中考数学二轮复习重难点突破课件：专题6 十字架模型

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一、 知识储备[模型解读]　　十字架模型，就是在正方形、矩形和直角三角形中，由互相垂直的两线段得到全等或相似，从而得到线段之间的数量关系.
二、 典例解析模型1　正方形中的十字架模型1. 如图①，在正方形ABCD中，BN⊥AM，则△ADM≌△BAN，AM＝BN.
2. 如图②，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，CD，BC，AD上的点，EF⊥GH，则△HNG≌△FME，GH＝EF.
[思考]从相等是否可推导出垂直？
如图③，JK⊥HI，JK＝HI，过点H作HP⊥CD于点P，作点I关于HP的对称点Q.∴ HI＝HQ.∵ JK＝HI，∴ HQ＝JK.但HQ与JK不垂直.
例1 如图，将边长为3的正方形纸片ABCD沿EF折叠，点C落在边AB上的点G处，点D落在点H处，连接CG，与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ的周长的最小值是（　B　）
1. 如图，正方形ABCD的边长为3，E为边BC上一点，BE＝1.将正方形ABCD沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，展开，留下折痕GF，连接AF，EF，GE，AE，则四边形AGEF的面积为（　D　）
2. 如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至边DC上的点E处，使DE＝5，展开，留下折痕PQ，连接AE，则PQ的长为（　B　）
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，把矩形ABCD对折，使点B和点D重合，展开后得到折痕MN.求折痕MN的长.
模型3　直角三角形中和其他四边形中的十字架模型
直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，所以矩形的结论可沿用至直角三角形中.
例3 如图，在Rt△ABC中，CA＝4，BC＝3，D为CA上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD.当AD＝CD时，求AE的长.
三、 巩固练习1. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF＋DE的最小值为（　C　）
3. （1） 如图①，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.
4. 在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，DE与CF交于点G.（1） 如图①，四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证： △ADE∽△DCF.
解：（1） 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝∠ADC＝90°. ∴ ∠ADE＋∠CDG＝90°.又∵ DE⊥CF，∴ ∠CDG＋∠DCF＝90°. ∴ ∠ADE＝∠DCF.∴ △ADE∽△DCF.