了一个可旋转的监控摄像头，已知监控的可视角度为60°，且监控在旋转过程中可视角度的边界会落在CB，BA边所在的直线上，如图3，某一时刻，监控可视角度的边界交直线AB于点F，交直线BC于点E，若连接EF，则监控的视野范围为△DEF，设△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2<−23<0<1，
所以最小的是−2．
故选：A．
根据有理数大小比较的方法即可得出答案．
本题考查了有理数大小比较的方法．(1)在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．(3)两个正数中绝对值大的数大．(4)两个负数中绝对值大的反而小．
2.【答案】B
【解析】解：从左面看，是一个正方形，正方形内部有两条横向的虚线．
故选：B．
找到从左面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示．
本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠1+∠2=35°+35°=70°，
∴∠3=70°．
故选：C．
由平行线的性质推出∠3=∠4，由三角形外角的性质求出∠4=∠1+∠2=70°，即可得到∠3=70°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3=∠4，由三角形外角的性质即可求解．
4.【答案】B
【解析】解：a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
−6a2÷3a=−2a，故B正确，符合题意；
(−3pq)2=9p2q2，故C错误，不符合题意；
(b−a)2=b2−2ab+a2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
由同类项概念，单项式除法法则，积的乘方与幂的乘方公式，完全平方公式逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5.【答案】C
【解析】解：将直线y=−12x+2沿y轴向左平移5个单位后，得到y=−12(x+5)+2=−12x−12，
把x=0代入y=−12x−12得，y=−12，
解得x=−1，
所以该直线与x轴的交点坐标是(0,−12)，
故选：C．
直接根据“左加右减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把y=0代入所得的解析式解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点D是AB的中点，
∴BD=12AB，
∵BC=2BE，
∴BDAB=BEBC=12，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BDAB=12，
∵AC=4，
∴DE=2，
故选：A．
根据点D是AB的中点，求得BD=12AB，得到BDAB=BEBC=12，推出△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质多了是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接OC，如图
∵∠BAC=12∠BOC，
而∠BAC=12∠BOD，
∴∠BOC=∠BOD，
∴BC=BD，
∴AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=8−r，
在Rt△OCE中，42+(8−r)2=r2，
解得r=5，
∴BE=AB−AE=2×5−8=2．
故选：C．
连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC=12∠BOC，则∠BOC=∠BOD，所以BC=BD，再根据垂径定理得到AB⊥CD，CE=DE=12CD=4，设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=8−r，利用勾股定理得42+(8−r)2=r2，解方程求出r，然后计算AB−AE即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
8.【答案】B
【解析】解：观察表格可知：当x=1.1时，y=−0.49；当x=1.2时，y=0.04，
∴方程ax2+bx−5=0的一个根在范围是1.1故选：B．
利用二次函数和一元二次方程的关系．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
9.【答案】1.7×106
【解析】解：170万=1700000=1.7×106．
故答案为：1.7×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
10.【答案】54
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠ABC=108°，
∵FB⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=18°，
∴∠BFC=180°−∠C−∠CBF=54°，
故答案为：54．
先利用多边形的内角和公式求出正五边形中每一个角的度数，再根据垂直定义可得∠ABF=90°，从而可得∠CBF=18°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
11.【答案】2 3
【解析】解：连接AC，BD，AC，BD相交于点O，
由题知四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AO⊥BO，AB=AD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵AB=2，
∴AO=12AB=1，
∴BO= AB2−AO2= 3，
∴BD=2 3．
故答案为：2 3．
连接AC，BD，AC，BD相交于点O，根据菱形的判定和性质得到BO=DO，AO⊥BO，∠ABD=30°，利用30度所对直角边等于斜边一半得到AO，再利用勾股定理得到BO，即可解题．
本题考查菱形的判定和性质，以及等腰三角形性质，勾股定理，30度所对直角边等于斜边一半，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．
12.【答案】k>1
【解析】解：∵A(−3,m)，B(−2,n)都在反比例函数图象上，
∴点A、点B在双曲线同一分支上，
又∵−3<−2，且m>n，
∴y随x的增大而减小，
∴k−1>0，
∴k>1．
故答案为：k>1．
根据反比例函数的增减性可判断k−1的正负性，从而得到k的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据两点纵横坐标的大小比较，可得到函数的增减性．
13.【答案】3 3
【解析】解：
设BE=x，则DE=3x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2=BE⋅DE，即AE2=3x2，
∴AE= 3x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=( 3x)2+(3x)2，解得x= 3，
∴AE=3，DE=3 3，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA=PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3 3．
故答案是：3 3．
在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..
本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．
14.【答案】解：原式=1−|3−2 3|+14
=1−(2 3−3)+14
=1−2 3+3+14
=174−2 3．
【解析】先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
本题主要考查了化简二次根式，零指数米，负整数指数幂和实数的运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
15.【答案】解：解不等式3(x+2)≥2x+5，得：x≥−1，
解不等式2x−3x+12<1，得：x<3，
则不等式组的解集为−1≤x<3．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：原式=−a−32(a−2)÷a2−9a−2
=−a−32(a−2)⋅a−2(a+3)(a−3)
=−12a+6．
【解析】将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：如图，作AB的中垂线，交AB于点O，连结CO，并延长CO到点D，使DO=CO，连结AD，BD，则四边形ADBC即为所求的矩形.

【解析】本题考查尺规作矩形问题，涉及知识尺规作图−作一条线段的垂直平分线，尺规作图−作一条线段等于已知线段，矩形的判定，关键是线段中点的作法和中线加倍作法是关键．由矩形的性质知对角线互相平分且相等，以AB为对角线，为此先确定AB的中点O，连结CO并延长，中线加倍便可找到点D即可作图．
18.【答案】证明：∵BC/​/DE，
∴∠ABC=∠D，
在△ABC和△EDB中，
BC=DB∠ABC=∠DAB=ED，
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴AC=EB．
【解析】证得∠ABC=∠D，可证明△ABC≌△EDB，则结论得证．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
19.【答案】解：设有x辆车，则有(2x+9)人，
依题意得：3(x−2)=2x+9．
解得，x=15．
∴2x+9=2×15+9=39(人)
答：有39人，15辆车．
【解析】找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程二元一次方程组或可解此题．
考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键．
20.【答案】13
【解析】解：(1)由题意得，经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为13．
故答案为：13．
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两辆车行驶方向一致的结果有3种，
∴两辆车行驶方向一致的概率为39=13．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及两辆车行驶方向一致的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，

∴PE=AD=0.5m，
在Rt△BCH中，BC=1.6m，∠ACB=30°，
∴BH=12BC=0.8(m)，HC= 32BC=4 35，
在Rt△ABH中，∠BAH=45°，
∴AH=BH=0.8(m)，
∴AC=(45+4 35)m，
∴PC= 32AC=(65+2 35)m，
∴CE=PE+CP=0.5+65+25 3≈2.4(m)．
答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离约为2.4m．
【解析】过点A作AP⊥EF，垂足为P，想办法求出PC的长即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，
1千瓦时用电量能行驶的路程为15065−35=5(千米)．
答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米．
(2)设y=kx+b，把点(150,35)，(200,10)代入得：
150k+b=35200k+b=10，解得k=−0.5b=110，
∴y=−0.5x+110，
当x=170时，y=−0.5×170+110=25．
答：当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量为25千瓦时．
【解析】(1)根据图象信息蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，据此计算即可；
(2)根据待定系数法求出一次函数解析式，将x=170代入解析式计算出y值即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是关键．
23.【答案】50 12 C
【解析】解：(1)本次调查的总人数为20÷40%=50(名)，
则C等级人数为50−(10+14+20)=6(名)，
补全图形如下：
故答案为：50；
(2)在扇形统计图中，m%=650×100%=12%，即m=12，
本次调查的学生体育成绩中位数是第25、26个数据的平均数，
而这两个数据均落在C等级，
所以本次调查的学生体育成绩中位数落在C等级，
故答案为：12，C；
(3)800×10+14+650=480(名)，
答：估计体育期末成绩为合格及以上的学生约有480名．
(1)由D等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出C等级人数即可补全图形；
(2)C等级人数除以总人数可得m的值，再根据中位数的定义求解即可；
(3)总人数乘以样本中A、B、C等级人数和所占比例即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总体，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC/​/AD，
∵AD⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相切；
(2)解：过点O作OE⊥AC于E，

则AE=EC=12AC，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAC=∠BAC=35°，
在Rt△ADC中，∠DAC=35°，CD=3，
∵sin∠DAC=CDAC
∴AC=CDsin∠DAC=3sin35∘≈30.6=5，
∴AE=52，
在Rt△AEO中，
∵cs∠OAE=AEOA
∴OA=AEcs∠OAE=52cs35∘≈520.8=258，
∴⊙O的半径258．
【解析】(1)连接OC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠BAC，等量代换得到∠DAC=∠OCA，证明OC//AD，根据平行线的性质得到OC⊥l，根据切线的判定定理证明结论；
(2)过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理得到AE=EC=12AC，再解直角三角形即可求解．
本题考查了切线的判定、平行线的判定与性质，角平分线，垂径定理、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)点A的坐标为(2,0.6)、点C的坐标为(0,1)，
设抛物线的表达式为：y=ax2+c，
则c=10.6=4a+c，
解得：a=−0.1c=1，
则抛物线的表达式为：y=−0.1x2+1；
(2)由(1)得，y=−0.1x2+1①，
设直线OA解析式为y=kx，
将A(2,0.6)坐标代入得，0.6=2k，
解得k=0.3，
∴直线OA的表达式为：y=0.3x②，
联立①②得：0.3x=−0.1x2+1，
解得：x1=2(舍去)，x2=−5，
即点F(−5,−1.5)，
则EF=5×2=10．
【解析】(1)待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长．
本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解答本题的关键．
26.【答案】=
【解析】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠A=∠C，
∵CE=AF，
∴△DAF≌△DCE(SAS)，
∴DE=DF；
故答案为：=；
(2)成立，理由如下：
如图，连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠DAF=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
∴DE=DF；
(3)如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
同理可得∠DBC=60°，
∴∠DBE=∠DAF=120°，
∵∠EDF=∠ADB=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(SAS)，
∴S△ADF=S△BDE，AF=BE，
∴CE=BF=x，
∵S△DEF+S△BDE=S△ADF+S△ABD+S△BEF，
∴y=S△DEF=S△BEF+S△ABD，
过点F作FM⊥BE于点M，
∵CE=BF=x，∠FBE=60°，
∴FM= 32x，
∴S△BEF=12BE⋅FM=12(x−2)× 32x= 34x2− 32x，
∵△ABD是等边三角形，
∴S△ABD=12×2× 3= 3，
∴y= 34x2− 32x+ 3，
∵y= 34(x−1)2+3 34，
∴x=1时，y有最小值，最小值为3 34．
(1)根据菱形的性质，利用SAS证明△DAF≌△DCE，得DE=DF；
(2)连接DB，由菱形的性质得△ABD是等边三角形，得AD=BD，∠ADB=60°，再利用ASA证明△ADF≌△BDE，得DE=DF；
(3)证明△ADF≌△BDE(SAS)，得出S△ADF=S△BDE，证出y= 34(x−1)2+3 34，由二次函数的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADF≌△BDE是解题的关键．x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
−1
−0.49
0.04
0.59
1.16
左转
右转
直行
左转
(左转，左转)
(左转，右转)
(左转，直行)
右转
(右转，左转)
(右转，右转)
(右转，直行)
直行
(直行，左转)
(直行，右转)
(直行，直行)