2024年广西壮族自治区梧州市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：1.本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟.
2.答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）
1. 下列各数属于无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数定义．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：0，，都是有理数，
是无理数，
故选：C．
2. 2023年，中国杭州举办了第十九届亚运会，右图是本届亚运会的会徽的部分图案，通过平移该图案可得到下列图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移后的图形的方向、大小、形状都不变，选择符合的图形即可，熟练掌握图形平移的特点是解题的关键．
【详解】解：∵平移后的图形的方向、大小、形状都不变，
∴C图形是通过平移该图案可得到的图形，
故选：C．
3. 若有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于得出的取值范围即可，熟练掌握“分式有意义的条件：分式的分母不等于”是解题的关键．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故选：B．
4. 如图所示，小华同学使用直尺与三角板画平行线，在平移三角板的过程中，保持三角板的斜边与直尺的夹角相等，这种画平行线的依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 内错角相等，两直线平行
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据图中三角形的两个位置，两个“斜边与直尺的夹角”的位置关系是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出答案，正确识别图中三角板两个位置的斜边与直尺的夹角是同位角是解题的关键．
【详解】解：∵保持三角板的斜边与直尺的夹角相等，
∴三角板两个位置的斜边平行（同位角相等，两直线平行），
故选：D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了不等式的解集表示方法．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：C．
6. 下列计算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则和幂的乘方法则分别求出，即可选出答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
7. 下列调查活动，适合使用全面调查的是
A. 对西江水域的水污染情况的调查B. 了解某班学生视力情况
C. 调查某品牌电视机的使用寿命D. 调查央视《新闻联播》的收视率
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全面调查和抽样调查的选择，根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
【详解】解：A、对西江水域的水污染情况的调查，江西水域范围大，适合抽样调查；
B、了解某班学生视力情况，调查工作量比较小，适合全面调查；
C、调查某品牌电视机的使用寿命，数量多，且可能具有破坏性，适合抽样调查；
D、调查央视《新闻联播》的收视率，观众数量多，适合抽样调查；
故选：B．
8. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，明白要作垂径求解是解题的关键．
过点向下作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据计算，利用勾股定理计算，最后根据得出答案即可．
【详解】解：如图，过点向下作于点，交于点，连接，
∴，，
∵半径为，瓶内液体最大深度为，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
9. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到的抛物线为，
即，顶点坐标为．
故选：B．
10. 某景区为提供更好的游览体验，在景区内修建了观光索道，设计如图所示，以山脚A为起点，沿途修建长度分别为，的两段索道和及观景平台，已知索道与的夹角是，与的延长线的夹角是，则点D到的距离是（ ）（米）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，延长交于H，先解得到，再证明四边形是矩形，米，再解，得到米，则．
【详解】解；如图所示，延长交于H，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴米，
∴，
故选：A．
11. 2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；根据每两队之间都赛一场，设邀请个球队参加比赛，则每一个球队都会比赛场，剔除重复的一半，即可解题．
【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，
由题可知，，
故选：D．
12. 已知抛物线经过，两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键．
根据抛物线解析式，得出抛物线对称轴为，分“若点A在抛物线对称轴的左侧，点B在抛物线对称轴的右侧”和“若点A在抛物线对称轴的右侧，点B在抛物线对称轴的左侧”两种情况讨论．若点A在抛物线对称轴的左侧，点B在抛物线对称轴的右侧，得出不等式组求解，得出不等式组无解，则该情况不存在；若点A在抛物线对称轴的右侧，点B在抛物线对称轴的左侧，得出不等式组求解，根据，结合抛物线开口向上，得出求解，综合得出n的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，
∴抛物线对称轴为，，抛物线开口向上，
若点A在抛物线对称轴的左侧，点B在抛物线对称轴的右侧，
∴，
解得：，
∴不等式组无解，
∴该情况不存在；
若点A在抛物线对称轴的右侧，点B在抛物线对称轴的左侧，
∴，
解得：，
∵，抛物线开口向上，
∴点A到抛物线对称轴的距离点B到抛物线对称轴的距离，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，n的取值范围是，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13. 化简：＝_____．
【答案】±2
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可解答．
【详解】±＝±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
14. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．提取，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
15. 已知反比例函数的图象与直线交于点，则这个反比例函数的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数解析式、求一次函数上点的坐标，根据交点，代入求出坐标，再把完整坐标代入，求出反比例函数的解析式即可，正确代入计算是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象与直线交于点，
∴把代入得：，
∴点的坐标为，
∴把代入得：，
∴，
∴这个反比例函数的解析式为，
故答案为：．
16. 2024年梧州市男生体育中考项目中，除“跳绳”、“掷实心球”必选外，另从“立定跳远”、“长跑”、“50米”、“排球”、“篮球”、“足球”这六项中选一项测试．小强和小明从自选项目中选择同一个测试项目的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法．用A、B、C、D、E、F分别表示“立定跳远”、“长跑”、“50米”、“排球”、“篮球”、“足球”这六个项目，画树状图展示所有36种等可能的结果数，找出小强和小明从自选项目中选择同一个测试项目的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：用A、B、C、D、E、F分别表示“立定跳远”、“长跑”、“50米”、“排球”、“篮球”、“足球”这六个项目，
画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中小强和小明从自选项目中选择同一个测试项目的结果数为6，
所以小强和小明从自选项目中选择同一个测试项目的概率．
故答案为：．
17. 如图，圆锥底面圆的半径为3，母线与底面圆的夹角，则该圆锥侧面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算．根据圆锥的侧面积公式：计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答即可得到结论．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
，
；；；；；
∴
，
故答案为：7．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方、括号里的减法，再计算乘除，然后去括号计算减法即可，熟练掌握有理数的混合运算、正确计算是解题的关键．
【详解】解：
．
20. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：
方程左右同乘以、去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
检验：，则，故是原分式方程的根，
，则，故是原分式方程的增根，
∴原分式方程的解为．
21. 如图，在中，，．
（1）【实践操作】用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点D，连接．
（2）在（1）所作的图形中，证明：是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）利用三角形内角和定理求出，，由线段垂直平分线的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质求得，即可证明是等边三角形．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
；
【小问2详解】
证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，三角形内角和定理，斜边中线的性质以及等边三角形的判定，熟知线段垂直平分线的性质和尺规作图方法是解题的关键．
22. 某校根据学生的兴趣爱好，准备开设“篮球”、“种植”、“书法”、“舞蹈”四门校本课程，每名学生只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请你依据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“篮球”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有多少人？
【答案】（1），
（2）见解析 （3）八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有人．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据“书法”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用乘以选择“篮球”的学生的占比即可求得所对应的扇形圆心角的度数；
（2）用总人数减去其它课程的人数，求出“种植”的人数，从而补全统计图；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：参加此次问卷调查的学生人数是：；
选择“篮球”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：选择“种植”的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
；
【小问3详解】
解：名．
答：八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有人．
23. 如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识：
（1）过点作垂足为点，根据角平分线性质定理可得从而可知为的切线（作垂直证相等）；
（2）根据勾股定理得设的半径为，得由切线长定理得在中由勾股定理求得再证明列出比例式即可求出．
【小问1详解】
证明：过点作垂足为点，如图，
∴
由作图知，是的切线，且
∴
∵是的角平分线
∴
∴是的切线；
【小问2详解】
解：在中，
∵
∴
∵是的切线，是的切线，
∴
∴
设的半径为，则
∴
在中，
∴，
解得，
在中，
∵
∴
∴
又
∴
∴
∴
24. 【问题情境】水钟也叫漏刻，是古代计时器，今天看起来依然很哇塞．水钟分为泄水型和受水型两类，如图①是泄水型水钟．水钟是根据流水的等时性原理来计时的，小红根据这个原理制作了一个简易的泄水型水钟模型，记录了在一次实验中不同时间的水位读数，整理成下面的表格：
【探索发现】
（1）小红尝试从函数的角度进行探究，用横轴表示泄水时间，纵轴表示水位读数，建立如图②的平面直角坐标系，请你将上表中的数据为点的坐标，在图②中描出相应的点．
（2）观察上述各点分布规律，猜想与之间满足哪种函数关系，并求出与的函数表达式，验证这些点的坐标是否满足函数表达式．
【问题解决】
（3）若观察时间为，水位读数是多少厘米？
（4）小红本次实验开始的时间为下午时分，当水位读数为时，是几点？
【答案】（1）见解析（2）猜测与之间满足一次函数关系，，这些点的坐标满足函数表达式，验证见解析（3）若观察时间为，水位读数是厘米（4）下午时分
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，求一次函数的函数值和自变量，理解题意、熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）由表中数据得：、、、、、、，描出各个点即可；
（2）猜测与之间满足一次函数关系，，把、代入求出完整表达式，把其余的点的横坐标代入计算，验证是否满足函数表达式即可；
（3）根据“观察时间为”，把代入求解即可；
（4）根据“水位读数为”，把代入求解得出泄水时间，再根据“小红本次实验开始的时间为下午时分”，计算出当水位读数为时的时间即可．
【详解】解：（1）由表中数据得：、、、、、、，如图，描出各个点，
；
（2）猜测与之间满足一次函数关系，
设，把、代入得：，
解得：，
∴与函数表达式为，
这些点的坐标满足函数表达式，验证如下，
∵由、得出表达式，这两点符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
∴这些点的坐标满足函数表达式；
（3）∵观察时间为，
∴把代入得：，
答：若观察时间为，水位读数是厘米；
（4）∵水位读数为，
∴把代入得：，
解得：，
∴泄水时间为分，
∵小红本次实验开始的时间为下午时分，
∴时分分时分，
答：当水位读数为时，是下午时分．
25. 如图，二次函数的图象交x轴于点A，，交y轴于点，点M是直线上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴，垂足为点D，交于点E．
（1）求二次函数的解析式和点A的坐标；
（2）连接，交y轴于点F．
①当时，求点M的坐标；
②连接，四边形有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如果没可能，请说明理由．
【答案】（1）二次函数的解析式为，；
（2）①点M的坐标为；②有可能，．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①求得直线的解析式，点M的坐标为，则点E的坐标为，由，求得，，根据，代入数据即可求解；
②证明四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过，，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，，
设直线的解析式为，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为，则点E的坐标为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴点M的坐标为；
②由①得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查的知识点有二次函数的图象及其性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判断和性质，解直角三角形．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
26. 如图，在等腰中，，，点P，点M分别是，上的动点，当，过点M作交于点N，连接，设的长为x，
（1）当x为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）连接，若点P在线段的垂直平分线上，求的值．
【答案】（1）当时，四边形是平行四边形
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质，得出，根据等腰三角形的性质，得出，根据等腰三角形的判定得出，根据平行四边形的性质得出，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点A作于点D，连接，根据勾股定理求出，求出，再求出，证明，得出，求出，得出，根据求出结果即可；
（3）过点P作于点E，过点C作于点D，求出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理得出，再根据，得出，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
即当时，四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：过点A作于点D，连接，如图所示：
∵，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴
；
【小问3详解】
解：过点P作于点E，过点C作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
泄水时间
…
水位读数
…