2023-2024学年湖南省衡阳市工业机电中等职业学校等多校高三（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市工业机电中等职业学校等多校高三（上）期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{0，﹣1，2}，B＝{﹣1，1}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1}B．{0，﹣1，2}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1，2}
2．（4分）不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣3或x＞2}B．{x|﹣3＜x＜2}
C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜3}
3．（4分）过点P（﹣3，2）且与直线x+2y+3＝0平行的直线的方程是（ ）
A．2x﹣y+8＝0B．2x+y+4＝0C．x+2y﹣1＝0D．x﹣2y+7＝0
4．（4分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．B．f（x）＝﹣x2C．D．f（x）＝3x
5．（4分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知向量，满足＝（4，m），＝（﹣2，1），且∥，则||＝（ ）
A．﹣2B．8C．6D．
7．（4分）已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1），则其图像必经过点（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（1，2）D．（1，1）
8．（4分）某学校为了解学生对篮球、足球运动的喜爱程度，用分层抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高一年级的学生有60人，则样本容量为（ ）
A．18B．24C．150D．200
9．（4分）设a＝ln3，b＝lg0.6，c＝3﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b
10．（4分）将函数y＝sin2x﹣cs2x的图像向左平移个单位长度，所得图像的函数解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）sin15°cs75°﹣cs15°sin75°的值为 ．
12．（4分）函数f（x）＝﹣x2+2x+6，x∈[0，4]的值域为 ．
13．（4分）有5个小彩球的编号为1～5，现将其放入编号为1～5的盒子中，且恰有3个小彩球放入与其编号相同的盒子中，这样的情况有 种．
14．（4分）设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且满足a4＝30，则S7＝ ．
15．（4分）已知点P（m，n）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，其中第21，22小题为选做题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知函数f（x）＝lga（1﹣x）+lga（1+x），其中a＞0且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求使f（x）＞﹣1成立的x的集合．
17．（10分）已知数列{an}的通项公式为an＝2n，前n项和为Sn．
（1）判断数列{an}是否为等比数列，并说明理由；
（2）若Sn＝254，求n的值．
18．（10分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示甲学校的总得分，求X的分布列．
19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，点O为AC与BD的交点．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）已知点M是线段PD的中点，求三棱锥M﹣OCD的体积与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．
20．（10分）已知椭圆C的中心为坐标原点，离心率为，右焦点为点F（1，0），过点F的直线交椭圆C于P，Q两个不同的点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设线段PQ的中点在直线x﹣2y＝0上，求直线PQ的方程．
选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号．
21．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC＝csinA．
（1）求角C的大小；
（2）若b＝6，△ABC的面积为9，求c的值．
22．某投资公司制定投资计划时，不仅要考虑可能的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为120%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过20万元，要求确保可能的资金亏损不超过3万元．投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
2023-2024学年湖南省衡阳市工业机电中等职业学校等多校高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解答】解：由于A＝{0，﹣1，2}，B＝{﹣1，1}，
则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
故选：D．
2．【答案】A
【解答】解：∵不等式（x﹣2）（x+3）＞0，
∴x＞2或x＜﹣3，
∴不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．
故选：A．
3．【答案】C
【解答】解：设与直线x+2y+3＝0平行的直线的方程为x+2y+c＝0，
∵x+2y+c＝0过点P（﹣3，2），
∴1+c＝0，
∴c＝﹣1，
∴过点P（﹣3，2）且与直线x+2y+3＝0平行的直线的方程是x+2y﹣1＝0，
故选：C．
4．【答案】C
【解答】解：对于A，函数为非奇非偶函数，不合题意；
对于B，函数f（x）＝﹣x2为偶函数，不合题意；
对于C，函数是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于D，函数y＝3x在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意．
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：∵圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，
∴圆锥的底面半径为1，高为＝，
∴该圆锥的体积为×＝π，
故选：A．
6．【答案】D
【解答】解：∵向量，满足＝（4，m），＝（﹣2，1），且∥，
∴4＝﹣2m，
∴m＝﹣2，
∴||＝＝2，
故选：D．
7．【答案】C
【解答】解：∵指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）恒过定点（0，1），
∴函数y＝ax﹣1+1恒过点（1，2），
故选：C．
8．【答案】C
【解答】解：∵抽取的样本中高一年级的学生有60人，高一占高中总人数的40%，
∴样本容量为＝150，
故选：C．
9．【答案】D
【解答】解：∵a＝ln3＞1，b＝lg0.6＜0，0＜c＝3﹣0.2＜1，
∴a＞c＞b．
故选：D．
10．【答案】B
【解答】解：∵y＝sin2x﹣cs2x＝sin（2x﹣），
∴将函数y＝sin2x﹣cs2x的图像向左平移个单位长度，所得图像的函数解析式是y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．【答案】﹣．
【解答】解：sin15°cs75°﹣cs15°sin75°＝sin（15°﹣75°）＝﹣，
故答案为：﹣．
12．【答案】[﹣2，7]．
【解答】解：∵f（x）＝﹣x2+2x+6的二次项系数为负，对称轴为x＝1，
∴函数f（x）＝﹣x2+2x+6，x∈[0，4]的最大值为f（1）＝7，最小值为f（4）＝﹣2，
∴函数f（x）＝﹣x2+2x+6，x∈[0，4]的值域为[﹣2，7]
故答案为：[﹣2，7]．
13．【答案】10．
【解答】解：3个小彩球放入与其编号相同的盒子，剩下2个小彩球均只有一种方法，
则不同的方法有种．
故答案为：10．
14．【答案】210．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a4＝30，
∴S7＝＝210，
故答案为：210．
15．【答案】．
【解答】解：设，则n＝k（m+2），
又点P（m，n）在圆C上，
则m2+k2（m+2）2＝1，
即（1+k2）m2+4k2m+4k2﹣1＝0，
则Δ＝（4k2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣1）≥0，
化简可得，，
解得，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，其中第21，22小题为选做题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．【答案】（1）f（x）是偶函数，理由见解答过程；（2）{x|﹣＜x＜}．
【解答】解：（1）f（x）是偶函数，理由如下：
∵函数f（x）＝lga（1﹣x）+lga（1+x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，
又f（﹣x）＝lga（1+x）+lga（1﹣x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）∵，
又f（x）＝lga（1﹣x）+lga（1+x）＝lga（1﹣x）（1+x）＝lga（1﹣x2），
∴lga（1﹣）＝﹣2，
∴lga＝﹣2，
∴a＝2，
∵f（x）＞﹣1，
∴lg2（1﹣x2）＞﹣1＝lg2，
∴1﹣x2＞，
∴x2＜，
∴﹣＜x＜，
∴使f（x）＞﹣1成立的x的集合为{x|﹣＜x＜}．
17．【答案】（1）数列{an}是等比数列．
（2）n＝7．
【解答】解：（1）因为an＝2n，an﹣1＝2n﹣1，n≥2，
所以＝2为常数，
所以数列{an}是等比数列．
（2）由（1）知数列{an}是公比q＝2，首项a1＝2，等比数列，
所以Sn＝＝＝2n+1﹣2，
若Sn＝254，则2n+1﹣2＝254，
所以2n+1＝256，
所以n+1＝8，
所以n＝7．
18．【答案】（1）0.648；
（2）X的分布列如下：
【解答】解：（1）∵甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立，
∴甲学校获得冠军至少要赢得两场比赛，
∴甲学校获得冠军的概率为0.63+0.62×（1﹣0.6）×3＝0.648；
（2）X可以为0，2，4，6，
P（X＝0）＝（1﹣0.6）3＝0.064，
P（X＝2）＝0.6（1﹣0.6）2＝0.288，
P（X＝4）＝0.62（1﹣0.6）＝0.432
P（X＝6）＝0.63＝0.216，
X的分布列如下：
19．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD⊥AC，PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，
∴BD⊥PC；
（2）∵点O为AC与BD的交点，底面ABCD是菱形，
∴S△OCD＝SABCD，
∵点O为AC与BD的交点，底面ABCD是菱形，点M是线段PD的中点，
∴MO是三角形PBD的中位线，
∴三棱锥M﹣OCD的高是与四棱锥P﹣ABCD高的一半，
∴三棱锥M﹣OCD的体积与四棱锥P﹣ABCD的体积之比为＝．
20．【答案】（1）；
（2）y＝0或．
【解答】解：（1）依题意，，
则a＝2，
故b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，
则椭圆C的标准方程为；
（2）显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），
联立，消去y并整理可得，（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
故y1+y2＝k（x1﹣1）+k（x2﹣1）＝k（x1+x2﹣2）＝，
则线段PQ的中点坐标为，
又线段PQ的中点在直线x﹣2y＝0上，
则，
解得k＝0或，
则直线PQ的方程为y＝0或．
选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号．
21．【答案】（1）C＝；（2）c＝3．
【解答】解：（1）∵acsC＝csinA，
∴sinAcsC＝sinCsinA，
∵sinA＞0，
∴csC＝sinC，
∴tanC＝1，
∵0＜C＜π，
∴C＝；
（2）∵△ABC的面积为9，
∴absinC＝9，
∴ab＝18，
∵b＝6，
∴a＝3，
∵c2＝a2+b2﹣2abcsC＝18+36﹣2×18×＝18，
∴c＝3．
22．【答案】投资公司对甲、乙两个项目分别投资5万元和15万元，才能使可能的盈利最大．
【解答】解：设投资公司对甲、乙两个项目分别投资x万元和y万元，盈利z＝1.2x+0.5y，
∵甲、乙项目可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过20万元，要求确保可能的资金亏损不超过3万元，
∴，
根据函数可行域可知当x＝5，y＝15时，z取得最大值，
因此投资公司对甲、乙两个项目分别投资5万元和15万元，才能使可能的盈利最大． X
0
2
4
6
P
0.064
0.288
0.432
0.216
X
0
2
4
6
P
0.064
0.288
0.432
0.216