2024年山东省枣庄市滕州市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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2024.04
本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带、不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，绝对值最大的实数是（ ）
A. 3B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，根据实数的大小比较方法进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴绝对值最大的实数是．
故选：B．
2. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】数据55000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、算术平方根、积的乘方，根据相应的运算法则计算，即可作出判断．
【详解】A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
4. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”中能看到侧棱，即看到的图形为 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
5. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 心形线B. 蝴蝶曲线
C. 四叶玫瑰线D. 等角螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握它们的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形．
6. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的判定和性质、等腰三角形性质、三角形内角和，理解垂直平分线的画法，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
由垂直平分线性质可知，得，用三角形内角和求解，则，结果可求．
【详解】解∶根据题意作图可知是线段的垂直平分线，
，
，，
，
故选：B．
7. 孙子算经中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺别立一表，长一尺五寸，影得五寸问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于尺，另外再有一根标杆，杆长尺，量得标杆的影子为尺，则木杆的长为（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为尺，
∴，
解得，
故选：D．
8. 若分式方程无解，则的值是（ ）
A. 3或2B. 1C. 1或3D. 1或2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件．
先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
∵分式方程无解，
，
，
，
解得：，
∵分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或1，
故选：D．
9. 如图，的直角顶点在坐标原点O上，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质；过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，设，，证明，求得的值，即可求得结果．
【详解】解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
则，
设，，，，
则，，；
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴或（舍去），
∴；
故选：C．
10. 如图1，在扇形中，，点从点出发，沿以1的速度匀速运动到点，图2是点运动过程中，的面积随时间变化的图象，则，的值分别为（ ）
A. 4,B. 4,C. ,D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数图像中的（a，）可知OB=OA=a，S△AOB=，由此可求得a的值，再利用弧长公式进而求得b的值即可．
【详解】解：由图像可知，当点P到达点A时，OB=OA=a，S△AOB=，
过点A作AD⊥OB交OB于点D，
则∠AOD=90°，
∴在Rt△AOD中，sin∠AOD=，
∵∠AOB=60°，
∴sin60°=，
∴AD=，
∵S△AOB=，
∴，
∴a=4（舍负），
∴弧AB的长为：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题是动点函数图象问题，考查了扇形弧长、解直角三角形等相关知识，解答时注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分﹐共18分）
11. 已知函数，则自变量x的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式组即可求解．
【详解】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则的值为_______．
【答案】35
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的应用，先根据一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5得到，把原式因式分解后整体代入即可．
【详解】解：∵一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，
∴，
∴，
故答案为：35
13. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为_______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
∴．
故答案为：．
14. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为______
【答案】##13厘米
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故答案为．
15. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，正方形的性质，点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由一次函数解析式，正方形的性质可求，即，，，即，，即，，即，……，可推导一般性规律为，的横坐标均为，然后求的横坐标即可．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，即，
∵正方形，
∴，
令，则，
解得，，
∴，即，
∵正方形，
∴，
同理，即，，即，……
∴可推导一般性规律为，的横坐标均为，
∴的横坐标为，
故答案为：．
16. 二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．下列结论：
①；②；③和在该二次函数的图象上，则当实数时，；④方程的所有根的和为2，其中正确结论是_______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．开口方向，对称轴，与轴交点位置，判断①，特殊点代入判断②，二次函数的性质判断③，数形结合利用图象的交点和抛物线的对称性，判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与y轴交于，
∴，
∴，
∴；故①正确；
由图象可知：当时：，
∴；故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
当和在该二次函数的图象上，
∵，，
当时：，则：，
当时，，
综上：，
∴；故③正确；
如图所示
则解的个数有4个，设交点的横坐标分别为，，，，
∵对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知，
，
∴的所有解的和是4，故④错误；
综上，正确的是①②③；
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共8小题，合计72分）
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中：．
【答案】（1）4；（2）；
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，特殊的三角函数值，算术平方根，负整数次幂和分式化简求值，解题的关键熟练掌握以上知识的运算法则．
（1）先分别求解零指数幂，特殊的三角函数值，算术平方根，负整数次幂，然后进行加减运算即可；
（2）先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
当时，原式．
18. 学校组织九年级全体500名学生观看了在中国空间站直播的“天宫课堂”第三课，并进行了一次航空航天知识竞赛，随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分，但两班均无满分）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息（用x表示成绩：A：，B：，C：，D：，E：）
乙班成绩在D组具体分数是：
42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据统计图，甲班在C等级的人数是________；
（2）直接写出n的值，n=____________；
（3）小明这次竞赛中的成绩是43分，在班中排名中游略偏上，那么小明是甲、乙哪个班级学生？请说明理由；
（4）假设该校九年级学生都参加了此次竞赛，成绩达到46分及46分以上为优秀，请你估计该校本次竞赛成绩优秀的学生人数.
【答案】（1）10； （2）42；
（3）小明是乙班学生；理由见解析；
（4）可以估算该校本次竞赛成绩优秀的人数为160人
【解析】
【分析】（1）观察频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的意义和计算方法分别计算即可；
（3）利用中位数的意义进行判断；
（4）根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数．
【小问1详解】
由频数分布直方图可知：C等级的人数是10人；
【小问2详解】
乙班的成绩从小到大排列，处在第25，26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n＝42；
小问3详解】
∵甲班成绩中位数为44.5分，乙班成绩中位数为42分，
已知小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，
∴小明是乙班学生；
【小问4详解】
甲班成绩在46分及以上的人数为人，乙班成绩在46分及以上的有20人，
两个班的整体优秀率为：
答：可以估算该校本次竞赛成绩优秀的人数为人．
【点睛】本题考查中位数的意义和计算方法，用样本估计总体，明确各个统计量的意义是正确解题的关键．
19. 学校举办了“喜迎二十大奋进新征程”演讲比赛，计划对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？
（2）根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共60件，其中甲种奖品的数量不超过20件，求购买两种奖品的总费用的最小值．
【答案】（1）甲种奖品的单价为10元，乙种奖品的单价为20元
（2）购买两种奖品的总费用的最小值是1000元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组和函数关系式．
（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，可得：，即可解得答案；
（2）设购买甲种奖品m件，购买两种奖品的总费用为w元，由甲种奖品的数量不超过20件，知，而，由一次函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：设甲种奖品的单价为x元乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
∴甲种奖品的单价为10元，乙种奖品的单价为20元；
【小问2详解】
解：设购买甲种奖品m件，购买两种奖品的总费用为w元，则购买乙种奖品件，
∵甲种奖品的数量不超过20件，
∴，根据题意得：，
∵，
∴当时，w取最小值，最小值为（元），
答：购买两种奖品的总费用的最小值是1000元．
20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，）
（1）求酒精灯与铁架台水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
（1）求出、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可．
【小问1详解】
如图，过点E作于点G，
∵，，
，，
在中，，，
，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为；
【小问2详解】
如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，
在中，，，
，，
，
∵，
，
，
∵，，
，
，
答：线段的长度约为．
21. 如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B、C．
（1）求反比例函数的关系式和点C的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，平行四边形的性质：
（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，根据、互相平分求点C的坐标；
（2）延长交x轴于点F，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积求解．
【小问1详解】
解：∵点在直线上，
，
，
，
∵反比例函数的图象经过点B，
，
反比例函数的关系式为；
∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，
，；
设，，
∵、互相平分，
，即，
，
；
【小问2详解】
解：如图，延长交x轴于点F，
设直线为
把B、C的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
的面积
．
22. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且．
（1）求证：是切线；
（2）若直径，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；
（2）根据已知条件可知，再根据余弦的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段的长度．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
又∵，
即，
解得（取正值），
∴．
【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，余弦的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形的相似比是解题的关键．
23. 如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点M，连接，，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）当时，求直线的函数表达式及点P的坐标．
【答案】（1）
（2）6 （3）的解析式为，
【解析】
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）设P点坐标为，则，，然后根据二次函数的最值求解即可．
（3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点P的坐标
【小问1详解】
解：将，代入，
，
解得：，
；
【小问2详解】
解：设P点坐标为，则，
，
当时，四边形面积的最大值为6；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
；
解方程组，
解得（舍）或，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行线的性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式．
24. 【问题发现】
在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）．
（1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整）
【类比探究】
（2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）连接并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小；
（4）已知，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案．
【答案】（1）相等，垂直（2）成立，证明见解析（3），（4）或
【解析】
【分析】（1）和交于点O，和交于点T，证明即可；
（2）仍成立．延长交于点S，证明方法同（1）；
（3）连接，，和交于点W，利用，证明，问题得解；
（4）分情况讨论，当点E在线段上时，连接，根据结论，，可得，且在中，，即可，解方程即可求解；当点G在线段上时，连接，同理可求．
【详解】（1）线段和的数量关系是相等；直线和位置关系是垂直，
如图，和交于点O，和交于点T，
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：相等，垂直；
（2）仍成立．理由如下：

延长交于点S，
由条件可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由“8字型”可知，，
∴；
（3）连接，，和交于点W，
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
即为定值，定值为，；
（4）当点E在线段上时，连接，如图，
∵正方形和正方形，，，
∴，，
∵，，
∴，且在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
当点G在线段上时，连接，如图，
则有，
∵，
∴，
同理解得：（负值舍去），
综上：长度为或者．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程等知识，正确画出图形，理解旋转的性质是解答本题的关键．
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4