2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若可导函数f(x)满足limΔx→0f(3+Δx)−f(3)Δx=4，则f′(3)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则257是这个数列的( )
A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项
3.设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为( )
A. 63B. 64C. 127D. 128
4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9(单位：L)依次成等差数列，若a1+a2+a3=3.6，a8=0.4，则a1+a2+…+a9=( )
A. 5.4B. 6.3C. 7.2D. 13.5
5.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.现有6本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案有多少种( )
A. 33B. C62⋅C42⋅C22C. C61⋅C52⋅C33⋅A33D. A33+4
7.函数f(x)=sinx−(x+2)csx−1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为( )
A. −2π−3，π+1B. −2π−3，−3
C. −3，π+1D. −3，2
8.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火，水生木，不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如水克火，木克土，可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有( )
A. 3125B. 1000C. 1040D. 1020
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列求导运算正确的是( )
A. (xsinx)′=sinx+xcsxB. (x−1x)′=1+1x2
C. (2x)′=2x⋅ln2D. (xex)′=ex
10.过点(−1,−1)且与曲线y=3x3+2相切的直线方程可能为( )
A. 8x−y+7=0B. 9x−y+8=0C. 9x−4y+5=0D. 8x−3y+5=0
11.将数列{an}中的所有项排成如下数阵：
a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9⋅⋅⋅
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数a1，a2，a5，⋅⋅⋅成等差数列.若a2=2，a10=8，则( )
A. a1=−1B. i=29ai=168
C. a2024位于第45行第88列D. 2024在数阵中出现两次
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}满足a1+a6=12，a4=7，则a3=______.
13.若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(1)lnx+x，则f(e)=______.
14.已知首项均为32的等差数列{an}与等比数列{bn}满足a3=−b2，a4=b3，且{an}的各项均不相等，设Sn为数列{bn}的前n项和，则Sn2−1Sn的最大值与最小值之差的绝对值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是首项为1的等差数列，公差d>0，设数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=1an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.
(1)共有多少种不同的安排方案？
(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？
(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？
17.(本小题15分)
设函数f(x)=x2+(a−2)x−alnx(a∈R).
(1)若a=1，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
18.(本小题17分)
若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2(n∈N*)，数列{bn}满足b1=2，bn=3bn−1+2(n≥2,n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn+1}是等比数列；
(3)设数列{cn}满足cn=anbn+1，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，2(Tn+1)≤(n+1)λ恒成立，求实数λ的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−exsinx，x∈[0,π2](e为自然对数的底数).
(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；
(2)若不等式a≤f(x)≤b对任意x∈[0,π2]恒成立，求实数a−b的最大值；
(3)证明：f(x−1)>1−ex−1sin(x−1)−12(x−32)2.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：limΔx→0f(3+Δx)−f(3)Δx=4，
则f′(3)=4.
故选：D.
根据导数的定义计算可得．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式的应用，考查了判断数列的项的问题．
根据通项公式，令an=257，求出n的值即可求解．
【解答】
解：令an=2n+1=257，
即2n=256，解得n=8，
所以257是数列的第8项，
故选：C.
3.【答案】C
【解析】解：因为a5=a1q4，即q4=16，
又q>0，所以q=2，
所以S7=1−271−2=127.
故选：C.
先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．
本题考查等比数列的通项公式及前n项公式．
4.【答案】C
【解析】解：∵{an}为等差数列，
∴a1+a2+a3=3a2=3.6，故a2=1.2，
∴a1+a2+...+a9=92(a1+a9)
=92(a2+a8)=92×(1.2+0.4)=7.2.
故选：C.
根据等差数列性质得a2=1.2，进一步利用a1+a2+...+a9=92(a2+a8)进行求解即可．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题，是中档题.
根据函数y=xf′(x)的图象，依次判断f(x)在区间(−∞,−1)，(−1,0)，(0,1)，(1,+∞)上的单调性即可．
【解答】
解：由函数y=xf′(x)的图象可知：
当x1，令f′(x)1，令f′(x)