江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

这是一份江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了1的有3个，等内容，欢迎下载使用。
试卷满分:150分，考试时间:120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在的展开式中，所有二项式系数和为，则为（ ）
A．B．C．D．
2．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B． C． D．
4．在棱长为1的正方体中，是线段的中点，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.
A．40B．24C．20D．12
6．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．3B．4C．5D．6
已知，下列四个结论：①，②，③，
④.其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法错误的是（ ）
A．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
B．已知随机变量服从正态分布，则其期望
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12
10．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有64种
B．若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
11．在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．二面角的余弦值为
B．棱台的体积为26
C．若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为
D．点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题每小题5分共15分。
12．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 .
13．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其线性回归方程为，且，则相应于点的残差为 .
已知三棱锥的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为 .点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为 .
四、解答题
15．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是.
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项.
16.已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为游客的选择与所在的小组有关；
(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为，求及的数学期望.
附：，.
当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联.
17．某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为
了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
18．如图，四面体中,．
(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
19．已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．
数学5月月考卷
一、单选题
1．在的展开式中，所有二项式系数和为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，解得.
2．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】＋＋＋＝，A错误；
＋＝，B错误；
，C正确；
＋＝，D错误.
3.已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.
4．在棱长为1的正方体中，是线段的中点，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在正方体中建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，
设平面的法向量，
则，取可得平面的一个法向量，
因为是线段上一点，设，
所以，
所以点到平面的距离，
5．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.
A．40B．24C．20D．12
【答案】B
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，先令丙、丁两人相邻用捆绑法，再把丙、丁与戊排列在一起，最后插空令甲、乙两人不相邻,则不同的排法共有种.
6．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题；
设事件表示答对该题，则，
设事件表示答对某个题，
则，
设事件表示将有思路的题目做对，则，
7.某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，
设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，其中，
时，；
显然，即不可能为最大值，
当时，由得，
化简得，解得，
又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5，
故选：C．
8．已知，下列四个结论：①，②，③，④.其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由，可得，
因为，则，可得，构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以，即，当且仅当时取等号，
对于①：由可知，可得，
整理得，所以，故①正确；
对于②：当时，，则，因为，即，可得，
则，可得，所以，故②错误．
对于③：因为，则，可得，
令，则，可得，
令，则，
因为，当且仅当时取等号，
当时，，则当时恒成立，
可知在上单调递增，则，所以，即，故③错误；
对于④：因为，当且仅当时取等号，
可得，当且仅当时取等号，又因为，则，
可得，所以，故④错误；故选：C.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
B．已知随机变量服从正态分布，则其期望
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12
【答案】ABD
【详解】对于A，线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故A错误；
对于B，因为X服从正态分布，所以，故B错误
对于C，因为服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，根据方差的性质可知的方差为，
故所求标准差为，故D错误.
10．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有64种
B．若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
【答案】ACD
【详解】A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确；
B选项，先从4所医院选择2所，有种选择，再将三名专家分到两所医院，有种选择，则不同的安排方法有种，B错误；
C选项，先从4所医院选择3所，有种选择，再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择，则不同的安排方法有种，C正确；
D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，
若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，故不同的安排方法有种，D正确.
故选：ACD
11．在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．二面角的余弦值为
B．棱台的体积为26
C．若点在侧面内运动，则四棱锥体积
的最小值为
D．点的轨迹长度为
【答案】ACD
【详解】A选项，因为平面，平面，所以，
又底面分别是边长为4和2的正方形，故，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，
解得，令得，，故，则，
又从图形可看出二面角为锐角，故二面角余弦值为，A正确；
B选项，棱台的体积为，B错误；
C选项，若点在侧面内运动，，
设，则，
整理得，
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分，如图所示，圆弧即为所求，
过点作⊥于点，与圆弧交于点，此时点到平面的距离最短，
由勾股定理得，
因为，，，
故点到平面的最短距离为，因为与平行，且⊥平面，
又平面，所以⊥，
故四边形为直角梯形，故面积为，
则四棱锥体积的最小值为，C正确；
D选项，由C选项可知，当点在侧面内运动时，轨迹为圆弧，
设其圆心角为，则，故，所以圆弧的长度为，
当点在面内运动时，，设，则，
整理得，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分，
如图所示，圆弧即为所求轨迹，其中，故，
则圆弧长度为，
若点在面内运动时，，设，则，
整理得，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分，
如图所示，圆弧即为所求，此时圆心角，故圆弧长度为，
经检验，当点在其他面上运动时，均不合要求，综上，点的轨迹长度为，D正确.故选：ACD
三、填空题
12．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ．
【答案】
【详解】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为，
又，所以数学分数属于闭区间的概率为，
所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人.
对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ．
【答案】
【详解】将，代入可得，所以，
故当时，，所以残差为，故答案为：
14．已知三棱锥的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为 ，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为 .
【答案】
【详解】（1）由已知可得，质点M移动1次后，在底面ABC上的概率为；
（2）①若质点移动1次后，在点或点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为；
②若质点移动1次后，在点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为.
所以，点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为.
（3）设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为，.
①若质点移动次后仍然在底面ABC上，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为；
②若质点移动次后在点，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为.
所以，，所以有.又，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以有，，
所以，.故答案为：；.
四、解答题
15．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是.
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项.
【详解】（1）由题可得展开式的通项为，令，则第2项的系数为，令，则第3项的系数为，所以第2项的系数与第3项的系数之比为，解得：.
（2）由（1）知，所以展开式的通项为，
令，解得，故常数项为.
16.已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为游客的选择与所在的小组有关；
(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为，求及的数学期望.
附：，.
当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联.
【详解】（1）的列联表如下：
，所以有的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
（2）在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，所以乙社区游客去青城山旅游的概率为，所以，所以，.
17．某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
【详解】（1）依题意，，
， ，
，所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
X的分布列如下：
所以X的期望是.
18．如图，四面体中，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
【详解】（1）取的中点，连接，因为，则，
所以，所以，所以，又因为所以，则，又因为，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，设，因为，所以由可得：，所以，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为直线与平面所成角为30°，所以,则，化简可得：，解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面所以，在上，
因为，所以，，所以，
即，所以，所以，三棱锥体积为：
，因为，当时，三棱锥体积最大为，此时分别为，的中点，所以，
,设，设，
因为，所以，所以，因为在平面上，所以设，
所以，
所以，解得：，所以，所以.
19．已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．
【详解】（1）由题知，令，则，
当时，在区间单调递增，当时，令，解得，
当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）当时，，由（1）知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，且，由（1）知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，则当时，在上单调递增，
所以无极值点，不合题意；
当时，，且；当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；所以是函数的极大值点，符合题意；综上所述，的取值范围是.
（3）要证，只要证，只要证，，因为，则，所以只要证对任意，有，只要证对任意，有（※），
因为由（2）知：当时，若，则，所以，即①，
令函数，则，所以当时，所以在单调递增；则，即，由①②得，所以（※）成立，所以成立.
ξ
－1
0
1
2
3
P
用时/秒
男性人数
17
21
13
9
女性人数
8
10
16
6
去峨眉山旅游
去青城山旅游
合计
东小组
西小组
合计
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额
7．30
ξ
－1
0
1
2
3
P
用时/秒
男性人数
17
21
13
9
女性人数
8
10
16
6
去峨眉山旅游
去青城山旅游
合计
东小组
西小组
合计
去峨眉山旅游
去青城山旅游
合计
东小组
40
20
60
西小组
25
35
60
合计
65
55
120
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额
7．30
X
0
1
2
3
P