2024年江苏省泰州市泰兴市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的立方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：，
故选：B
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 四棱柱B. 五棱柱C. 六棱柱D. 六棱锥
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．通过俯视图为六边形得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为六棱柱．
【详解】解：由图可知：
该几何体是六棱柱．
故选：C．
3. 下列算式，计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数的乘除法，合并同类项，根据同底数幂乘除法以及合并同类项的计算法则，计算各项即可．
【详解】解：A、，符合题意；
B、与2不是同类项不能合并，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
4. 一组数据3、4、4、5，若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据统计量会变小的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，分别求出两组数据的平均数，众数，中位数，方差，进行比较即可．
【详解】解：原数据3、4、4、5，
平均数为，中位数为，众数为4，
方差为，
新数据3、4、4、4、5，
平均数为，中位数为，众数为4，
方差为，
，
则前后两组数据的统计量会变小的是方差，
故选：D．
5. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围．
【详解】解：，且，
∴反比例函数的图像在第二、四象限，
，
，
故选：B．
6. 如图，中，，，，连结，若要计算的面积，只需知道（ ）
A. 长B. 长C. 长D. 长
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过C作于F，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解∶过C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为，
故选∶D．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 的倒数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可．
【详解】的倒数是
故答案为．
【点睛】此题考查的目的是使学生理解倒数的意义，掌握求一个无理数的倒数的方法．
8. 古语有云：“滴水穿石”，若水珠不断滴在一块石头上，经过若干年后，石头上会形成一个深为的小洞，数据用科学记数法表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：
9. 如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点D、E、F．若，，则____．
【答案】66
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的外角定义以及性质，等边对等角，对顶角相等，根据三角形的外角定义以及性质可得出，，可得出，根据对顶角相等得出，即，再根据等边对等角得出，即可得到，代入已知条件即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．，
∵，，
∴，
故答案：66．
10. 已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是____．（填一个值即可）．
【答案】1（即可）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，恒成立，
∵两根之和为负数，
∴，
∴，
∴m的值可以是1，
故答案为：1（即可）
11. 如图，在A、B、C（）三地之间的电缆有一处断点，断点出现在A、B两地之间的可能性为，断点出现在B、C两地之间的可能性为，则____．（填“”、“”、“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小，根据即可判断．
【详解】解：∵断点出现在A、B，C点之间的可能性一致，
又∵，
∴，
故答案为：．
12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为____．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长公式，设这个扇形的半径为r，根据弧长公式列出方程求解即可：弧长公式为，其中n为扇形圆心角度数，r为扇形编辑．
【详解】解：设这个扇形的半径为r，
由题意得，，
解得，
∴这个扇形的半径为30，
故答案为：30．
13. 如图，E、F、G、H分别是各边的中点，的面积是12，则四边形的面积是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查中点四边形，相似三角形的判定和性质，根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的判定和性质，推出，进而得到四边形的面积为即可．
【详解】解：连接，则：，
∵E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴四边形的面积；
故答案为：6．
14. 如图，正方形的顶点A、D分别在一次函数和反比例函数的图像上，顶点B、C在x轴上，则该正方形边长为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正比例函数、反比例函数的性质和正方形的性质，设点，则点，结合正方形的性质可得，解得a，即可求得正方形的边长．
【详解】解：设点，则点，
∵是正方形，
∴，
即，
解得：（负值舍去）
∴，
故答案为：．
15. 已知，存在实数m使成立，则m的值为____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把代入，可得，再结合非负数的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：；
故答案为：
16. 如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果．
【详解】解：如图，过点C作于点H，
，
，
，
，
以点C为圆心为半径作圆，
为的中点，
，
由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，
的最小值为，
由于上的点B距离C点最短，
能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，
的最大值为，
旋转过程中的取值范围为
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）原方程无解
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混和运算以及解分式方程．
（1）先化简二次根式，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后算乘法，最后计算加减法．
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1，最后检验即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
，
，
，
经检验为增根；
∴原方程无解．
18. 全国两会上，我们从政府工作报告中能够感受到民生温度——2023年居民人均可支配收入增长，城乡居民收入差距继续缩小．脱贫攻坚成果巩固拓展，脱贫地区农村居民收入增长．下面是泰兴市2019年至2023年全体居民人均可支配收入条形统计图：
2019~2023年泰兴市全体居民人均可支配收入条形统计图
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2023年泰兴市全体居民人均可支配收入较2022年的增长率约为 （精确到）；从2020年至2023年，该市全体居民人均可支配收入增长最多的年份是 年；
（2）请结合图中数据从两个方面谈谈该市居民人均可支配收入的情况．
【答案】（1）；2021
（2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图相关知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据增长率定义计算2023年泰兴市全体居民人均可支配收入较2022年的增长率即可；分别计算出从2020年至2023年每一年的增长量然后即可得出答案．
（2）根据条形统计图写两点即可．
【小问1详解】
解：根据题意：，
∴2023年泰兴市全体居民人均可支配收入较2022年的增长率约为．
2020年增长了：，
2021年增长了：
2022年增长了：
2023年增长了：，
∴从2020年至2023年，该市全体居民人均可支配收入增长最多的年份是2021年．
故答案为：；2021．
【小问2详解】
1.从条形统计图可知：2019年—2023年泰兴市全体居民人均可支配收入呈增长趋势；
2.按照2023年泰兴市全体居民人均可支配收入的增长率为，则预计2024年泰兴市全体居民人均可支配收入可超过5万元．(答案不唯一)
19. 小远参加智力竞答游戏，答对最后两道单选题就可通关．两道单选题都各有3个选项，游戏中小远还有一个“求助”的机会（使用“求助”可以去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小远第一题使用“求助”，那么小远答对第一题的概率是 ．
（2）如果小远将“求助”留在第二题使用，求小远通关的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了用概率公式求概率以及用列表法或树状图求概率．
（1）根据题意每题都有3个选项，使用“求助”后剩余2个选项，一个正确选项，一个错误选项，最后根据概率公式即可求解．
（2）将第一题的三个选项分别记作，，，第二题的三个选项分别记作，，，其中，两题的正确答案为，，设第二题运用“求助”去掉错误答案．列出表格求概率即可．
【小问1详解】
解：根据题意每题都有3个选项，使用“求助”后剩余2个选项，
一个正确选项，一个错误选项，
∴如果小远第一题使用“求助”，那么小远答对第一题的概率是
故答案为：．
【小问2详解】
将第一题的三个选项分别记作，，，第二题的三个选项分别记作，，，其中，两题的正确答案为，，设第二题运用“求助”去掉错误答案．
共有6种等可能得结果，其中小远通关占其中的1种，
小远通关的概率为.
20. 随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】设该市充电桩数量的年平均增长率为，可列方程：
解得，（舍去）
答：该市充电桩数量的年平均增长率为．
21. 已知，如图，中，，，点D、E、F分别为边、、上一点，且 ， ，则 ．
给出下列信息：①；②；③点D为的中点．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
【答案】选①，③，则②或选①，②，则③，证明见详解
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和正方形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和添加辅助线是解题的关键．
选①，③，则②连结，由题意得，，，利用直角可得，结合即可证明，则有成立；选①，②，则③，过点D作于点G，于点H，连接，则四边形为矩形，利用证明，有，即四边形为正方形，求得，进一步得到，有，即证明点D为的中点．
【详解】解：选①，③，则②
补全图形（如图）
证明：连结，
，点D为的中点
，
，点D为的中点：
，，
∵，
，
即，
∵，
又，，
，
，
；
选①，②，则③，
补全图形
证明：过点D作于点G，于点H，连接，如图，
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即四边形为正方形，
∴，
又，，
，
，
；
即点D为的中点．
22. 北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务，如图，是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬的点A（即）观测，是点A处的地平线（即与相切于点A），测得，已知地球半径约为，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离．
（，，，，结果精确到．）
【答案】卫星P到地球表面的最短距离为约．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质．过点A作，垂足为点D，利用锐角三角函数的定义可求出和的长，再利用切线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点A作，垂足为点D，
由，，
∴，
，，
∵与相切于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
答：卫星P到地球表面的最短距离为约．
23. 如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，经过8秒到达水平面后继续滚动，呈匀减速运动状态，设小球从斜面顶端开始到在水平面上停止的过程中运动t秒时的速度为v（单位：），滚动的路程为s（单位：）．结合物理学知识可知，小球在斜面滚动时v与t的函数表达式为，s与t的函数表达式为；在水平面滚动时v与t的函数表达式为．s与t的函数表达式为．v与t部分数据如下表所示，s与t的部分函数图像如图2所示．
（1）表格中时，v的值为 ．
小球在水平面滚动过程中v与t的函数表达式为 ；
（2）求小球在水平面滚动时s与t的函数表达式；
（3）求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程．
【答案】（1）16，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把，代入，求出，把代入求出；把，；，代入求解即可；
（2）把代入，求出，把，；，代入求解即可；
（3）把（2）中化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解∶把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
把，；，代入，
得，解得，
∴，
故答案为∶16， ；
【小问2详解】
解：当时，，
把，；，代入，
得，
解得，
；
小问3详解】
解：
∴当时，s有最大值为192，
即求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动总路程．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：详见解析；任务2：详见解析
【解析】
【分析】任务1：
素材1：由折叠和正方形的性质可证，有，同理，有，结合矩形的性质可得，则，即可证明点M是的三等分点；
素材2：连接，设正方形边长为a，由折叠可得，，由折叠和正方形的性质可证，有，设，则，，在中，利用勾股定理求得，即可判定点M是三等分点
任务2：
方法一：参照任务一的方法即可折出矩形的一个三等分点；方法二：首先两次对折矩形形成新的矩形，再结合任务一的方法即可找到三等分点；方法三：参照任务二的方法即可折出矩形的一个三等分点．
【详解】解：任务1：
素材1：由折叠可得：，
，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
即点M是的三等分点；
素材2：连接，如图，
设正方形边长为a，由折叠可得，
，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
，
设，则，，
在中，，
，解得，
，
即点M是三等分点
任务2：
方法一：
第一步：对折矩形，展开，折痕为；
第二步：沿对角线折叠矩形，展开，再沿折叠矩形，
展开，折痕，交于点G，
第四步：过点G折叠矩形，使折痕；
则点H即为的一个三等分点．
方法二：
第一步：两次对折矩形，展开，折痕分别为、；
第二步：沿折叠矩形，展开；再沿折叠矩形，展开，交折痕于点G；
第三步：沿折叠矩形，折痕交于点M，
则点M即为所求作的三等分点．
方法三：
第一步：将边沿折叠到落到边位置；
第二步：折叠矩形，使点A与点E重合，点B与点F重合，展开，折痕为；
第三步：将点E沿折叠到点N的位置，将点A沿折叠到点P的位置，折痕交边于点M；
则点M即为边的一个三等分点．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质和找到对应的等分点．
25. 如图1，点A在抛物线对称轴右侧图像上，点B在y轴正半轴上，，过B作轴交抛物线对称轴右侧的图像于点C，设．
（1）当时
①若，求的长；
②若，求的值；
（2）在变化的过程中，图中始终有2条线段相等，请指出相等的线段并说明理由；
（3）如图2，点E为抛物线顶点，F、G分别为对称轴左侧图像和对称轴上一点，且，用无刻度的直尺和圆规过点G作x轴平行线．（直尺和圆规都限用一次，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）①；②
（2），详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】过点A作轴，设，①根据题干得解得，即可求得点A和点B，进一步求得；②同理可得解得，即可求得点A，得到，和，则有点B，进一步求得，即可求得；
过点A作轴交x轴于点F，交于点E，设，则，．可证得，有，求得，进一步求得，，则可求得即可；
过点G为圆心，以为半径作圆，交抛物线于点M和N，由知，结合抛物线得对称性即可知直线即为所求直线．
【小问1详解】
解：过点A作轴，如图，
设，
①，
，解得，．
，，
将代入中，解得（舍负），
，
②，
，解得，．
，，，
，
将代入中，解得（舍负），
，
．
【小问2详解】
，
过点A作轴交x轴于点F，交于点E，如图，
则，
设，则，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
．
，．
将代入函数关系式中得，
，
；
【小问3详解】
如图，直线即为所求直线．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、解一元二次方程、相似三角形的判定和性质、勾股定理和圆的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
26. 如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，．
【初步认识】
（1）①求证：；
②若，求的值．
【特值探究】
（2）若，，，求长；
【逆向思考】
（3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
【答案】（1）①详见解析；②；（2）10；（3）是等腰直角三角形，详见解析
【解析】
【分析】（1）①证明，，从而证明即可；
②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解；
（2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形对应边相似可求出，再利用得解；
（3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解．
【详解】（1）①证明：为的直径，
，
于点F，
，
②，
中，
（2）中，，，，
∴，，
由（1）可知：，，
，即，
（3）是等腰直角三角形．理由如下：
理由：中，，
由（1）可知：，
，即
，
，
，
由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立，
且，
，
锐角
中，，
为的直径，
，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握判定是解题的关键．
第一题
第二题
时间
0
2
8
10
…
平均速度
0
4

14
…
折纸确定矩形一边上的三等分点
素材1
第一步：对折正方形，展开，折痕为；
第二步：将正方形沿对角线折叠，展开；
第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G；
第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为；
则点M即为边的三等分点．
素材2
第一步：对折正方形，展开，折痕为；
第二步：将边沿折叠到的位置；
第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M；
则点M即为边的三等分点．
问题解决
任务1
证明素材1或素材2中方法的正确性．（两个素材选一个完成，选择素材1完成满分3分，选择素材2完成满分5分，若两个素材都完成按得分较高的给分．）
任务2
已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法．